重难点04：基本不等式求最值讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式求最值（进阶） 典例剖析 【考向一条件等式：有和有积有常数】 【方法一基本不等式+换元法】 1.(多选)若实数a,b满足a2+b2-nab=9,n∈R,则下列说法正确的为（) A.当n=1时，a2+b2的最大值为16B.当n=1时，a十b的最小值为-6 C.当n=3时，ab的最小值为-9 D.当n=3时，a2+b2的最小值为号 【变式】（多选）已知a,b为正实数，且ab=14-2a-b,则() A.ab的最大值为18-8V2 B.2a+b的最小值为82-4 C.a+b的最小值为4 D.品+的最大值为 第1页 【方法二分解变形】 2.若正数a,b满足ab+a+b=8,则(a+1)2+(b+1)2的最小值是() A.15 B.18 C.24 D.36 【方法三消元法，转化为函数求最值】 3.(多选)已知正数a,b满足a+2b=2ab一3，则() A.b的取值范围是(，+∞) B.ab的最小值为号 C.a+的最小值为2 D.2a+b的最小值号 第2页 【变式】（多选）已知a,bER,ab+a+2b=14,则下列说法正确的是() A.a+b<15 B.的最小值为一1 C.a+4b的最小值为12 D.2十的最小值为方 」 典例剖析 【考向二条件等式：消元法、函数思想】 【方法一消元法+函数思想】 4.已知正实数x,y满足x2+3xy-2=0,则2x+y的最小值为() A.210 B.o C. D.青 第3页 5.(多选)若ab>0,a十2b=4,则() A.ab≤2 B.a2+4b2≥8 C.吉十号的最小值为 D.器+器的最小值为 【变式】已知正实数a,b满足a+b=1,则平+品的最大值是() A.2 B.1+V2 c.1+29 D. 第4页 【方法二先消元，再换元】 6.若正数a,b满足2a+b=1,则4a2+b2+Vab的最大值为一 7.己知m>2,n>1,且3m+3n=mn+7,则m+2n的最小值为一 第5页 典例剖析 【考向三利用乘法公式进行变形构造】 【方法一利用乘法公式进行分解变形（因式分解）】 8.(多选)若实数x,y>0,且满足x+2y=1,则下列选项正确的是() A.3+9≥25 B.+≥14 C.x2+4y2≥青 D.y+≥ +27y 9.已知正实数x,y,且满足xy=3,则4y41的最小值是（) A.1 B.3 C.3 D.2 第6页 【方法二利用乘法公式展开变形（展开构造）】 10.（多选)己知x,y为正实数，x十y=4,则() A.xy的最大值为4 B.V区+VF的最小值为22 C.+的最小值为3 D.(x2+1)(y2+1)的最小值为16 11.(多选)已知xy>0且满足x2+y2+1=(xy-1)2,则下列结论正确的是() A.8y24B.x+y≥6C.x2+y2≥8 D.x+3y≥4+2W3 第7页 12.已知x>0,y>0,且满足x2+4y2+2xy=3,则x+2y的最大值为 【练习】若实数x,y满足x2+y2+y=1,则x+y的最大值是() A25B.-29 C. D. 第8页 典例剖析 【考向四多字母型的最值求解】 【方法一乘法公式变形，构造整体】 13.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+xz的取值范围是 【练习】若a,b,c>0,ab=1,a2+b2+c2=4,则ab十bc十ac的最大值为· 14.实数x,y,z满足x+y+z=5,y+yz+zx=3,则z的最大值是 第9页 【方法二三项的均值不等式】 15.已知x>0,y>-1,z>0,2y+3z=2-x,则层+克+老的最小值为() A.+V6B.75 C.+6 D.号+V6 【方法三多次应用基本不等式】 16.已知a,b,c均为正实数，且a+b=1,则当言+取得最小值时a= 晋十十的最小值为 第10页 基本不等式求最值（进阶） 【考向一 条件等式：有和有积有常数】 典例剖析 【方法一 基本不等式+换元法】 1．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【分析】利用基本不等式的变形，结合整体法逐一分析判断即可. 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 【变式】（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项A；由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项B；根据题意变形得，由，结合基本不等式即可判断选项C；由，结合基本不等式即可判断选项D． 【详解】对于选项A，由，且，为正实数， 则， 即， 所以，即， 当且仅当，即，时，不等式取得等号， 即的最大值为．故选项A正确； 对于选项B，由，且，为正实数， 则，即， 所以， 当且仅当，即，时，不等式取得等号， 即的最小值为．故选项B正确； 对于选项C，由，且，为正实数， 则， 所以， 当且仅当，即，时，不等式取等号， 所以的最小值为．故选项C错误； 对于选项D，结合选项C有， 则， 当且仅当，即，时，不等式取等号， 所以的最大值为．故选项D正确． 故选：ABD． 【方法二 分解变形】 2．若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 【方法三 消元法，转化为函数求最值】 3．（多选）已知正数a，b满足，则（   ） A．b的取值范围是 B．的最小值为 C．的最小值为2 D．的最小值 【答案】AB 【分析】对于A：根据题意可得，，运算求解即可；对于BCD：根据题意结合基本不等式分析判断，注意等号成立的条件. 【详解】对于选项A：因为正数a，b满足， 则，，解得，，故A正确， 对于选项B：因为， 整理可得，解得，或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 所以2不是的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 【变式】（多选）已知，则下列说法正确的是（　　） A． B．的最小值为 C．的最小值为12 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】已知条件可化为，对A，令，则，结合其单调性可判断；对B，由条件式消元得到二次函数，求其最值即可判断；对C，由条件式消元，利用基本不等式，可得判断；对D，直接由基本不等式判断. 【详解】由得， 对于A，因为，所以，所以， 令，因为所以，即， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时取等号，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确； 故选：ABD. 【考向二 条件等式：消元法、函数思想】 典例剖析 【方法一 消元法+函数思想】 4．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知，利用基本不等式运算求解. 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 5．（多选）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有 ，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 【变式】已知正实数，满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过“1”的代换让所求式的分子、分母都变为二次，再化简求值. 【详解】 ， 当且仅当时取等号. 故选：D 【方法二 先消元，再换元】 6．若正数a，b满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合二次函数知识得最大值. 【详解】由得，令， 则， 因为，所以, 所以，当时取到最大值． 故答案为：. 7．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 【考向三 利用乘法公式进行变形构造】 典例剖析 【方法一 利用乘法公式进行分解变形（因式分解）】 8．（多选）若实数，且满足，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A直接利用基本不等式即可；B利用“1的代换”，再结合基本不等式；C利用不等式即可；D变形为，再结合对勾函数的单调性即可. 【详解】因，，则， 等号成立时，故A正确； 因，， 则， 等号成立时，故B错误； 因，则，等号成立时，故C正确； 因，，则，等号成立时， 又，则， 因函数在上单调递减，则， 等号成立时，即，故D正确. 故选：ACD 9．已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用换元法，设，用表示出目标式，结合函数单调性可求答案. 【详解】设，又，且． 所以，当且仅当“”时取等号． 则， 故选：B． 【方法二 利用乘法公式展开变形（展开构造）】 10．（多选）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 【答案】AD 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断. 【详解】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 11．（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简式子得到，应用基本不等式的乘“1”法可判断BD，A直接应用基本不等式即可判断，C转化为二次函数即可判断. 【详解】根据题意: ， ， ，又，， ， 对A，，则， 当且仅当且，即时等号成立，A正确； 对B，， 当且仅当且，即时等号成立，B错误； 对C，由，又， 故，所以，当且仅当时等号成立，C正确； 对D， ， 当且仅当且，即时等号成立，D正确. 故选：ACD. 12．已知，，且满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 【练习】若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 【考向四 多字母型的最值求解】 典例剖析 【方法一 乘法公式变形，构造整体】 13．已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，得到，由完全平方公式得到，从而得到的取值范围. 【详解】， 当且仅当（同号）时取等号； 又， 于是，当时取等号（例如符合题意）． 因此所求的取值范围是． 故答案为：. 【练习】若，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件变换为，再使用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，， 则 ， 当且仅当时取等号，故的最大值为． 故答案为：. 14．实数x，y，z满足，，则z的最大值是 . 【答案】 【分析】利用完全平方公式，结合基本不等式构造关于的二次不等式，解二次不等式可得的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以 ， 又， 因为 . 所以， 整理得： . 所以的最大值为：. 故答案为： 【方法二 三项的均值不等式】 15．已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 【方法三 多次应用基本不等式】 16．已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出取得最小值时的值；利用基本不等式处理，再利用基本不等式即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 17．已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 【方法四 消元法+基本不等式】 18．正实数满足，当取得最大时，的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简得到，利用均值不等式得到最值时，代入数据化简得到，根据二次函数性质得到最值. 【详解】，故， ， 当且仅当，即时等号成立，此时，故， ， 故当，即，，时有最大值为. 故选：C. 【变式】设正实数a，b，c满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，从而利用基本不等式求得的最大值及成立的条件，从而化为，最后利用二次函数性质求解即可. 【详解】依题意，由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则代入中，得 ，所以， 因此， 当且仅当时取等号，所以当，，，时，取得最大值. 故选：B. 【考向五 多项型求最值】 典例剖析 【方法一 常数“1”的替换】 19．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】法一：化 ，再应用基本不等式求最小值；法二：化，再应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】法一： ，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 【方法二 换元法变形+函数思想】 20．已知，，求x的最大值． 【答案】18 【分析】利用换元法把条件转化，结合基本不等式可求答案. 【详解】设，，a，，则， 于是， 从而可得，等号当即时取得， 因此所求的最大值为18． 21．若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 【练习】若正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性可知，代入可得，根据基本不等式可得最值. 【详解】由题可知， 因为在上单调递增， 所以在上单增， 所以上式可表示为， 则，即， 因此， 当且仅当即，时等号成立， 故答案为：. 【题型六 基本不等式实际应用】 典例剖析 22．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 23．如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为 m3． 【答案】36 【分析】设仓库长为m，高为m，由预算得关系式，利用基本不等式求出范围，由范围求仓库的储物量的最大值. 【详解】设仓库长为m，高为m， 则， 即，其中， 因为， 即, 所以，当且仅当m时取等号， 所以仓库的储物量 ， 即仓库的储物量的最大值为. 故答案为：36. 24．我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【变式】安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)千克，最大利润是元． 【分析】（1）利用利润公式直接求解即可； （2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值． 【详解】（1）根据题意知 ， 整理得； （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 25．交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？（结果精确到个位） 【答案】(1)当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时 (2) 【分析】（1）利用基本不等式即可求解； （2）解不等式和，求交集即可； 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，因为， 所以当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时. （2）当时，由，解得，当时，满足题意，即； 当时，由及， 可得， 即，解得，即. 故汽车的平均速度应在范围内. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $