3.2双曲线 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.2 双曲线 题型1：求解动点的轨迹问题 【例1.1.】 已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解. 【详解】由于，因此满足， 的动点P的轨迹均不是双曲线， 满足的动点P的轨迹是双曲线的右支， 而满足的动点P的轨迹才是双曲线． 故选：B． 【例1.2.】 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 【例1.3.】 在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、数量积的坐标表示、求双曲线的轨迹方程 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 【例1.4.】 一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 【例1.5.】 已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D. 【例1.6.】 M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 题型2：双曲线定义的理解 【例2.1.】 双曲线的焦点坐标是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的焦点坐标 【分析】求出，，得到，求出焦点坐标. 【详解】因为恒成立，故，， 所以，所以， 故焦点坐标为． 故答案为：． 【例2.2.】 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 【例2.3.】 （多选）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】双曲线定义的理解 【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点坐标，可得， 要使得满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支， 则满足，解得且， 结合选项，选项B、C符合题意. 故选：BC. 题型3：利用双曲线的定义求解最值问题 【例3.1.】 已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】由双曲线的离心率得到，左焦点，根据双曲线的定义得到，然后根据几何知识得到当，，三点共线时最大，最后求最大值即可. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， ，，则左焦点， 由双曲线的定义得， 因为，即当，，三点共线时最大， 所以， 最大值为. 故选：D. 【例3.2.】 设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 【例3.3.】 已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹是双曲线的右支，利用题设的建立等量关系即可求得点轨迹方程，从而得解. 【详解】已知，为动点， 根据双曲线的定义可得，由于， 所以点的轨迹是双曲线的右支，且， 即，则， 则点的轨迹方程为，， 设，由可得， 整理得点轨迹方程为， 所以. 故选：C. 【例3.4.】 已知是双曲线右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为 ． 【答案】2+ 【难度】0.85 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线的定义，转化求解P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和，再根据平面几何知识求解． 【详解】由知，， 所以双曲线的焦点坐标（±2，0）， 因为， 显然三点共线，并且垂直直线y＝2x时， P到直线y＝2x的距离与P到点F（﹣2，0）的距离之和的最小值：2+＝2+． 故答案为： 2+． 【例3.5.】 已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 题型4：求双曲线的标准方程 【例4.1.】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【答案】(1)或 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据虚轴长及离心率计算可得结果； （2）求得双曲线的焦点坐标，根据过的点坐标构造方程组解得结果； （3）设双曲线方程为，代入点可得结果. 【详解】（1）设所求双曲线的标准方程为或. 由题意知且， 所以， 所以所求双曲线的标准方程为或. （2）双曲线的焦点为. 设所求双曲线的方程为， 则有,解得. 故所求双曲线的方程为. （3）设所求双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为， 即. 【例4.2.】 求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 【例4.3.】 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】先根据椭圆的性质求出椭圆的焦点，然后根据双曲线和渐近线的相关性质确定双曲线的标准方程即可. 【详解】 因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 可设所求双曲线为，化为标准方程：， 则，解得，所求双曲线为． 故选： 【例4.4.】 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 【例4.5.】 与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】求出双曲线的焦点，即得c的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及，求出的值. 【详解】设椭圆的方程为：， 双曲线的焦点为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，又因为， 所以圆的方程为. 故选：C. 题型5：求双曲线方程中参数的值或取值范围 【例5.1.】 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】将变形为，再根据条件即可求出结果. 【详解】由变形得到， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得， 故答案为：. 【例5.2.】 双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线的标准方程，列出不等式，结合不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程表示双曲线，可得， 当时，可得，解得或； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 【例5.3.】 若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距 【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得. 【详解】若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得； 若双曲线的焦点在轴上， 依题意可得，解得. 综上可得：. 故选：D. 题型6：双曲线的焦点三角形 【例6.1.】 设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 【答案】 22 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据给定的双曲线方程，结合双曲线定义、余弦定理求解作答. 【详解】在双曲线中，实半轴长，半焦距，则， 显然，又，解得， 所以的周长等于， . 故答案为：22； 【例6.2.】 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用双曲线定义求出的三边长度，根据余弦定理求出三角形的夹角，最后通过三角形正弦定理面积公式求出面积. 【详解】，根据双曲线定义：， ，，， 根据余弦定理：， 则，. 故选：A 【例6.3.】 设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】由题设可得，进而确定的位置，易知为直角三角形，最后利用双曲线定义求直角边，即可求面积. 【详解】由， 所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点， 又，即它们也在点所在的圆上，且为直径， 所以为直角三角形，，    如上图，，且， 所以， 则，故的面积为. 故选：D 【例6.4.】 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出即可. 【详解】由双曲线得出. 因为，所以. 作于C，则C是AB的中点. 设，则由双曲线的定义， 可得. 故， 又由余弦定理得， 所以，解得. 故选：C    【例6.5.】 已知，分别是双曲线的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当时，，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】先根据双曲线的定义求出，然后根据直角三角形建立方程求出，根据双曲线的系数关系即可求得方程. 【详解】解：由题意得： ， 又 又 在直角三角形中，由勾股定理得 于是，解得： 故可知：（舍去）或 又由可知： 所以C的方程为 故选：D 【例6.6.】 设F是双曲线C：的左焦点，点P是双曲线右支上一点，直线PF与以双曲线实轴为直径的圆交于M，N两点，且，则直线PF的斜率为 ，又，则点F到该双曲线的一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线斜率的定义、求点到直线的距离、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设为双曲线的右焦点，取的中点，则，可得，设，利用已知可得，进而可得，可求结论. 【详解】设双曲线的右焦点，半焦距为c，取的中点，则， 由，得是的中点，，则，， 设，则，， 由，得，解得， 于是，， 当点在第一象限时，直线的斜率为，当点在第四象限时，直线斜率为， 所以直线的斜率为； 由，得，又由，得，解得， ，所以点到渐近线的距离. 故答案为：； 题型7：求双曲线的渐近线 【例7.1.】 （多选）关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据双曲线方程求出、、，再根据双曲线的几何意义一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，， 所以渐近线为，故A正确； 离心率为，故B正确； 焦点坐标为，故C错误； 实轴长为，虚轴长为，所以的实轴长是虚轴长的倍，故D错误. 故选：AB 【例7.2.】 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、根据方程表示双曲线求参数的范围、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在y轴上， 所以，，所以，即. 又双曲线的两条渐近线互相垂直，所以， 即，解得或（舍）. 故选：C. 【例7.3.】 已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【例7.4.】 已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据直角三角形勾股定理，结合双曲线的定义可得解. 【详解】由已知，分别为双曲线， 设，， 又，，， 则， 则，即，， 又，即， 所以， 则双曲线方程为，其渐近线方程为， 故答案为：. 【例7.5.】 已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用得到AB⊥，结合双曲线定义得到，由勾股定理求得，从而求得，求出渐近线方程. 【详解】如图， 因为，所以AB⊥， 设，则， 由双曲线定义可知：，所以， 故， 因为，所以， 解得：，所以， 由勾股定理得：， 即，解得：， 又因为，所以， 故渐近线方程为 故答案为： 【例7.6.】 已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】分焦点在轴上和焦点在轴上，由椭圆与双曲线 有相同的焦点求解. 【详解】当焦点在轴上时，由题意知：，椭圆中，，则； 双曲线中，，则； 由题意，，解得，这与矛盾； 当焦点在轴上时，由题意知，椭圆中，，则； 双曲线可化为，，则； 由题意，，解得， 双曲线的一条斜率为正的渐近线的斜率为， 又因为，所以，所以， 即双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为， 故选：A. 【例7.7.】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解 【分析】利用垂直关系的向量表示得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算得，进而求出渐近线方程. 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 【例7.8.】 设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，根据中点在双曲线上可求，再根据的面积可求的面积. 【详解】双曲线的渐近线为，由题设可设， 而，故为的中点，故， 而在双曲线上，故即， 又到渐近线的距离为， 到渐近线的距离为， 故的面积为 ， 故答案为：2 题型8：求双曲线的离心率的值或取值范围 · 求双曲线的离心率 【例8.1.】 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件可得，进而求出双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为，且， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 【例8.2.】 已知双曲线的左焦点为F﹐过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】直线与渐近线联立方程组，求得点坐标，由求得点坐标，代入双曲线方程即可求得离心率. 【详解】过F且斜率为的直线AB： ，渐近线，如图所示， 联立，得 ，由，得 ， 而点A在双曲线上，于是有， 解得，所以离心率. 故选：B. 【例8.3.】 已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果. 【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形， 则． 由点P在第一象限，知， 即，即， 即． 故选：B 【例8.4.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点，则双曲线C的离心率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】连结 ，设，根据勾股定理和双曲线定义找关系，最后在中，由结合三角函数即可求得之间的关系，进而求得离心率. 【详解】取 MN 的中点 P ，因为在线段MN的垂直平分线上，如下图所示： 所以 ，连结 ，则 ， 设 ，因为 ，则 ， 又因为 ，则 ，所以 ，则 ，故 ， 在 Rt 中， ，在 Rt 中， ， 所以 ，解得 ， 又直线MN的倾斜角为 ，则， 则 ， 所以 ，即 ， 所以离心率 ． 故答案为： . 【例8.5.】 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 【例8.6.】 双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】 根据已知条件列方程，化简求得，进而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意，设，则， 且， 而， ，， 所以. 故选：A 【例8.7.】 已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而．在中，由余弦定理即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， 因为，所以，． 又，即， 则，所以． 设，则， 又，则，解得， 所以，， 所以是正三角形，从而． 在中，由， 得，得，所以． 故选：C． 【例8.8.】 已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据求出，再在中，利用余弦定理得到关于的齐次方程，结合即可求得双曲线的离心率. 【详解】由题可知，，， 根据对称性，不妨设P为渐近线上一点，坐标为，， 因为，所以，则，故， 故， 在中，， 由余弦定理得， 即， 即， 则，即， 即，即，即， 所以. 故选：A. 【例8.9.】 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率． 【详解】因为 即 所以 在三角形中，有余弦定理可得： 所以 即 因为以MN为直径的圆经过右焦点F2， 所以，又|MF2|＝|NF2|， 可得△MNF2为等腰直角三角形， 设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m， 由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a， 两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a， 即有m＝2a， 在直角三角形HF1F2中可得 4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2， 化为c2＝3a2， 即e． 故选：B． · 求双曲线离心率范围 【例8.10.】 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围. 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 因为点在双曲线右支上， 所以， 所以，得， 由双曲线的性质可得， 所以，化简得， 所以，解得， 因为， 所以， 即双曲线离心率的取值范围为， 故选：C 【例8.11.】 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 【例8.12.】 已知点F为双曲线E：(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出图像，结合双曲线第一定义和直角三角形性质可得，联立S△MNF＝2S△MOF，结合正弦定理面积公式即可求解 【详解】如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝2a①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴②， 由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF， ∴r1r2＝2·c2·sin2β，∴c2－a2＝c2·sin2β， ∴，又∵，∴， ∴. 又e>1，渐近线斜率，所以, ∴ 故选：B 【例8.13.】 已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，得到离心率，利用基本不等式求解. 【详解】因为渐近线方程为， 所以双曲线方程可设为 ，， ，， ． 第一次取等号的条件为，即， 第二次取等号的条件为，即． 的最小值为． 故选：D． 【例8.14.】 已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，设，可得点，再代入双曲线方程并整理求得，进而求出离心率范围. 【详解】由关于原点对称，且是等边三角形，得， 设，则，即点， 因此，整理得，由，得，则， 于是，解得，即，则的离心率， 所以的离心率的取值范围为. 故选：A 题型9：直线与双曲线位置关系的综合问题 · 直线与双曲线的位置关系 【例9.1.】 已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【例9.2.】 已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数. 【详解】解：联立， 消去得， 当，即时， 直线和直线分别与双曲线的渐近线平行， 故只有一个交点； 当时，由， 可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点. 故答案为：3 【例9.3.】 已知双曲线的右焦点为F，点，若直线AF与C只有一个交点，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】求出渐近线方程，由题意得到直线AF与C的渐近线平行，从而利用斜率列出方程，求出答案. 【详解】由题意知，双曲线C的渐近线方程为或， 因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与C的渐近线平行， 即或，解得． 故答案为： 【例9.4.】 已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】根据给定的离心率求出，再结合双曲线性质求出的范围. 【详解】由，得，则双曲线的渐近线方程为， 当直线在双曲线的两条渐近线所夹含轴的区域内（包含两条渐近线）时， 直线与双曲线没有公共点，所以实数的取值范围为. 故选：B 【例9.5.】 已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 【例9.6.】 （多选）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可得出关于的方程有一正一负根，可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】联立，消去得. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根，设这两根分别为、， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为， 故选：BCD. · 弦长问题 【例9.7.】 已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线的轨迹方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可. （2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可. 【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以， 化简得：.所以的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意； 设，，直线方程为， 与联立得：， 由且，解得且， 由韦达定理得， 因为线段中点在第一象限，且纵坐标为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线为，所以， 所以. 【例9.8.】 直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】求出过右焦点与两支相交及与右支相交的最短弦长，再结合已知建立不等式求解即得. 【详解】过右焦点的直线与双曲线两支相交所得的最短弦即为双曲线的实轴，长为； 过右焦点的直线与双曲线右支相交所得的最短弦即为双曲线的通径，长为， 依题意，，而，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 【例9.9.】 已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于，两点，证明：直线与圆相切的充要条件是. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据实轴长和焦点到渐近线的距离可求方程； （2）先联立方程得出的表达式，结合充要条件的定义进行证明即可. 【详解】（1）该双曲线的渐近线为，即，设焦点为， 由题意可得方程组解得 则双曲线的方程为. （2）由双曲线的对称性，可设直线的方程为，且. 联立直线与双曲线方程，即可得， 则，. 从而. 充分性：由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，则， 故； 必要性：由，即，解得， 则直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，则直线与圆相切, 所以直线与圆相切的充要条件是.    · 中点弦问题 【例9.10.】 设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【详解】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 【例9.11.】 已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 【例9.12.】 设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 【例9.13.】 已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 【例9.14.】 已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】（1）可利用待定系数法或定义法来求各参数，从而可得离心率； （2）可用直线与双曲线联立方程组结合韦达定理来求解，也可以用点差法来求解. 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    · 双曲线中的对称问题 【例9.15.】 已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点 【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果. 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 【例9.16.】 已知双曲线上存在关于直线：对称的两点A，B，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、根据韦达定理求参数 【分析】双曲线上存在关于直线：对称的两点A，B，当时，显然不成立，舍去；当时，直线AB的方程为，线段AB的中点与双曲线联立方程组可得，此时，，化为①，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得，代入直线：，可得，代入①式解出即可. 【详解】当时，显然不成立； 当时，由，可设直线AB的方程为， 代入中，得， ∴，， 即① 设AB的中点，由根与系数的关系， 得， ∵点在直线上， ∴， 即② 把②代入①得，解得或， ∴或， 即或，且， 解得或，或或 故的取值范围是. 【例9.17.】 直线l：与双曲线C：相交于A，B两点. (1)a为何值时，以为直径的圆过原点； (2)是否存在这样的实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围， 根据，推断出.根据韦达定理表示出，进而根据直线方程表示出，代入，求得a. （2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把的中点代入直线中求得和的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出，联立方程求得a，看结果是否与矛盾即可. 【详解】（1）联立方程与，消去y得：（*） 又直线与双曲线相交于A，B两点，，所以， ∴. 又依题知，令A，B两点坐标分别为，， 则. ， 而由方程（*）知：，代入上式， 得，满足条件. （2）假设这样的点A，B存在，则：的斜率. 又中点在上， 则，又， 代入上式知，结合，解得， 这与矛盾. 故这样的实数a不存在. 题型10：双曲线的综合问题 【例10.1.】 (多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（   ） A． B．双曲线C的离心率为2 C．直线倾斜角的取值范围为 D．若，则三角形的面积为2 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线性质以及斜率乘积为1可判断A正确，由离心率定义计算可得离心率可知B错误，由双曲线渐近线方程斜率以及直线过原点可知，可判断C错误，利用双曲线定义以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】如下图所示： 依题意可知； 设， 则，作差可得，即； 因此直线与的斜率分别为， 所以可得，即； 又，所以，可得A正确； 对于B，所以离心率，因此B错误； 对于C，易知双曲线的渐近线方程为， 直线过原点，依题意可知直线与双曲线有两个不同的交点， 因此直线的斜率为，所以直线倾斜角的取值范围为，可知C错误； 对于D，若，则， 根据双曲线定义以及A中的结论可知， 即，又； 可知， 因此三角形的面积为，可知D正确. 故选：AD 【例10.2.】 （多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．的取值范围为 C．内切圆圆心始终在直线上运动 D．的最小值为 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题 【分析】结合过两点的直线的斜率公式，用表示出，再利用的关系求双曲线的离心率，可判断A的真假；利用基本不等式，可判断B的真假；利用双曲线的概念，结合切线长定理，可确定内切圆圆心的位置，判断C的真假；先利用点到直线的距离公式，结合点在双曲线上，可求为定值，再结合余弦定理和基本不等式，可求的最小值，判断D的真假. 【详解】对于A，双曲线的左顶点为，右顶点为， 由，则， 所以， 即，故A正确； 对于B，显然，且，，故B正确； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆与相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以. 而，所以，所以. 所以内切圆圆心始终在直线上运动，由，，则，C选项错误； 对于D，由上知，，所以， 故双曲线，其渐近线方程为， 设，，则，，故. 因为点在双曲线上，所以，则. 因为渐近线的倾斜角为，所以，故， 在中，由余弦定理可得 ， 当且仅当等号成立，此时P与A重合，不合题意， 则，即无最小值.故D不正确. 故选：AB 【例10.3.】 （多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（   ） A． B．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C．过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D．为定值，定值是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、求点到直线的距离、求平面轨迹方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】A项，利用到渐近线的距离即可得出结论；B项，设出的内切圆的圆心和切点，得出的长为，即可得出结论；C项，得出，利用中位线定理得出，确定点D的轨迹，即可得出轨迹方程；D项，写出表达式，得出和表达式，即可得出结论. 【详解】由题意， A项，在双曲线中，渐近线：，即， 到渐近线的距离为1， ∴，解得：，故A正确； B项，如图，的内切圆的圆心为M，分别与，，切于点，，，    则，，， 由双曲线的定义可得，故， 故，即， 又，故，故 ∴的内切圆的圆心为M总在定直线上，故B错误； C项，过作直线PM的垂线，垂足为D，延长交于点E，      由内切圆及垂线性质可知，， 则D为中点且， 连接OD， 由中位线定理可知，， 故点D的轨迹在以O为圆心，半径a为的圆上， 则点D的轨迹方程为，故C正确； D项，∵， 又∵，，， ∵，， ∴，故D正确； 故选：ACD. 【例10.4.】 （多选）下列说法正确的有（     ） A．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是 B．设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为 C．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 D．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求双曲线中的最值问题 【分析】对于A，连接，根据椭圆和直线的对称性可得四边形为平行四边形，由余弦定理结合离心率求解判断即可；对于B，利用余弦定理及三角形面积公式可得，再利用等面积法求解判断即可；对于C，结合焦点到渐近线的距离为及离心率为2可得双曲线的方程为，进而结合内心的性质及直角三角形中内切的定义求解判断即可；对于D，由正弦定理可得，进而结合椭圆定义及离心率求解判断即可. 【详解】对于A，设为椭圆的另一焦点，如图，连接， 根据椭圆和直线的对称性，可得四边形为平行四边形， 又因为，所以. 在中，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 即， 又因为，所以， 又因为，故，故A错误； 对于B，由，得，，， 则，，， 由余弦定理得，， 则， 则，即， 所以， 设P点的纵坐标为，则， 则，即，故B正确； 对于C，在中， 其中一条渐近线方程为，即， 由题意，焦点到渐近线的距离为，则，即， 又，解得：， 则，所以双曲线的方程为. 记的内切圆在边，，上的切点分别为， 则，横坐标相等，，， 由，即， 得，即， 记的横坐标为，则，于是，得， 同理内心的横坐标也为，故轴. 设直线的倾斜角为，则，（Q为坐标原点）， 在中，， 由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 所以，即， 所以的范围是，故C正确； 对于D，在中，由正弦定理可得 所以， 所以该椭圆的离心率 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【例10.5.】 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)2 (3) 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【详解】（1） 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， （2） 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. （3）设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 【例10.6.】 已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，点在双曲线C上． (1)双曲线C方程； (2)已知点，一条斜率为k的直线l（不过点A）交C于M，N两点，是否存在一个实数k，使得直线的斜率之和为定值？若存在，请求出k和定值；若不存在，请说明理由； (3)已知双曲线C与直线有唯一的公共点T，过点T且与l垂直的直线分别交于x轴、y轴于两点，当点T运动时，求点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)存在，，定值0． (3)点G的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为6的双曲线（去掉两个顶点）． 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由离心率，及点在双曲线C上可得双曲线方程； （2）设将直线与双曲线方程联立，由韦达定理可得，据此可完成判断； （3）将代入，由双曲线C与直线有唯一的公共点T，可得联立方程判别式为0，据此可得，从而可得，据此可得轨迹方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为， 由已知①，将点代入双曲线方程得②，                             且③，由①②③得，所以双曲线方程为 （2）设 联立，化简后可得， 由韦达定理：， 所以由 ，所以当时，的和为定值0． （3）将代入， 化简可得，， 因为，是双曲线与直线唯一的公共点， 所以， 解得的坐标为，即，其中， 所以过点且与垂直的直线为 可得，，所以，即，                                 因此，即， 所以点G的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为6的双曲线（去掉两个顶点）． 【点睛】关键点睛：对于定值问题，常用恰当参数表示研究要判断是否为定值的表达式，随后利用韦达定理，代数恒等变形等知识完成判断；对于轨迹问题，常利用题目条件得到轨迹上一点坐标满足的等量关系，据此得轨迹方程. 【例10.7.】 已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，分别为的左，右顶点，直线与交于点. （i）证明：在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先根据圆心求出，再利用点到直线的距离公式求得，联立方程求得，即可得解； （2）（i）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，韦达定理，联立直线与直线的方程得，代入化简得，即可证明； （ii）设，分别代入直线与直线方程求得坐标，利用数量积的坐标运算，代入点的坐标化简计算即可. 【详解】（1）圆的方程化为标准形式为， 所以圆心，半径，则的半焦距， 又的两条渐近线方程为，即， 由题意，知，所以， 所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，易知， 联立方程消去得， 则， . 因为是上的点，所以， 则， 联立直线，直线的方程， 得， 所以 . 解得，故点在定直线上. （ii）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设， 点在直线上，所以， 点在直线上，所以， 所以 . 【例10.8.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若，双曲线E的离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设，分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q（异于，）两点.直线与直线交于点R，求交点R的轨迹E的方程； (3)过点且斜率为的直线交第（2）问的轨迹E于A，B（A，B不在坐标轴上）两点，点G是轨迹E上一点，满足轴，直线，分别交直线于点M，N，其中O为坐标原点，记，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求得结果. （2）首先设出每个点的坐标，由，R，P三点共线得：；由，R，Q三点共线得：，两式联立再代入双曲线方程即可； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积,再化简利用不等式即可求得结果. 【详解】（1）因为D是双曲线C的右支上一点，且， 所以， 又双曲线C的离心率为，即，得， 所以，所以双曲线C的标准方程为. （2） 由（1）得双曲线C的方程为， 设,，则，又，， 则，， 由，R，P三点共线得：； 又，， 由，R，Q三点共线得：， 两式相除得，， 因为，所以，即，得， 所以直线与直线的交点R的轨迹E的方程为. （3） 由已知可设直线的方程为，，设，， 联立化简可得， 所以， 所以，， ， ， 又直线的方程为，与直线联立可得， 所以， 直线的方程为，与直线联立可得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又， ， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二问由，R，P三点共线得：； 由，R，Q三点共线得：，两式联立再代入双曲线方程即可； 第三问设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表达出面积,再化简利用不等式即可求得结果. 【例10.9.】 已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，虚轴长为，左、右顶点分别为、，为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点、（不与、重合），设直线的方程为. (1)求的标准方程. (2)证明：且. (3)试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)过定点，且定点坐标为 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）将直线方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线有两个交点，列出不等式组，即可证得结论成立； （3）设、，列出韦达定理，根据、、三点共线、、、三点共线，可得出，结合双曲线的方程、以及韦达定理可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）根据题意可得，，则， 故双曲线的标准方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为零， 联立可得， 由可得， 由，可得. （3）设、， 由（2）可得，， 由题意易知直线、的斜率都存在，且、， 设点，因为、、三点共线，所以，即①， 因为、、三点共线，所以，即②， 由①②得， 由可得， 所以 ， 即， 即， 即， 即， 因为、不与、重合，则， 所以， 化简得，解得，故直线的方程为， 故直线过定点，且定点坐标为. 【例10.10.】 已知双曲线，满足离心率为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过点，且与双曲线的左支有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围； (3)记双曲线的左顶点为，右焦点为，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在实数，使得恒成立?若存在，请求出此时的实数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在实数 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】（1）由离心率结合双曲线的定义求解双曲线的标准方程即可； （2）结合双曲线的渐进线分析直线与双曲线的交点个数，从而得到斜率的取值范围即可； （3）根据点M的坐标设出和的正切值，结合二倍角的正切函数求解即可. 【详解】（1）由已知双曲线离心率为2，则，得， 所以双曲线方程为，又焦点到渐近线的距离为，可得， ，所以双曲线方程为 （2）由题意知直线斜率显然存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线，得， 当时，，解得：，且， 当时，与双曲线的渐近线方程的斜率一致，双曲线的渐近线方程为，即渐近线斜率为， 又因为直线过定点 所以当时，时，直线与双曲线的左支只有一个公共点，成立； 当时，时，直线与双曲线的右支只有一个公共点，不成立； 当时，直线与双曲线左支有两个交点，不成立； 当时，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，成立， 当时，直线与双曲线右支有两个公共点，不成立； 当时，时，直线与双曲线的左支只有一个交点即与左支相切，成立； 当时，时，直线与双曲线的右支只有一个交点即与右支相切，不成立； 综上所述，或时，直线与双曲线的左支有且只有一个公共点； （3）存在，理由如下， ①当点时，，，可求得. ②当点的横坐标不为2时，可设，，， ， ， ， 和都在内，所以 综上可知，存在实数符合题意 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.2 双曲线 题型1：求解动点的轨迹问题 【例1.1.】 已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【例1.4.】 一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 题型2：双曲线定义的理解 【例2.1.】 双曲线的焦点坐标是 ． 【例2.2.】 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【例2.3.】 （多选）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（　　） A． B．2 C． D． 题型3：利用双曲线的定义求解最值问题 【例3.1.】 已知双曲线的离心率为2，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【例3.3.】 已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【例3.4.】 已知是双曲线右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为 ． 【例3.5.】 已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型4：求双曲线的标准方程 【例4.1.】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为； (2)与双曲线有公共焦点，且经过点； (3)与双曲线有共同渐近线，且过点. 【例4.2.】 求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【例4.3.】 与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【例4.5.】 与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 题型5：求双曲线方程中参数的值或取值范围 【例5.1.】 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 . 【例5.2.】 双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【例5.3.】 若双曲线的焦距为6，则（    ） A．5或 B．3 C．5 D． 题型6：双曲线的焦点三角形 【例6.1.】 设点P在双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 ， ． 【例6.2.】 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．24 B．15 C．12 D．30 【例6.3.】 设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【例6.4.】 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知，分别是双曲线的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当时，，且，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 设F是双曲线C：的左焦点，点P是双曲线右支上一点，直线PF与以双曲线实轴为直径的圆交于M，N两点，且，则直线PF的斜率为 ，又，则点F到该双曲线的一条渐近线的距离为 ． 题型7：求双曲线的渐近线 【例7.1.】 （多选）关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 【例7.2.】 已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（    ） A．1 B． C．－4 D．1或－4 【例7.3.】 已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【例7.5.】 已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程为 ． 【例7.6.】 已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，则双曲线的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为 A． B． C． D． 【例7.7.】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【例7.8.】 设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一､四象限.若，则的面积为 . 题型8：求双曲线的离心率的值或取值范围 · 求双曲线的离心率 【例8.1.】 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【例8.2.】 已知双曲线的左焦点为F﹐过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例8.3.】 已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例8.4.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点M，N，若线段MN的垂直平分线经过点，则双曲线C的离心率为 . 【例8.5.】 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8.6.】 双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8.7.】 已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例8.8.】 已知、为双曲线的左、右焦点，为双曲线的渐近线上一点，满足，（为坐标原点），则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例8.9.】 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． · 求双曲线离心率范围 【例8.10.】 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8.11.】 已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【例8.12.】 已知点F为双曲线E：(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.13.】 已知双曲线的焦点分别在轴，轴上，渐近线方程为，离心率分别为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【例8.14.】 已知是双曲线上的三点，且关于原点对称，若是等边三角形，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型9：直线与双曲线位置关系的综合问题 · 直线与双曲线的位置关系 【例9.1.】 已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【例9.2.】 已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ． 【例9.3.】 已知双曲线的右焦点为F，点，若直线AF与C只有一个交点，则 ． 【例9.4.】 已知双曲线的离心率为，若直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例9.5.】 已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9.6.】 （多选）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． · 弦长问题 【例9.7.】 已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求. 【例9.8.】 直线l与双曲线交于A、B两点，且l过该双曲线的右焦点.若满足条件的直线l有且仅有4条，则a的取值范围是 . 【例9.9.】 已知双曲线的实轴长为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线过双曲线的焦点，且与双曲线左、右两支分别交于，两点，证明：直线与圆相切的充要条件是. · 中点弦问题 【例9.10.】 设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【例9.11.】 已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例9.12.】 设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 【例9.13.】 已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【例9.14.】 已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. · 双曲线中的对称问题 【例9.15.】 已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【例9.16.】 已知双曲线上存在关于直线：对称的两点A，B，则实数k的取值范围为 . 【例9.17.】 直线l：与双曲线C：相交于A，B两点. (1)a为何值时，以为直径的圆过原点； (2)是否存在这样的实数a，使A，B关于直线对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由. 题型10：双曲线的综合问题 【例10.1.】 (多选)已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（   ） A． B．双曲线C的离心率为2 C．直线倾斜角的取值范围为 D．若，则三角形的面积为2 【例10.2.】 （多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.为双曲线在第一象限上的点，设，的斜率分别为，，且.过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，.则（    ） A．双曲线的离心率为2 B．的取值范围为 C．内切圆圆心始终在直线上运动 D．的最小值为 【例10.3.】 （多选）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，P为双曲线右支上的动点，的内切圆的圆心为，到渐近线的距离为1，则（   ） A． B．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心为M总在定直线上 C．过作直线PM的垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程为 D．为定值，定值是 【例10.4.】 (多选)下列说法正确的有（     ） A．已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，记椭圆的离心率为e，则的取值范围是 B．设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为 C．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为 D．过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为 【例10.5.】 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. (1)当直线过点，且时，求的周长； (2)已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； (3)已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【例10.6.】 已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，点在双曲线C上． (1)双曲线C方程； (2)已知点，一条斜率为k的直线l（不过点A）交C于M，N两点，是否存在一个实数k，使得直线的斜率之和为定值？若存在，请求出k和定值；若不存在，请说明理由； (3)已知双曲线C与直线有唯一的公共点T，过点T且与l垂直的直线分别交于x轴、y轴于两点，当点T运动时，求点的轨迹方程． 【例10.7.】 已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点. (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，分别为的左，右顶点，直线与交于点. （i）证明：在定直线上； （ii）若直线与交于点，求的值. 【例10.8.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，D是双曲线C的右支上一点，若，双曲线E的离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设，分别是双曲线C的左，右顶点，平行y轴的直线l交双曲线C于P，Q（异于，）两点.直线与直线交于点R，求交点R的轨迹E的方程； (3)过点且斜率为的直线交第（2）问的轨迹E于A，B（A，B不在坐标轴上）两点，点G是轨迹E上一点，满足轴，直线，分别交直线于点M，N，其中O为坐标原点，记，，求的最小值. 【例10.9.】 已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为，虚轴长为，左、右顶点分别为、，为直线上一点，直线与直线分别与交于另一点、（不与、重合），设直线的方程为. (1)求的标准方程. (2)证明：且. (3)试问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【例10.10.】 已知双曲线，满足离心率为2，且焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过点，且与双曲线的左支有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围； (3)记双曲线的左顶点为，右焦点为，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在实数，使得恒成立?若存在，请求出此时的实数；若不存在，请说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $