3.2双曲线 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.2 双曲线 目录 题型1：求解动点的轨迹问题 7 题型2：双曲线定义的理解 8 题型3：利用双曲线的定义求解最值问题 8 题型4：求双曲线的标准方程 9 题型5：求双曲线方程中参数的值或取值范围 11 题型6：双曲线的焦点三角形 12 题型7：求双曲线的渐近线 14 题型8：求双曲线的离心率的值或取值范围 15  求双曲线的离心率 15  求双曲线离心率范围 18 题型9：直线与双曲线位置关系的综合问题 19  直线与双曲线的位置关系 19  弦长问题 20  中点弦问题 20  双曲线中的对称问题 21 题型10：双曲线的综合问题 22 1. 双曲线的定义 (1) 在平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，分左右两支.这两个定点,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2) 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，根据双曲线的定义，设点与焦点的距离之差的绝对值等于，所以双曲线可看作点集：。 (1) 在双曲线的定义中,若(),即“去掉绝对值符号”，则动点的轨迹为双曲线的一支（靠近点）。 (2) 的大小与点的轨迹的关系 ①当时，动点的轨迹是双曲线。 ②当时，动点的轨迹是分别以为端点，指向所在直线两侧的射线。 ③当时，动点的轨迹不存在。 ④当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线。 2. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 (1) 双曲线的标准方程是指在“标准”条件下的方程，即使得双曲线的焦点在坐标轴上，且对称中心为原点的双曲线方程。 (2) 焦点的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型。“焦点跟着正项走”,即若的系数为正，则焦点在x轴上;若的系数为正,则焦点在y轴上。 (3) 既可以表示椭圆又可以表示双曲线。当方程表示椭圆时，应满足；当方程表示双曲线时，应满足。 3. 双曲线的简单几何性质 (1) 范围 观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是。 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线,当无限大时,也无限大,因此双曲线是无限伸展的。 (2) 对称性 双曲线跟椭圆一样既是轴对称图形，又是中心对称图形。 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 (3) 顶点与实轴、虚轴 双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点只有两个。 线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长;线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长. (4) 渐近线 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。 经过两点作y轴的平行线，经过两点作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程就是双曲线的渐近线方程. 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是. 在双曲线方程中，如果a=b，那么方程变为。此时，双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a，我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。 (5) 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。 ②因为，所以。 ③双曲线离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而刻画了双曲线的“张口”大小。 ④等轴双曲线的离心率。 (6) 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线。例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： ①两个共轭双曲线有相同的渐近线。 ②两个共轭双曲线有相同的焦距。 ③由于 因此，故共轭双曲线的离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1。 4. 点与双曲线的位置关系 点与双曲线位置关系的判断： 点在双曲线内； 点在双曲线上； 点在双曲线两支之间。 5. 直线和双曲线的位置关系 (1) 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断。①代入②得，， a. 当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点。 b. 当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点。 c. 直线与双曲线的交点位置 交点位置 与右支有两个交点 与左支有两个交点 左、右两支各有一个交点 满足条件 (2) 通过几何图形也可判断直线与双曲线的位置关系,一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断。设渐近线的倾斜角为,直线的倾斜角为, 当时,直线只与双曲线一支相交,交点只有一个； 当时,直线与双曲线一支相交,交点有两个; 当时,直线与双曲线两支都相交,交点有两个. 6. 双曲线的第二定义 平面内,若动点M与一个定点的距离与它到一条定直线(点不在直线上)的距离的比是 常数,则动点M的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。 运用第二定义时,要注意焦点与准线是对应的,即左焦点对应左准线;右焦点对应右准线. 7. 双曲线的两种标准方程的几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 性质 图形 性质 范围 或 或 对称性 关于轴对称，关于原点对称 顶点坐标 实轴长、虚轴长 实轴长：；虚轴长：. 离心率 渐近线方程 题型1：求解动点的轨迹问题 方法提炼 如果平面上的动点，满足(定长), ①当时，动点的轨迹是双曲线。 ②当时，动点的轨迹是分别以为端点，指向所在直线两侧的射线。 ③当时，动点的轨迹不存在。 ④当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线。 ⑤如果不含绝对值，则动点的轨迹为双曲线的一支。 【例1.1.】 已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（    ） A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【例1.2.】 已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【例1.4.】 一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【例1.5.】 已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【例1.6.】 如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 题型2：双曲线定义的理解 【例2.1.】 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【例2.2.】 曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【例2.3.】 （多选）已知分别是双曲线的上，下焦点，上的点在第一象限内，且的渐近线方程为，则（   ） A． B．的虚轴长为 C．的焦距为 D． 题型3：利用双曲线的定义求解最值问题 方法提炼 设双曲线方程，分别为双曲线的左、右焦点，为平面上一定点，为双曲线右支上任意一点。 (1) 若定点在右支上，则的最小值为，最大值不存在. (2) 若定点在左支上，则的最小值为，最大值不存在. 【例3.1.】 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【例3.2.】 已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【例3.3.】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 【例3.4.】 已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【例3.5.】 已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知点是双曲线右支上的动点，，两点满足，点，分别为双曲线的左，右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C．24 D．26 题型4：求双曲线的标准方程 方法提炼 (1) 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤： (2) 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为. (3) 与椭圆共焦点的双曲线方程可设为. (4) 与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为. (5) 若渐近线方程为或或的形式，则双曲线的方程可设为. 【例4.1.】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【例4.2.】 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点，且与双曲线的离心率相等； (2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为. 【例4.3.】 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是 A． B． C．或 D．或 【例4.4.】 设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 题型5：求双曲线方程中参数的值或取值范围 方法提炼 (1) 对于方程， ①若，则方程表示双曲线，且当时，双曲线的焦点在轴上；当时，双曲线的焦点在轴上. ②若，则方程表示椭圆，且当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上. (2) 已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围. 【例5.1.】 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 （多选）已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，焦距均为6 题型6：双曲线的焦点三角形 方法提炼 (1) 由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、周长问题,及有关角、变量的范围等问题。 (2) 在解与焦点三角形()有关的问题时,一般地，可由双曲线的定义,得焦半径的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得的关系式,从而求出。 (3) 常用结论 令， ①。 ②由余弦定理得：。 ③。 ④。 【例6.1.】 已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 【例6.2.】 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6.4.】 设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【例6.5.】 （多选）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 【例6.6.】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.7.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型7：求双曲线的渐近线 【例7.1.】 已知双曲线，则下列选项正确的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为和 D．的焦点到渐近线的距离为 【例7.2.】 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是 ． 【例7.3.】 若双曲线的渐近线与圆相切，则 . 【例7.4.】 已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.5.】 已知双曲线为双曲线的左，右顶点，若点在双曲线上，且，则双曲线的渐近线方程是 . 【例7.6.】 已知，双曲线的两个焦点为、，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.7.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【例7.8.】 已知，分别是双曲线的左､右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A，两点，若是正三角形，则这条双曲线C的渐近线方程是 . 【例7.9.】 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例7.10.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型8：求双曲线的离心率的值或取值范围 · 求双曲线的离心率 方法提炼 (1) 定义法：若可求得a,c的值或其满足的等式,则直接利用得解;若可求得a,b的值或其满足的等式,则直接利用 得解. (2) 方程法：根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,并用代替式子中的b，将式子化为a,c的齐次方程(或不等式),然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方,从而利用转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意。 (3) 利用离心率的三角公式求离心率 如图，在焦点三角形中，， 则。 【例8.1.】 已知双曲线的两条渐近线的方程分别是x+y＝0和x﹣y＝0，则该双曲线的离心率是（    ） A． B．或 C．或 D． 【例8.2.】 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例8.3.】 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是 ． 【例8.4.】 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（    ） A．2 B． C．3 D． 【例8.5.】 双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8.6.】 已知为双曲线的右焦点，过点的直线分别交两条渐近线于两点.若，且，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例8.7.】 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为 . 【例8.8.】 双曲线的左、右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于两点，满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例8.9.】 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例8.10.】 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【例8.11.】 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则 ， ． · 求双曲线离心率范围 方法提炼 求双曲线离心率的范围,关键是根据题目条件得到不等关系,并想办法转化为关于的不等关系,结合和得到关于e的不等式,然后求解。 在建立不等式求e时经常用到结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为。 双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题,注意二者参数之间的转化。 【例8.12.】 ，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【例8.13.】 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 【例8.14.】 已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【例8.15.】 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.16.】 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型9：直线与双曲线位置关系的综合问题 · 直线与双曲线的位置关系 【例9.1.】 过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例9.2.】 若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 . 【例9.3.】 已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则直线l的方程为 . 【例9.4.】 如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9.5.】 双曲线与直线没有公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例9.6.】 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【例9.7.】 已知双曲线，过点作直线l.若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. · 弦长问题 方法提炼 (1) 直线与双曲线相交所得的弦长。 (2) 解决此类问题时要注意是交在同一支,还是交在两支上。 (3) 处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,利用韦达定理、点差法的解题过程中,并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交,因此,最后要代回去检验。 (4) 双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径。无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于。 【例9.8.】 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【例9.9.】 已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 【例9.10.】 过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若，则这样的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【例9.11.】 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． · 中点弦问题 方法提炼 过椭圆内一点作直线,与椭圆交于两点,使这点为弦的中点,这样的直线一定存在,但在双曲线的这类问题中,则不能确定。要注意检验。 【例9.12.】 已知双曲线方程为. （1）求以定点为中点的弦所在的直线方程； （2）以定点为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由. 【例9.13.】 在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 【例9.14.】 已知双曲线，过点的直线交其于轴下方两个不同的点，设的中点为，过点与作直线，则直线的斜率的取值范围是 . 【例9.15.】 已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【例9.16.】 已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） · 双曲线中的对称问题 方法提炼 (1) 主要讨论的对象是双曲线上存在关于某条直线对称的两个点的问题。 (2) 解决这类问题的思路： 要充分运用“垂直平分”这两个特征。此外还要注意“点差法”的运用。例如:设双曲线方程为,直线的方程为,若双曲线上存在两点P,Q关于直线对称,则PQ的方程可设为,代入双曲线方程之后得到关于x(或y)的一元二次方程,且成立,从而求得k的范围。 也可以用“设而不求”的方法。设是双曲线上关于直线对称的两点,所以，① ，② ①－②，得. 所以。 其中，为PQ的中点,也是直线与PQ的交点。 【例9.17.】 已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【例9.18.】 已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 题型10：双曲线的综合问题 【例10.1.】 （多选）设，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点（在轴上方，在轴下方），为双曲线的半焦距，为坐标原点．则下列命题正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．若，则双曲线的离心率为 D．若，且的面积为，则双曲线的方程为 【例10.2.】 （多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（    ） A．两渐近线夹角为 B．的离心率 C．为定值 D．的最小值为 【例10.3.】 （多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．若，则点的的纵坐标为 C．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 D．过点作双曲线的切线交渐近线于，两点，若，则曲线的渐近线方程为 【例10.4.】 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，若，则的面积为 ． 【例10.5.】 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． (1)求C的标准方程； (2)点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； (3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【例10.6.】 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为． (1)求的方程； (2)若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值； （ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标． 【例10.7.】 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1)求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 【例10.8.】 已知双曲线的渐近线为，左顶点为. (1)求双曲线的方程； (2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上， ①求的横坐标； ②求圆面积的取值范围. 【例10.9.】 已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为 (1)求的标准方程； (2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点. ①求直线斜率的取值范围； ②求的取值范围. 【例10.10.】 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.2 双曲线 目录 题型1：求解动点的轨迹问题 7 题型2：双曲线定义的理解 11 题型3：利用双曲线的定义求解最值问题 13 题型4：求双曲线的标准方程 19 题型5：求双曲线方程中参数的值或取值范围 25 题型6：双曲线的焦点三角形 27 题型7：求双曲线的渐近线 35 题型8：求双曲线的离心率的值或取值范围 43  求双曲线的离心率 43  求双曲线离心率范围 54 题型9：直线与双曲线位置关系的综合问题 59  直线与双曲线的位置关系 59  弦长问题 64  中点弦问题 68  双曲线中的对称问题 75 题型10：双曲线的综合问题 78 1. 双曲线的定义 (1) 在平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，分左右两支.这两个定点,叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2) 设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，根据双曲线的定义，设点与焦点的距离之差的绝对值等于，所以双曲线可看作点集：。 (1) 在双曲线的定义中,若(),即“去掉绝对值符号”，则动点的轨迹为双曲线的一支（靠近点）。 (2) 的大小与点的轨迹的关系 ①当时，动点的轨迹是双曲线。 ②当时，动点的轨迹是分别以为端点，指向所在直线两侧的射线。 ③当时，动点的轨迹不存在。 ④当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线。 2. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 (1) 双曲线的标准方程是指在“标准”条件下的方程，即使得双曲线的焦点在坐标轴上，且对称中心为原点的双曲线方程。 (2) 焦点的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型。“焦点跟着正项走”,即若的系数为正，则焦点在x轴上;若的系数为正,则焦点在y轴上。 (3) 既可以表示椭圆又可以表示双曲线。当方程表示椭圆时，应满足；当方程表示双曲线时，应满足。 3. 双曲线的简单几何性质 (1) 范围 观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是。 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线,当无限大时,也无限大,因此双曲线是无限伸展的。 (2) 对称性 双曲线跟椭圆一样既是轴对称图形，又是中心对称图形。 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 (3) 顶点与实轴、虚轴 双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点只有两个。 线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长;线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长. (4) 渐近线 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。 经过两点作y轴的平行线，经过两点作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程就是双曲线的渐近线方程. 焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是. 在双曲线方程中，如果a=b，那么方程变为。此时，双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a，我们把实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线的渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。 (5) 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率。 ②因为，所以。 ③双曲线离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而刻画了双曲线的“张口”大小。 ④等轴双曲线的离心率。 (6) 共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线。例如，双曲线与是一对共轭双曲线，其性质如下： ①两个共轭双曲线有相同的渐近线。 ②两个共轭双曲线有相同的焦距。 ③由于 因此，故共轭双曲线的离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1。 4. 点与双曲线的位置关系 点与双曲线位置关系的判断： 点在双曲线内； 点在双曲线上； 点在双曲线两支之间。 5. 直线和双曲线的位置关系 (1) 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断。①代入②得，， a. 当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点。 b. 当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点。 c. 直线与双曲线的交点位置 交点位置 与右支有两个交点 与左支有两个交点 左、右两支各有一个交点 满足条件 (2) 通过几何图形也可判断直线与双曲线的位置关系,一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断。设渐近线的倾斜角为,直线的倾斜角为, 当时,直线只与双曲线一支相交,交点只有一个； 当时,直线与双曲线一支相交,交点有两个; 当时,直线与双曲线两支都相交,交点有两个. 6. 双曲线的第二定义 平面内,若动点M与一个定点的距离与它到一条定直线(点不在直线上)的距离的比是 常数,则动点M的轨迹是双曲线。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。 运用第二定义时,要注意焦点与准线是对应的,即左焦点对应左准线;右焦点对应右准线. 7. 双曲线的两种标准方程的几何性质 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 性质 图形 性质 范围 或 或 对称性 关于轴对称，关于原点对称 顶点坐标 实轴长、虚轴长 实轴长：；虚轴长：. 离心率 渐近线方程 题型1：求解动点的轨迹问题 方法提炼 如果平面上的动点，满足(定长), ①当时，动点的轨迹是双曲线。 ②当时，动点的轨迹是分别以为端点，指向所在直线两侧的射线。 ③当时，动点的轨迹不存在。 ④当时，动点的轨迹为线段的垂直平分线。 ⑤如果不含绝对值，则动点的轨迹为双曲线的一支。 【例1.1.】 已知点F1（，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是（    ） A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线定义的理解 【分析】由双曲线定义结合参数的取值分类讨论而得 【详解】错解： 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故点P的轨迹为双曲线的右支； 当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故点P的轨迹为双曲线的右支； 故选：A. 错因： 忽略了双曲线定义中2a＜|F1F2|这一条件. 正解： 依题意得， 当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支； 当时，，故点P的轨迹为一条射线. 故选：D. 【例1.2.】 已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【详解】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 【例1.3.】 已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 【例1.4.】 一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 【例1.5.】 已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 【例1.6.】 如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的轨迹方程 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可. 【详解】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 题型2：双曲线定义的理解 【例2.1.】 双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【详解】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B 【例2.2.】 曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的a、b、c即可判断求解． 【详解】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对； 故选：B 【例2.3.】 （多选）已知分别是双曲线的上，下焦点，上的点在第一象限内，且的渐近线方程为，则（   ） A． B．的虚轴长为 C．的焦距为 D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线定义的理解、求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据双曲线标准方程与渐近线方程求出的值，再结合双曲线的性质与定义逐项判断即可. 【详解】因为的渐近线方程为， 所以，得，A正确； 则的虚轴长为，B正确；焦距为，C错误； 因为上的点在第一象限内， 所以，即，D错误． 故选：AB. 题型3：利用双曲线的定义求解最值问题 方法提炼 设双曲线方程，分别为双曲线的左、右焦点，为平面上一定点，为双曲线右支上任意一点。 (1) 若定点在右支上，则的最小值为，最大值不存在. (2) 若定点在左支上，则的最小值为，最大值不存在. 【例3.1.】 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 【例3.2.】 已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得，再根据定点到圆上一动点的距离最值的解法即可求解. 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 故答案为：. 【例3.3.】 已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为右支上一动点，Q(1，4)，则＋的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】由双曲线定义可知，当三点共线时，即可. 【详解】 因为点P在双曲线的右支上，所以， 所以，连接， 又，，所以， 当且仅当点在线段上时取“＝”， 故的最小值为． 故答案为：. 【例3.4.】 已知双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，且焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求点到直线的距离 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用焦点到渐近线的距离和焦距以及即可求解； （2）设双曲线的左焦点为，根据双曲线定义将转化为，即可得出当，，三点共线时取得最小值，进而求解即可. 【详解】（1）双曲线的焦距为， 半焦距，右焦点， 右焦点到渐近线的距离为， 一条渐近线方程为，即， ，得， ， 双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义可知，， ， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故的最小值为. 【例3.5.】 已知双曲线的右焦点为，点，是双曲线上的一点，当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的焦点坐标 【分析】由双曲线方程得点坐标和离心率，设右焦点为到右准线的距离是，根据准线方程即可得，从而得到当垂直于右准线时，取得最小值，再根据点在双曲线上，即可求点的坐标. 【详解】由双曲线知，，，，所以右焦点为，离心率， 右准线方程是，点在双曲线内， 设右焦点为，点到右准线的距离是，则， 所以，所以， 当垂直于右准线时，取得最小值， 此时可设，因为是双曲线上的一点，代入双曲线方程可得， 所以，所以点的坐标为. 故选：B 【例3.6.】 已知点是双曲线右支上的动点，，两点满足，点，分别为双曲线的左，右焦点，则的最小值为（    ） A． B． C．24 D．26 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、双曲线定义的理解、基本不等式求和的最小值 【分析】由可得点，在以点为圆心，半径为1的圆上，结合点与圆的位置关系可得，结合双曲线定义及性质求的最小值. 【详解】因为，两点满足， 所以点，在以点为圆心，半径为1的圆上， 所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立， ，当且仅当点为射线与圆的交点时等号成立， 所以，又， 设，则，且， 设，则，， 所以，当且仅当，即时等号成立； 所以当且点在线段上，点在射线上，且时 取最小值24. 故选：C. 题型4：求双曲线的标准方程 方法提炼 (1) 用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤： (2) 与双曲线共焦点的双曲线方程可设为. (3) 与椭圆共焦点的双曲线方程可设为. (4) 与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可设为. (5) 若渐近线方程为或或的形式，则双曲线的方程可设为. 【例4.1.】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (3)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求共焦点的双曲线方程 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，代入点，计算求得，即得双曲线方程； （2）依题设所求双曲线方程为，代入点，计算求得的值，回代入方程即得双曲线方程； （3）依题意设双曲线的方程为，，代入点的坐标，求得的值，回代入方程即得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，且， 则可设双曲线的标准方程为， 因双曲线经过点，可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）因所求的双曲线与双曲线有相同的焦点， 故可设所求双曲线方程为． 又双曲线过点，则得，解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 则有解得， 双曲线的标准方程为． 【例4.2.】 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点，且与双曲线的离心率相等； (2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用已知条件确定双曲线焦点位置，从而可求解，，即可得到双曲线方程； （2）由已知可得，分别讨论当焦点在轴上，利用渐近线方程求得的值，从而得双曲线方程. 【详解】（1）由题意可知：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，且， 又双曲线的离心率为，则，得， 故，所以双曲线的方程为. （2）由题意知，当双曲线的焦点在轴上时，则，可得， 所以双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，则，可得， 所以双曲线的方程为； 综上所述：双曲线的方程为或. 【例4.3.】 已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】∵双曲线的渐近线方程为 ∴可设双曲线的标准方程为，即 ∵焦距为 ∴当时，，即，则双曲线的标准方程为； 当时，，即，则双曲线的标准方程为. 故选C. 点睛：（1）已知双曲线方程求渐近线： ； （2）已知渐近线，设双曲线标准方程. 【例4.4.】 设双曲线的离心率为，实轴长为，若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为，则曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线的几何性质求出、、的值，利用椭圆的定义可知曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆，设椭圆的方程为，求出、的值，即可求出椭圆的方程. 【详解】因为双曲线的实轴长为，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，则， 所以，双曲线的方程为， 因为曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，曲线是以双曲线的两个焦点为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则，所以，， 因此，椭圆的方程为. 故选：D. 【例4.5.】 中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据a、b、c求双曲线的标准方程、等轴双曲线 【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论． 【详解】解：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故选：A. 【例4.6.】 与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】根据求出双曲线的渐近线方程 ，从而得，由求得，从而求解. 【详解】由题意设双曲线方程为，因为的渐近线方程为， 所以得，又因为的焦点为，所以. 由，所以可得：，，故双曲线的方程为，故B项正确. 故选：B. 题型5：求双曲线方程中参数的值或取值范围 方法提炼 (1) 对于方程， ①若，则方程表示双曲线，且当时，双曲线的焦点在轴上；当时，双曲线的焦点在轴上. ②若，则方程表示椭圆，且当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上. (2) 已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围. 【例5.1.】 设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 【例5.2.】 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围 【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故选：B. 【例5.3.】 （多选）已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线可以是圆 B．当时，曲线是焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线 D．当曲线是椭圆或双曲线时，焦距均为6 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、求椭圆的焦点、焦距、根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距 【分析】根据圆、椭圆和双曲线的标准方程和性质逐项判断即可. 【详解】由题意曲线的方程为， 显然，所以曲线不可能是圆，A选项错误； 当时，，所以曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确； 当时，，所以曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确； 由于恒成立，所以当曲线是椭圆或双曲线时，焦点均在轴， 当曲线是椭圆时，结合选项B可知，，此时，解得， 当曲线是双曲线时，结合选项C可知，，此时，解得， 所以当曲线是椭圆或双曲线时，焦距均为6，D选项正确； 故选：BCD 题型6：双曲线的焦点三角形 方法提炼 (1) 由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、周长问题,及有关角、变量的范围等问题。 (2) 在解与焦点三角形()有关的问题时,一般地，可由双曲线的定义,得焦半径的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得的关系式,从而求出。 (3) 常用结论 令， ①。 ②由余弦定理得：。 ③。 ④。 【例6.1.】 已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 【答案】 12 6 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】 根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 【例6.2.】 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】设，，由题意可得， 由双曲线的定义可得，， 则的周长是. 故选：B. 【例6.3.】 若椭圆与双曲线有相同的焦点，，P是两曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】椭圆与双曲线有相同焦点得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，利用面积公式求结论． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② ①2②2得， 所以， ①2②2得， 所以， 又，故， 所以， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故选：A． 【例6.4.】 设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【详解】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 【例6.5.】 （多选）已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据题意，然后根据双曲线的定义，结合通过余弦定理即可得出结果. 【详解】，因为,则，A正确； 由，根据双曲线的定义可得，知，则， 中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B错误； 设，则中由余弦定理,可得， 则，C正确； ，D正确； 故选：ACD 【例6.6.】 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程． 【详解】由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，    设，，因为，所以， 因为，所以，则， 因为点是的右支上一点，所以， 所以，则， 因为，所以，， 由勾股定理可得：，即， 解得，则， 所以双曲线的方程为： 故选：B 【例6.7.】 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解. 【详解】 如图 , , , ， 设,则， 平分 , , , 由双曲线定义可知， ，即, 在中，由余弦定理知 化简得 , 由得 , 不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 , . 故选：B 题型7：求双曲线的渐近线 【例7.1.】 已知双曲线，则下列选项正确的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为和 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、已知方程求双曲线的渐近线、求点到直线的距离 【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在轴上，，结合双曲线的性质判断A，B，C，根据点到直线的距离求出即可判断D. 【详解】由已知双曲线的焦点在轴上，且，，则， 所以，，. 所以的焦点坐标为、，故C项错误； 离心率，所以A项错误； 渐近线方程为与，所以B选项正确； 焦点到渐近线的距离为，所以D项错误. 故选：B. 【例7.2.】 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】已知直线平行求参数、求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出双曲线的渐近线方程，根据与平行可得，再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线与直线平行， 所以， 则双曲线的方程为，右焦点坐标为， 其中一条渐近线方程为， 则双曲线的右焦点到直线的距离是. 故答案为：. 【例7.3.】 若双曲线的渐近线与圆相切，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，再求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 圆即圆，圆心为，半径， 依题意可得，解得，则. 故答案为： 【例7.4.】 已知双曲线与直线相交于两点，若弦的中点的横坐标为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程、根据韦达定理求参数 【分析】联立直线与双曲线得，根据已知结合韦达定理得，可得，即得答案. 【详解】将直线代入双曲线有，则， 由题设，易知，故，则渐近线为. 故选：A 【例7.5.】 已知双曲线为双曲线的左，右顶点，若点在双曲线上，且，则双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意可得点的坐标为，代入双曲线可求得渐近线方程. 【详解】由题意知，双曲线的左、右顶点为双曲线的左、右顶点为，则， 因为，所以， 由三角函数关系可得点的坐标为，代入双曲线方程可得，， 化简得，所以，所以渐近线方程为. 故答案为：. 【例7.6.】 已知，双曲线的两个焦点为、，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求椭圆的焦点、焦距、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出双曲线、椭圆的焦点坐标，根据题意可得出关于、的齐次等式，解出的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的焦点坐标为， 椭圆的的焦点坐标为， 由题意可得，因为，可得， 因此，双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 【例7.7.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 【例7.8.】 已知，分别是双曲线的左､右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A，两点，若是正三角形，则这条双曲线C的渐近线方程是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】[解法1]先根据题意求得两点的坐标，进而得到、，再由是正三角形得到的关系式，进而求得的比值，从而可求得双曲线C的渐近线方程. [解法2]根据双曲线的定义，结合正三角形的性质，直接得到的关系，进而取值，并利用的平方关系得到的关系，进而得到渐近线的方程. 【详解】[解法1]根据题意，易知，双曲线C的渐近线方程为， 因为过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于A，两点， 所以不妨设，将代入双曲线方程得，解得，即，同理：， 所以，， 由双曲线的定义可知，即， 因为是正三角形，所以，即，得，即， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故答案为：. [解法2] 由题意为直角三角形，且, 故可设，则,如图所示： 由双曲线的定义得, ∴,∴, ∴, ∴双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 【例7.9.】 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】不妨设渐近线的方程为，求出点的坐标，根据已知条件可得出关于的齐次等式，解方程求，由此可得双曲线的渐近线的方程. 【详解】设双曲线焦距为，则、， 不妨设渐近线的方程为，如图：    因为直线与直线垂直，则直线的方程为， 联立可得，即点， 所以，， 因为，所以， 又，故， 所以， ， 整理可得， 所以，又， 所以， 故该双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 【例7.10.】 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】双曲线定义的理解、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据与共线，求出点的纵坐标，再根据的面积及双曲线的定义求出，从而可求出点的坐标，代入双曲线方程即可得解. 【详解】设，依题意可设， 所以，则， 故， 化简得, 又， 所以， 因为，点在双曲线上，且， 所以在双曲线的右支上， 所以， 则，解得， 所以的坐标为， 代入双曲线方程中，得，解得， 故所求渐近线的方程为. 故选：B. 题型8：求双曲线的离心率的值或取值范围 · 求双曲线的离心率 方法提炼 (1) 定义法：若可求得a,c的值或其满足的等式,则直接利用得解;若可求得a,b的值或其满足的等式,则直接利用 得解. (2) 方程法：根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,并用代替式子中的b，将式子化为a,c的齐次方程(或不等式),然后将等式(或不等式)两边同时除以a的n次方,从而利用转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意。 (3) 利用离心率的三角公式求离心率 如图，在焦点三角形中，， 则。 【例8.1.】 已知双曲线的两条渐近线的方程分别是x+y＝0和x﹣y＝0，则该双曲线的离心率是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】根据渐近线的方程设双曲线的方程，再根据双曲线的标准方程，分类求出离心率. 【详解】因为双曲线的两条渐近线的方程分别是x+y＝0和x﹣y＝0， 所以双曲线的方程可设为 当时， 当时， 故选：B 【例8.2.】 已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即， 所以. 故选：D 【例8.3.】 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义分析可知为等腰直角三角形，且，，结合勾股定理列式求解即可. 【详解】因为，则，， 且，可知为等腰直角三角形，    则，， 且，即， 整理可得，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 【例8.4.】 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由此求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，得，设， 由均在上，为的中点，得， 则，由分别在的左右两支，得， 直线的斜率分别为，， 设直线的倾斜角为，由，得， 由是以为底边的等腰三角形，得， 直线的倾斜角为，其斜率， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 【例8.5.】 双曲线的渐近线与直线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出交点横坐标，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 将代入中，解得， 故，故， 故双曲线的离心率． 故选：C. 【例8.6.】 已知为双曲线的右焦点，过点的直线分别交两条渐近线于两点.若，且，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据勾股关系确定进而可得，结合与渐近线的倾斜角的倍角关系求解. 【详解】 不妨设的倾斜角为锐角， 因为，所以，所以渐近线的倾斜角取值范围为， 所以 , 所以， 所以， 又因为，所以， 在直角三角形中，, 设直线的斜率为， 所以，所以，解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的离心率为， 故选：A. 【例8.7.】 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理得到关于和的齐次式，求解即可. 【详解】 设双曲线的右焦点为，因为为双曲线的左焦点，是双曲线上一点， 根据双曲线的定义知，， 因为是双曲线的右顶点，所以， 又，，所以， 所以， 在中，根据余弦定理得， 即， 整理得， 等式两边同时除以得，，解得（舍）或， 所以的离心率为. 故答案为：. 【例8.8.】 双曲线的左、右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于两点，满足，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据条件得直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合条件，利用根与系数间的关系，得，即可求解. 【详解】设，，与垂直且过点，则直线的方程为， 联立，整理得， 则，． 因为，所以为线段的中点，所以， 则，整理得，则， 故该双曲线的离心率．    故选：B 【例8.9.】 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线的性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示，    又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【例8.10.】 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案. 【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接， 因为，故，设， 则，而P为的中点，则， 故，即N为的中点， 而O是的中点，故是的中位线，则， 又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）； 又直线的斜率为，即，则。（为锐角）， 在中，，故，即， 则， 由双曲线定义知，即得，即， 故，即双曲线E的离心率为3， 故选：B 【例8.11.】 双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线与轴交于点，设为的内心，且，则 ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意有是角的角平分线，由角平分线定理有得和，利用余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线的光学性质有：是角的角平分线， 由角平分线定理可知，， 由双曲线定义可知， 在中，由余弦定理可得，， ， 连接为内心，是的角平分线， 在中，由角平分线定理可知． · 求双曲线离心率范围 方法提炼 求双曲线离心率的范围,关键是根据题目条件得到不等关系,并想办法转化为关于的不等关系,结合和得到关于e的不等式,然后求解。 在建立不等式求e时经常用到结论:双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为。 双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题,注意二者参数之间的转化。 【例8.12.】 ，分别为双曲线（，）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率e的最大值是 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】根据双曲线的定义，代入结合基本不等式可得，当且仅当时取最小值为，再根据求解即可. 【详解】，是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以， 代入得， 当且仅当时取等号，即， 又点P是双曲线左支上任意一点，所以，即，即. 故答案为：3 【例8.13.】 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若C与直线有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得，则双曲线离心率取值范围范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由直线与双曲线有交点，得在一三象限的渐近线的斜率大于1，得出的一个范围．双曲线上存在不是顶点的P，使得，与轴交于点，由平面几何的知识及双曲线定义得，在直角三角形中由边的关系得不等式，得出的范围，同时由的范围又是一个不等关系，从而得出离心率范围． 【详解】双曲线C与直线有交点，则，，解得， 双曲线上存在不是顶点的P，使得，则点在右支上， 设与轴交于点，由对称性，所以， 所以， ， 所以，由得，所以， 又中，，， 所以，即， 综上，． 故答案为：． 【例8.14.】 已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，由题意可得，分，两种情况，结合余弦定理可得的关系式求得的离心率的取值范围. 【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限， 因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 又，所以， 因为是钝角三角形，所以或为钝角， 若是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 当是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 所以的离心率的取值范围为. 【例8.15.】 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】因为过作圆的切线，切点为，故，过作 于M， 利用得关于a,b的不对等时，从而得出关于e的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出. 【详解】 过作 于M， ,O为 的中点， ， ， 令 ，则 ， ， 在 中， 解得 , 即 ， ， 且 与左支有交点， ，即 ， ， . 故选：D 【例8.16.】 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，其中为左焦点，点为两曲线在第一象限的交点，分别为曲线的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算. 【详解】设双曲线的焦距为． 则依题意得，，，，． 由得于是，． 又，则． 设，由，． 由在区间上为减函数，得的值域为． 所以的取值范围为， 故选B． 题型9：直线与双曲线位置关系的综合问题 · 直线与双曲线的位置关系 【例9.1.】 过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【详解】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 【例9.2.】 若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据方程解得个数讨论求解. 【详解】将代入双曲线方程中得到：， 展开整理得. 当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. 当时方程是二次方程， 若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式， 展开得到：. 进一步化简为，则. 解得. 故答案为：或. 【例9.3.】 已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据条件列出方程求解双曲线方程，分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可. 【详解】由已知可设双曲线E的方程为， 则，解得，所以双曲线E的方程为. 当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设直线l的方程为，如图， 联立，得（*）， ①当，即或时，方程（*）只有一解， 所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 此时，直线l的方程为； ②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则，解得， 此时，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 【例9.4.】 如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【例9.5.】 双曲线与直线没有公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】将双曲线方程与直线方程联立，得关于的方程，将公共点问题转化为方程的解的情况求解即可. 【详解】联立，得， 由直线与双曲线没有公共点，得 ①时，，即，解得； ②时，方程无解，此时（负值舍去） 综上所述：. 故选：D. 【例9.6.】 已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1. (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据离心率求双曲线的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）双曲线离心率（为双曲线的半焦距），焦点到渐近线（即）的距离，且.再根据已知条件求出，的值，从而得到双曲线的标准方程. （2）将直线方程代入双曲线方程，得到一个一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，结合直线与双曲线左支交于不同两点的条件来确定的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即. 又因为焦点到渐近线的距离为， 根据点到直线距离公式，而，所以，则. 由且，，可得，解得. 所以双曲线的标准方程为. （2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得. 因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以. 由，解得. 对于，即，解得. 由，（结合），所以，解得. 由，解得，即或. 综合以上条件，取交集得. 则实数k的取值范围为. 【例9.7.】 已知双曲线，过点作直线l.若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、斜率求参数 【分析】联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. · 弦长问题 方法提炼 (1) 直线与双曲线相交所得的弦长。 (2) 解决此类问题时要注意是交在同一支,还是交在两支上。 (3) 处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时,利用韦达定理、点差法的解题过程中,并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交,因此,最后要代回去检验。 (4) 双曲线的通径:过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径。无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于。 【例9.8.】 已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中的弦长 【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长. 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 【例9.9.】 已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求； 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据已知得、，即可得双曲线方程； （2）由题设可得，联立双曲线方程，应用韦达定理及弦长公式求. 【详解】（1）由题设，又， 所以，则. （2）由右焦点为，则， 联立双曲线方程，得，整理得， 显然，则，， 所以. 【例9.10.】 过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若，则这样的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求双曲线中的弦长 【分析】过双曲线焦点的最短弦长是通径，据此判断即可. 【详解】由，得． 当l斜率不存在时，符合要求． 当l斜率存在时，若两点都在右支上，则不符合要求． 若在左、右两支上，满足题意的直线有两条．所以共3条． 故选：B. 【例9.11.】 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案． 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B · 中点弦问题 方法提炼 过椭圆内一点作直线,与椭圆交于两点,使这点为弦的中点,这样的直线一定存在,但在双曲线的这类问题中,则不能确定。要注意检验。 【例9.12.】 已知双曲线方程为. （1）求以定点为中点的弦所在的直线方程； （2）以定点为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【解析】（1）设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，运用点差法可得所求直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程； （2）假设定点为中点的弦存在，设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，结合点差法，求得直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程，代入双曲线的方程，检验判别式是否大于0，即可判断是否存在． 【详解】解：（1）设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，， 可得，，① 由端点在双曲线上，可得，， 两式相减可得， 将①代入上式， 可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为 ， 则以定点为中点的弦所在的直线方程为， 即为， 代入双曲线的方程可得， 由，可得所求直线存在， 即有所求直线的方程为； （2）假设定点为中点的弦存在， 设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，， 可得，，② 由端点在双曲线上，可得，， 两式相减可得， 将②代入上式， 可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为 ， 则以定点为中点的弦所在的直线方程为， 即为， 代入双曲线的方程可得， 由，可得所求直线不存在， 以定点为中点的弦不存在． 【例9.13.】 在平面直角坐标系中，已知双曲线，过左焦点且斜率为的直线与双曲线交于两点，设线段的中点为，若，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据题意，设过左焦点的直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理，求得，结合，列出方程，即可求得的值，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的左焦点为， 设过左焦点且斜率为的直线的方程为， 联立方程组，整理得，其中不等于， 设，且 则，则， 可得，即， 因为，所以，可得，解得， 又因为，所以. 故答案为：. 【例9.14.】 已知双曲线，过点的直线交其于轴下方两个不同的点，设的中点为，过点与作直线，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设过点A的直线为，，，，利用点差法可知，然后表示，联立直线方程与双曲线方程根据条件求出，然后可得结果. 【详解】设过点A的直线为，由题意知， ，，，可知，， 可得， 即.又可得 所以. 又，由， 得，解得， 则. 故答案为： 【例9.15.】 已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可； （2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； （3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率．    【例9.16.】 已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【难度】0.4 【知识点】求弦中点所在的直线方程或斜率、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. · 双曲线中的对称问题 方法提炼 (1) 主要讨论的对象是双曲线上存在关于某条直线对称的两个点的问题。 (2) 解决这类问题的思路： 要充分运用“垂直平分”这两个特征。此外还要注意“点差法”的运用。例如:设双曲线方程为,直线的方程为,若双曲线上存在两点P,Q关于直线对称,则PQ的方程可设为,代入双曲线方程之后得到关于x(或y)的一元二次方程,且成立,从而求得k的范围。 也可以用“设而不求”的方法。设是双曲线上关于直线对称的两点,所以，① ，② ①－②，得. 所以。 其中，为PQ的中点,也是直线与PQ的交点。 【例9.17.】 已知A，B为双曲线上的两点，且A，B关于直线对称，则线段AB中点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】根据题意，设线段AB的中点为，利用点差法即可得到直线OM的方程，再与直线联立即可得到中点坐标. 【详解】由题意可知直线的斜率，可知直线AB的斜率． 设，线段AB的中点为，则， 可得，． 因为A，B为双曲线上的两点， 所以，两式相减整理得，， 即，解得，所以直线， 因为线段AB的中点在直线上，又在直线OM上，故两直线交点即为中点， 联立，解得，可知线段AB中点的坐标为． 故答案为：. 【例9.18.】 已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立. （1）求双曲线的方程； （2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 【答案】（1）;（2）. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，即可解得双曲线的方程. （2）设双曲线上的两点关于直线对称，联立直线和双曲线的方程，由对称和判别式可得关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）根据题意可得双曲线的方程为(). 由直线是渐近线，可得. 由，可得. 联立以上两式，解得， 所以双曲线的方程为. （2）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称. 当时，设曲线上的两点关于直线对称， 则且线段的中点在直线上. 设直线的方程为， 联立 消去得. 所以,, 则.① 设线段的中点为， 则，. 因为点在直线， 所以，则.② 由①②可得， 整理可得，解得或.   所以的取值范围是. 题型10：双曲线的综合问题 【例10.1.】 （多选）设，分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点（在轴上方，在轴下方），为双曲线的半焦距，为坐标原点．则下列命题正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．若，则双曲线的离心率为 D．若，且的面积为，则双曲线的方程为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、求直线与圆交点的坐标、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】A选项联立渐近线方程和圆的方程即可求解；B选项利用向量的数量积即可检验；C选项利用余弦定理即可求解；D选项利用三角形的面积并结合C选项的结论可求解. 【详解】 对于A选项，根据题意可得以为直径的圆的方程为， 不妨设渐近线方程为， 联立方程组，解得，，故A错误； 对于B选项，，，， ，， ，则，故B正确； 对于C选项，，，，且， ，，， 所以由余弦定理得，， 化简得，所以，故C正确； 对于D选项，由C得，的面积为， 则有，再由，解得，， 所以双曲线的方程为，故D正确． 故选：BCD． 【例10.2.】 （多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（    ） A．两渐近线夹角为 B．的离心率 C．为定值 D．的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线两渐近线的夹角，可判断A选项；双曲线的渐近线与圆相切，求出的值，可求出该双曲线的离心率，可判断B选项；求设，则，利用点到直线的距离公式可判断C选项；分析可知，利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径， 即，所以双曲线，所以双曲线渐近线为， 所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误； 因为，所以离心率，B正确； 设，则，所以，C正确； 因为由余弦定理可得 所以，当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点， 所以的最小值为，D正确. 故选：BCD. 【例10.3.】 （多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（    ） A．若到渐近线的距离为1，则 B．若，则点的的纵坐标为 C．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 D．过点作双曲线的切线交渐近线于，两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由点到直线的距离公式即可判断A，结合双曲线的定义以及等面积法代入计算，即可判断B，由三角形内切圆的定义以及双曲线的定义代入计算，即可判断C，由三角形的面积公式代入计算可得，然后联立切线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，设双曲线其中一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为，  ，，故A正确； 对于B，双曲线定义，， 由等面积可得，，故B错误； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以圆心总在定直线上，故C正确；    对于D，过点的切线与双曲线切于点，设，， 又均在双曲线的渐近线上，故设，， 设，则，， ， 在双曲线上取一点，因为在双曲线上， 构造， 且以及，将两式相减可得， 即， 当趋近于时（也就是求切线的情况），此时所在直线就趋近于过的切线， 令表示切线的方向向量，， 上式可化为，则是切线的法向量， 由直线的点法式可得， 整理可得， 所以过点的切线方程为：，即， 代入，化简得， 又，， 即，， ，则曲线的渐近线方程为，故D正确； 故选：ACD 【例10.4.】 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，若，则的面积为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可求出与的关系，不妨设直线的倾斜角为，依题意可得，再由及二倍角公式求出，从而得到直线、的方程，联立直线与双曲线方程，求出、坐标，即可求出方程，再求出面积即可. 【详解】法一：因为易知直线的斜率存在，设，， 联立可得， 由，可得且． 所以， 所以由可得， 即， 即， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． 不妨设直线的倾斜角为， 因为，所以，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去）， 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时，因为，所以， 即，即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以， 且直线，整理得：， 所以点到直线的距离， 故的面积为． 法二： 设直线的倾斜角为，，，， 由，则，解得（负值已舍去）， 由，即，得， 即， 联立及得，， 同理，，， 故，， 而，，由， 即，解得（负值已舍去）， 故 故答案为： 【例10.5.】 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦距长为4． (1)求C的标准方程； (2)点在C上，点P的坐标为，O为原点，求面积的最小值； (3)过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【答案】(1); (2); (3)或或. 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的切线方程、已知圆的弦长求方程或参数、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）利用渐近线和焦距可求得双曲线的标准方程； （2）利用切线结合几何意义可求得面积最小值； （3）利用方程组计算弦长和中点坐标，结合垂径定理和勾股定理可列出方程求解即可. 【详解】（1）由双曲线（，）的渐近线方程为，可得， 又由焦距长为4，可得即则有， 联立上面两式解得：， 所以双曲线方程为：； （2）由点P的坐标为，O为原点，则， 此时直线的斜率为， 利用平行于的直线与双曲线相切，即联立方程组得： ，整理得：， 由，解得， 此时切点为，可以得到这个的面积最小， 再由平行线间的距离公式可得：， 则最小面积为； （3）设过C的右焦点F的直线为，与双曲线联立方程组得： ， 设交点，则有 所以 设交点的中点为， 则有，则， 所以中点为到直线的距离为， 再由，结合勾股定理可得： ，解得：或； 所以直线DE的方程或或. 【例10.6.】 已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为． (1)求的方程； (2)若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值； （ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意计算出，，然后解出方程； （2）（ⅰ）由题意设直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示计算即可； （ⅱ）方法1：设点的横坐标为，由直线的方程和直线的方程结合中点坐标公式求出点的坐标为．代入双曲线方程得出，通过计算求得点的坐标； 方法2：设点的坐标为，令代入双曲线方程解得，再结合计算得．又由（ⅰ）知计算即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，． 由得． 由，，得且，，． 所以 ． 故直线和的斜率之和为定值4． （ⅱ）方法1：设点的横坐标为， 由（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为， 于是，， 所以， 所以点的坐标为． 在方程中，令，得， 所以， 所以， 可得， 所以或，又因为， 所以，所以点的坐标为． 方法2：设点的坐标为， 在方程中，令，得，所以， 所以，解得． 又，且为线段的中点，所以， 又由（ⅰ）知或（舍去）． 所以点的坐标为． 【例10.7.】 已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，点的坐标为，点P在圆上，线段的垂直平分线交线段于点Q． (1)求动点Q的轨迹曲线C的方程； (2)斜率为的直线m交双曲线E于点A，B，若弦的中点M恰好在曲线C上，求点M的坐标； (3)记双曲线E与曲线C在第一象限的交点为的平分线为n，在曲线C上是否存在不同的点S，T，使得点关于直线n对称？若存在，求出S，T所在直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在， 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）根据点到直线距离及椭圆定义计算求出椭圆方程； （2）应用点差法 计算得出 代入椭圆方程计算得出点的坐标； （3）先联立双曲线及椭圆再得出的方程分别为，方法一：应用点到直线距离结合点差法证明；方法二：应用角平分线定理计算；方法三应用角的正切的关系计算得出直线；方法四：应用直角三角形内切圆性质求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 不妨取一条渐近线为， 如，则圆心到直线的距离， 从而解得，                             故， 所以，点Q的轨迹C是以为焦点，长轴长为8的椭圆， 因此其标准方程为． （2）设则且， 两式相减，得， 从而，即，                     代入，解得， 故点M的坐标为或． （3）联立解得， 从而，的方程分别为，                     （方法一）设为的平分线n上任意一点，则， 化简得或， 但平分线n与x轴的交点在之间， 检验可知所求角平分线n的方程为．                     设的中点为， 则，直线的斜率 因为所以，故， 代入得 但点与点N重合，即在椭圆上，矛盾！ 故在曲线C上不存在不同的点S，T，使得点S，T关于直线n对称．                             （方法二）设为的平分线n与x轴的交点（如图）， 由角平分线定理得，， 即， （利用E到的距离相等也可）， 解得，从而所求角平分线n的方程为．                 （以下同方法一） （方法三）设E为的平分线n与x轴的交点（如图）， 易知，，可解得，即， 所以， 从而所求角平分线n的方程为．                    （以下同方法一） （方法四）设为的内心（如图），内切圆半径为r， 则， 可得，即I的坐标为， 从而所求角平分线n的方程为．                     （以下同方法一） 【例10.8.】 已知双曲线的渐近线为，左顶点为. (1)求双曲线的方程； (2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上， ①求的横坐标； ②求圆面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；②且 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出得双曲线方程； （2）①设，由四点共圆可得，根据斜率公式转化为点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出；②求出点坐标得出，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在轴上， 可设双曲线的方程为（，）， 从而渐近线方程为：，由题条件知：. 因为双曲线的左顶点为， 所以，， 所以双曲线的方程为：. （2）如图，    ①，设直线的方程为：， 将代入方程：，得， 当且时， 设，，则，. 设直线的倾斜角为，不妨设，则， 由于，，，四点共圆知：， 所以直线的倾斜角为，. 直线的方程为：， 令，则，从而， 所以，又， 得：， 又，代入上式得： ， ， ， 化简得：，解得：（舍）或. 故点的坐标为. ②直线的方程为，由①知：， 所以. 直线方程；，所以， 若，在轴上方时，在的上方，即时，； 若，在轴下方时，即时，， 所以或. 又直线与渐近线不平行，所以. 所以，或且. 因为， 设圆的半径为，面积为，则， 所以 ， 当且仅当即时，上述不等式取等号， 或且. 所以且，从而且. 【例10.9.】 已知双曲线的右焦点到其中一条渐近线的距离为 (1)求的标准方程； (2)若过的直线与的左、右支分别交于点，与圆交于与不重合的两点. ①求直线斜率的取值范围； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由右焦点到其中一条渐近线的距离为，求出，由此可得双曲线标准方程； （2）①设，，设直线的方程为，由设而不求法得到，，根据已知求出直线斜率的取值范围； ②求出，，再求的表达式，由此可求其范围. 【详解】（1）由题意可得， 且右焦点到渐近线的距离为， 所以，， 所以的标准方程为. （2）①由（1）知，，设，， 由题意可得直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为 与联立得， 所以，， ，， 又两点在轴同一侧，所以. 此时，即. 圆的方程为，点到直线的距离， 由得， 由，得， 所以或， 因为直线的斜率， 所以直线斜率的取值范围是. ② . ， 所以， 设，则 ， 所以的取值范围是.    【点晴】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围. 【例10.10.】 已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． 【答案】(1)点A的坐标为或或或 (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、双曲线中的定值问题、双曲线向量共线比例问题 【分析】（1）由题可得双曲线方程，设，由可得 ，然后由点A在双曲线上可得答案； （2）（ⅰ）将直线PQ方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得，据此可化简直线的斜率之和，由此可完成证明； （ⅱ）设直线MN方程为，，将直线MN方程与双曲线渐近线方程联立，可得，结合，可得，将直线PG方程代入双曲线方程可得：P的横坐标与Q的横坐标，据此可得，随后可完成证明. 【详解】（1）求双曲线方程及点A的坐标： 已知双曲线右焦点，离心率， 因为在双曲线中（为半焦距），且，所以， 又因为，所以， 则双曲线的方程为； 设，则， 由，可得：，即， 又因为在双曲线上，所以，即， 将代入，得：， 整理，得，解得：， 当时，，即； 当时，，即， 所以点A的坐标为或或或； （2）（ⅰ）证明：直线的斜率之和为定值： 因为点A在第一象限，所以，设直线的方程为， 联立，消去得：， 化简得： 由韦达定理，得：， 直线的斜率，直线的斜率， 则， 因为，代入上式， 得：， 将上式的分子展开，得： ， 整理，得：， 代入， 可得， 即，所以直线的斜率之和为定值； （ⅱ）证明三点共线：双曲线的渐近线方程为， 由题可得直线PQ，MN斜率存在且不为0 设直线MN方程为，设 如图，直线MN与交点为M，与交点为N. 联立，解得：，即， 联立，解得：，即， 则. 由，则 移项并利用平方差公式，可得： . 由题，直线PG斜率为，直线QG斜率为，又， 则， 则，又， 则. 直线PG方程为：， 代入中， 则， 据此可得P的横坐标即， 同理可得Q的横坐标即. 则，. 则. 由，代入，则. 则， 则点G满足直线MN方程，所以G，M，N三点共线. 【点睛】关键点点睛：证明三点共线，通常可利用向量，由向量共线证明三点共线， 也可利用斜率，由两条线段相交且斜率相等完成证明，或类似于本题，利用坐标法完成证明. 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