重难点04-基本不等式求最值（进阶）-课后练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

课后训一基本不等式求最值（进阶)· 日期：2025.时长：45-60分钟/次 【题组一条件求值+消元法+公式变形】 (条件等式：有和有积有常数) 1.(多选)已知实数a>1,b>1,且满足ab=a十b+3,则() A.ab的最小值为9 B.a十b的最小值为7 C.a2+b2的最大值为18 D.寺十吉的最小值为1 2.(多选)已知实数a,b满足a2+4b2-ab=1,则下列结论正确的是() A.a2+4b2的最大值为 B.a2+4b2的最大值为2 C.a+2b的最小馆为25 D.a+b的最小值为-回 5 第1页 (消元法) 3.已知0<n<1<m,且m十n=2,则+件的最小值为() A.8 B.4+2V2 C.5+22 D.6+2V2 (公式变形) 4.(多选)已知x>0,y>0且x+4y=1,则下列说法正确的是() A.袁十吉的最小值为9 B.y的最大值为言 C.2+16'的最小值为2√2 D.安+吉的最小值为6 第2页 5.已知x,yER,且x2+4y2=3,则x+y的最大值为一 【题组二多项+多字母】 (多项：公式变形) 6.已知x>0,y>0且x+y=1,则袁+寺+的最小值为() A.4V2 B.8 c.2V2 D.4 第3页 (多字母：消元) 7.设正实数x,y,z满足x2-y-xz十4z2=0,则当号取得最大值时，是-号+壶的最大值为() A.2 B.器 C.1 D.星 (多字母：多次应用基本不等式) 8.对任意的正实数a,b,C,且满足b+c=2,则妇+号的最小值为 bc 第4页 【题组三实际应用】 9.某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一 年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为Rx)万元，且 =总之当孩公可年内大生产该感空习3万金黯色完，生指为 1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a,b; (2)写出年利润W(万元)关于年产量x（万部)的函数解析式： (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 第5页 10.2024年10月29日，小米SU7U1tra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中 国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系某企业计划引进新能 源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x(千辆)获利W(x)(万元)，关系如下： (75(x2+3),0≤x≤2 W(x)= 毁，2<x≤6，该公司预计2024年全年其他成本总投入为30x万元由市场调 研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为f(x)(单位：万元) (1)求函数f(x)的解析式： (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由 第6页 课后训—基本不等式求最值（进阶）- 日期：2025. 时长： 45-60分钟/次 【题组一 条件求值+消元法+公式变形】 （条件等式：有和有积有常数） 1．（多选）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 【答案】AD 【分析】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得 （舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得 （舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 2．（多选）已知实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于选项ABC，利用基本不等式求解判断；对于选项D，令，代入，利用判别式求解判断. 【详解】对于选项AB，， 则，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故A正确，B错误； 对于选项C， ， 则，当且仅当时等号成立， 则，当且仅当时等号成立，故C错误； 对于选项D， 令，代入，得， 当且仅当时，成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：AD. （消元法） 3．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D （公式变形） 4．（多选）已知且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，由基本不等式结合指数幂的运算性质即可求解；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解. 【详解】对于A，因为且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 5．已知x，，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设，代入，由判别式不小于0可得. 【详解】设， 由得， ，解得， 时，， 故答案为：. 【题组二 多项+多字母】 （多项：公式变形） 6．已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B （多字母：消元） 7．设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. （多字母：多次应用基本不等式） 8．对任意的正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意将原式整理成，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可求得当，时的最小值为. 【详解】由正实数，且可得 ; 当且仅当时，即时，等号成立； 又， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当，时，等号成立，此时的最小值为. 故答案为： 【题组三 实际应用】 9．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 10．2024年10月29日，小米SU7Ultra量产版正式面世，代表了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1) (2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，而， 所以函数的解析式为， 即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $