专题02 一元二次函数、方程和不等式11考点（期中真题汇编，新疆专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题02 一元二次函数、方程和不等式 11大高频考点概览 考点01 作差比较大小及不等式性质的应用 考点02 根据不等式的性质求取值范围 考点03 不等式的实际应用 考点04基本不等式概念的理解及简单应用 考点05 配凑法求最值 考点06 常数代换法求最值 考点07基本不等式的综合应用 考点08基本不等式的实际应用 考点09 解一元二次不等式 考点10 由一元二次不等式的解求参数 考点11 一元二次不等式的恒成立问题 地 城 考点01 作差比较大小及不等式性质的应用 1．（2024秋•喀什市期中）比较下列各题中两个代数式的大小： （1）与； （2）与． 2．（2024秋•喀什市期中）已知，，且，不为0，那么下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． （多选）3．（2024秋•莎车县期中）下列命题中一定正确的是　　 A．若，且，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，且，则 4．（2024秋•新疆期中）已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 5．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•哈密市校级期中）若，则下列不等式中总成立的是　　 A． B． C． D． 7．（2024秋•天山区校级期中）下列命题中，正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024秋•和田县校级期中）对于任意实数、、、，下列命题是真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 （多选）9．（2024秋•天山区校级期中）下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （多选）10．（2024秋•巴音郭楞州期中）若，，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 地 城 考点02 根据不等式的性质求取值范围 11．（2024秋•阿克苏地区校级期中）（1）比较与的大小； （2）已知实数，满足，，求的取值范围． 12．（2024秋•巴楚县期中）已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 地 城 考点03 不等式的实际应用 13．（2024秋•新疆期中）已知某公司研发部的人数比客服部多，客服部的人数比营销部多，且营销部人数的3倍多于研发部的人数，若该公司营销部有5人，则该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是　　 A．18 B．32 C．25 D．34 14．（2024秋•墨玉县期中）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好．以下结论叙述正确的个数为　　 ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 地 城 考点04 基本不等式概念的理解及简单应用 （多选）15．（2024秋•喀什市期中）下列说法中正确的有　　 A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立 C．若，，则 D．若实数，，则 16．（2024秋•喀什市期中）若，则的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 17．（2024秋•新疆校级期中）已知，，且，则的最小值为 　　． 18．（2024秋•天山区校级期中）若正实数，满足，则的最小值是　　 A．48 B．56 C．64 D．72 地 城 考点05 配凑法求最值 19．（2024秋•新疆期中）已知，则的最小值是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 20．（2024秋•莎车县期中）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 地 城 考点06 常数代换法求最值 21．（2024秋•喀什市期中）已知，，且，求的最小值． 22．（2024秋•莎车县期中）已知，，，则的最小值为　　 A．16 B．4 C． D． 23．（2024秋•巴楚县期中）设，，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•新疆期中）已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 地 城 考点07 基本不等式的综合应用 （多选）25．（2024秋•天山区校级期中）下列函数中最小值为2的是　　 A． B． C． D． （多选）26．（2024秋•天山区校级期中）下列不等式正确的有　　 A．若，则函数的最小值为2 B．若，则 C．当， D．若且，则 （多选）27．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． （多选）28．（2024秋•巴楚县期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是　　 A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 （多选）29．（2024秋•和田县校级期中）以下结论正确的是　　 A．函数的最小值是2 B．若，且，则 C．的最小值是2 D．函数的最大值为0 地 城 考点08 基本不等式的实际应用 30．（2024秋•喀什市期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于　　． 31．（2024秋•天山区校级期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在的延长线上，点在的延长线上，且对角线过点．已知米，米．设米（单位：米） （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围； （2）当的长度是多少米时，矩形的面积最小，并求出最小面积． 32．（2024秋•天山区校级期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元．设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长． （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围． 地 城 考点09 解一元二次不等式 33．（2024秋•墨玉县期中）不等式的解集为　　 A． B． C． D． 34．（2024秋•新疆校级期中）解下列不等式： （1） （2） 35．（2024秋•莎车县期中）（1）求不等式的解集； （2）比较与的大小． 地 城 考点10 由一元二次不等式的解求参数 36．（2024秋•塔城市校级期中）关于的不等式的解集是，那么　　 A． B． C． D． 37．（2024秋•天山区校级期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 38．（2024秋•巴楚县期中）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为 　　． （多选）39．（2024秋•哈密市校级期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是　　 A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 40．（2024秋•和田县校级期中）已知关于的不等式． （1）若的解集为，求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集． 地 城 考点11 一元二次不等式的恒成立问题 41．（2024秋•巴楚县期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 42．（2024秋•和田县校级期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 43．（2024秋•巴楚县期中）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 11大高频考点概览 考点01 作差比较大小及不等式性质的应用 考点02 根据不等式的性质求取值范围 考点03 不等式的实际应用 考点04基本不等式概念的理解及简单应用 考点05 配凑法求最值 考点06 常数代换法求最值 考点07基本不等式的综合应用 考点08基本不等式的实际应用 考点09 解一元二次不等式 考点10 由一元二次不等式的解求参数 考点11 一元二次不等式的恒成立问题 地 城 考点01 作差比较大小及不等式性质的应用 1．（2024秋•喀什市期中）比较下列各题中两个代数式的大小： （1）与； （2）与． 【解析】（1）因为， 所以； （2）因为， ， 所以． 2．（2024秋•喀什市期中）已知，，且，不为0，那么下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】令，，，， 则，可排除； ，可排排除； 可排除， ，， （不等式的加法性质）正确． 故选：． （多选）3．（2024秋•莎车县期中）下列命题中一定正确的是　　 A．若，且，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，且，则 【解析】对于，若，且，则， 又，所以，则有，必有，，故正确； 对于，当，，显然错误； 对于，因为，，由不等式的性质可得，故正确； 对于，当，，，，显然错误． 故选：． 4．（2024秋•新疆期中）已知，则下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以，， 对于，， 所以，选项正确； 对于，当时，，，无意义，故选项错误． 故选：． 5．（2024秋•巴音郭楞州校级期中）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】若，错； 选项中，，错； 选项中，，错； 选项对； 故选：． 6．（2024秋•哈密市校级期中）若，则下列不等式中总成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】，． 又，； 故选：． 7．（2024秋•天山区校级期中）下列命题中，正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】取，，则，但是，错误； 由，可得，所以，故，正确， ，，满足，但是，错误， 取，，则，但是，错误． 故选：． 8．（2024秋•和田县校级期中）对于任意实数、、、，下列命题是真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】当时，由不能推出，故错误； 若，且，则，不能得到，故错误； 取，，，，满足，，但，可知错误； 若，，根据不等式性质，可得，所以正确， 故选：． （多选）9．（2024秋•天山区校级期中）下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解析】对于，令，所以，故错误； 对于，， 因为，所以，，所以， 所以，故正确； 对于，因为，所以， 所以，故正确； 对于，令，，所以，故错误． 故选：． （多选）10．（2024秋•巴音郭楞州期中）若，，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解析】对于中，若，则，所以，所以正确； 对于中，若，当时，；当时，；当时，，所以不正确； 对于中，若，，根据不等式的基本性质，可得，所以正确； 对于中，若，可得，所以，所以正确． 故选：． 地 城 考点02 根据不等式的性质求取值范围 11．（2024秋•阿克苏地区校级期中）（1）比较与的大小； （2）已知实数，满足，，求的取值范围． 【解析】（1）， 所以； （2）设， 即， 所以，解得，， 所以， 因为，， 所以， ， 所以， 即， 所以的取值范围为． 12．（2024秋•巴楚县期中）已知，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 又因为， 所以．即的取值范围为． 故选：． 地 城 考点03 不等式的实际应用 13．（2024秋•新疆期中）已知某公司研发部的人数比客服部多，客服部的人数比营销部多，且营销部人数的3倍多于研发部的人数，若该公司营销部有5人，则该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是　　 A．18 B．32 C．25 D．34 【解析】设研发部有人，客服部有人，则有， 得最大值为14，最大值为13， 该公司研发部、营销部和客服部的总人数的最大值是． 故选：． 14．（2024秋•墨玉县期中）一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好．以下结论叙述正确的个数为　　 ①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为 ②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变 ③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好 ④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】对于①，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有， 解得，故①错误； 对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为， 增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 所以公寓采光效果不变，故②正确； 对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为． 由题可知，，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为，即， 所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确； 对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为 地板增加后的面积为， 由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为， 因为， 因为， 因为，所以， 当时，采光效果不变，故④错误． 故选：． 地 城 考点04 基本不等式概念的理解及简单应用 （多选）15．（2024秋•喀什市期中）下列说法中正确的有　　 A．不等式恒成立 B．存在，使得不等式成立 C．若，，则 D．若实数，，则 【解析】当，时，显然错误； 当时，，显然成立； 若，，则，当且仅当时取等号，正确； 因为，即，错误． 故选：． 16．（2024秋•喀什市期中）若，则的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：． 17．（2024秋•新疆校级期中）已知，，且，则的最小值为 　　． 【解析】因为，，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 18．（2024秋•天山区校级期中）若正实数，满足，则的最小值是　　 A．48 B．56 C．64 D．72 【解析】由于，，则，即， 即，当且仅当即取等号， 则的最小值是64． 故选：． 地 城 考点05 配凑法求最值 19．（2024秋•新疆期中）已知，则的最小值是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 20．（2024秋•莎车县期中）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 【解析】（1）因为， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为3； （2）定义域为， 则， 根据二次函数性质可知，当时，函数取得最大值1． 地 城 考点06 常数代换法求最值 21．（2024秋•喀什市期中）已知，，且，求的最小值． 【解析】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 又， 所以，时取等号， 所以的最小值为9． 22．（2024秋•莎车县期中）已知，，，则的最小值为　　 A．16 B．4 C． D． 【解析】因为，，， 则， 当且仅当且即，时取等号． 故选：． 23．（2024秋•巴楚县期中）设，，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】由，，且， 则， 当且仅当，即，即且时取“”； 所以的最小值为． 故选：． 24．（2024秋•新疆期中）已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：． 【解析】（1）因为，所以， ，，故，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为8； （2）证明：，，且， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号，所以． 地 城 考点07 基本不等式的综合应用 （多选）25．（2024秋•天山区校级期中）下列函数中最小值为2的是　　 A． B． C． D． 【解析】时，，选项错误； ，当且仅当时取“”， 选项正确； ，当且仅当时取“”，矛盾，，故选项错误； 又当时，，当且仅当时取“”， 选项正确， 故选：． （多选）26．（2024秋•天山区校级期中）下列不等式正确的有　　 A．若，则函数的最小值为2 B．若，则 C．当， D．若且，则 【解析】对于，， 由基本不等式知，当且仅当时取得最小值， 易知，显然等号取不到，故错误； 对于，因为，所以，，故正确； 对于，当，根据基本不等式有 ， 当且仅当，即时取得等号，故正确； 对于，当，时，满足且，故显然错误． 故选：． （多选）27．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于选项，因为，所以，当时，，故不正确； 对于选项，，当，即时等号成立，所以，当时等号成立，故正确； 对于选项，，当且仅当，即，即时等号成立，故正确； 对于选项，，当且仅当即时等号成立，故正确． 故选：． （多选）28．（2024秋•巴楚县期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是　　 A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值4 D．有最小值 【解析】因为正实数，满足，所以，当且仅当时取等号，故有最大值，正确； 因为，当且仅当时取等号， 故，即有最大值，故正确； 因为，当且仅当时取等号，故有最小值4，故正确； 因为，当且仅当时取等号，所以有最小值，故错误． 故选：． （多选）29．（2024秋•和田县校级期中）以下结论正确的是　　 A．函数的最小值是2 B．若，且，则 C．的最小值是2 D．函数的最大值为0 【解析】．对于函数，当时，，因此错误； ．，， ，当且仅当时等号成立，因此正确； ，当且仅当，即，因此正确； ．，，， 当且仅当，即时等号成立，这与矛盾，因此错误． 故选：． 地 城 考点08 基本不等式的实际应用 30．（2024秋•喀什市期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于　　． 【解析】设直角三角形的斜边为，直角边分别为，， 由题意知， 则， 则三角形的面积， ， ， 则三角形的面积， 即这个直角三角形面积的最大值等于， 故答案为：． 31．（2024秋•天山区校级期中）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在的延长线上，点在的延长线上，且对角线过点．已知米，米．设米（单位：米） （1）要使矩形的面积大于32平方米，请问的长应在什么范围； （2）当的长度是多少米时，矩形的面积最小，并求出最小面积． 【解析】（1）由题意可知，，即， 所以， 所以， 由，得， 又，所以， 解得或， 所以的长（单位：米）的取值范围为； （2）因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当的长是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米． 32．（2024秋•天山区校级期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元．设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长． （1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围． 【解析】（1）依题意，左、右两面墙的长度相等，设为米，则长方体前面新建墙体的长度为米， 设甲工程队的总报价为元， 则， 当且仅当时，即时，等号成立． 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元． （2）无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 则，，恒成立， 即对任意的，恒成立， 所以，可得，即． ， 当且仅当时，即时，取最小值36， 则，即的取值范围是． 地 城 考点09 解一元二次不等式 33．（2024秋•墨玉县期中）不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】由，得， 解得或． 不等式的解集为． 故选：． 34．（2024秋•新疆校级期中）解下列不等式： （1） （2） 【解析】（1）不等式可化为， 解得或， 所以的解集为：或； （2）不等式可化为， 解得， 所以的解集为：． 35．（2024秋•莎车县期中）（1）求不等式的解集； （2）比较与的大小． 【解析】（1）， ， 不等式的解集为； （2）比较与的大小， ， ． 地 城 考点10 由一元二次不等式的解求参数 36．（2024秋•塔城市校级期中）关于的不等式的解集是，那么　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，方程有两个相等的实数根1， 由韦达定理可得，， 解得， 所以． 故选：． 37．（2024秋•天山区校级期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】因为的解集为， 所以的根为，2， 故，即，， 故， 则不等式可得或， 故或． 故选：． 38．（2024秋•巴楚县期中）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为 　　． 【解析】因为一元二次不等式的解集为， 所以，，是方程的两根， 由韦达定理得，，，得到，，代入， 得到，即， 令，因为△，所以的解集为． 故答案为：． （多选）39．（2024秋•哈密市校级期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是　　 A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【解析】关于的不等式的解集为或，所以，正确； 由题知和 4是关于的方程的两根，由根与系数的关系， 得则，所以，错误； 不等式即，解得，正确； 不等式，即，即，解得或，正确． 故选：． 40．（2024秋•和田县校级期中）已知关于的不等式． （1）若的解集为，求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集． 【解析】（1）的解集为， ，是方程的解， 故， 解得，； （2）， ， ①当时， 不等式的解集为或， ②当时， 不等式的解集为， ③当时， 不等式的解集为或． 地 城 考点11 一元二次不等式的恒成立问题 41．（2024秋•巴楚县期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【解析】若，则不等式为，符合题意， 若，则有，得， 综上，的取值范围为，． 故选：． 42．（2024秋•和田县校级期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C．或 D．或 【解析】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立， 需△， 解得， 故选：． 43．（2024秋•巴楚县期中）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式． 【解析】（1）由不等式的解集为， 当时，即时，不等式即为，解得，不符合题意，舍去； 当时，即时，不等式可化为， 要使得不等式的解集为， 则满足， 即，解得， 综上可得，实数的取值范围为． （2）由不等式，可得， 当时，即时，不等式即为，解得，解集为； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为或； 当时，即时，不等式可化为， 因为，所以不等式的解集为， 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $