江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高三上学期期初考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高三期初学情调研测试 数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={x|x2-8x+12≤0}，B={x∈N|3≤x≤7}，则A∩B=() A.[2,7] B.[3,6] C.{3,4,5,6 D.{2,3,4,5,6 2.己知a=1og83,b=33,c=0.33,则( A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<a<b 3.下列图像中，表示定义域和值域均为[0，]的函数是() 4.“3<30”是“a<b+1”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知a>0,b>0,上+3=1，则a+3b的最小值是() a b A.12 B.13 C.16 D.18 6.倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社 会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一 种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为P。=1mg/L,首次 净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为P=0.94mg/L,第n次净化后所排放的废水中 的污染物的浓度P=E-(B-R)x3sa(teR,neN）(单位：mgL),依据当地环保要求， 企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过0.04mg/L,，为了使该企业所排放的废水 中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为( （参考数据：n2≈0.7，ln3≈1.1) A.4 B.5 C.6 D.7 7.已知函数f(x)=nx-2+x2-4x,则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是( A.（-∞，0) B.(0,+o∞) C.(-o,0)U(+o）D.(0, 1 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)=(x-1)f(x)的图像关于点(1,0)对称，且满 足g-)=4,则觉f=( el A.2 B.-4 C.2026 D.-4052 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设U为全集，若A,B是两个不相等的非空集合，且AUB=A,则( A.BCA B.ACB C.AU(C,B)=U D.(C,A)UB=U 10.下列说法正确的是（) A若a<b,c<0,则8>号 B.若a<b,c<0,则ac>bc C若是是，则a<b D.若a>b>0,c>0,则b+c>b a+c a x+2,x<-a 11.设a>0,函数f(x)={a2-x2,-a≤x≤a,则下列说法正确的是( _1-1,x>a A.当a=1时，f(x)≤1 B.当0<a<1时，方程f(x)=1有两个实数根 C.当a>1时，函数f(x)存在最大值 D.当a≥2时，函数f(x)在区间(-o,0)上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的 横线上 12.若“3x∈[1,2]，ax2-x≤0”为真命题，则实数a的取值范围是 13.若关于x的一元二次不等式ax2-3x+a<0的解集为{xx≠m},则m+a=_ 14.对于函数f(x),若在其定义域内存在实数x。,满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为 “局部奇函数”，称点(x。,(x》和点(-x。,f(-x》是函数f(x)的一对“局部对称点”，请 Inx x>0 写出函数f(x)=x2+x-1的一对“局部对称点”： :若函数g(x)= 2,x<0 a 为“局部奇函数”，则实数a的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤， 15.(本小题13分)已知集合A=x-≤0；，B={xa<x≤3a,且a>0. X-5 (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围： (2)若A∩B=☑，求实数a的取值范围. 16.(本小题15分)已知函数f=号x2+0-ar2+(a+2r+2a,a∈R. (1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围： (2)若函数g(x)=f(x)-(2a+2)x,求函数g(x)的单调区间. 17.(本小题15分)已知四边形QBCD为直角梯形，其中CDIIOB,BC⊥CD,BC=CD, DA⊥2B,A为垂足（如图1）·将△QAD沿AD折起，使点Q移至点P的位置，得到四 棱锥P-ABCD(如图2)，且满足PA⊥AB,点E,F分别为PB,PD的中点. (1)证明：平面PAC⊥平面AEF: (2)若PC⊥平面AEF,试问：棱CD上是否存在一点M,使得直线PM与平面AEF所成 角的正弦值为25，若存在，求出的值：若不存在，请说明理由 CD P D 图1 图2 18.(本小题17分)为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查， 统计其中20一60岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表： 年龄 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 次数 每周0~2次 75 55 32 58 每周3~4次 20 34 40 30 每周5次及以上 8 8 24 16 (1)若把年龄在[20,40)的锻炼者称为青年，年龄在[40,60]的锻炼者称为中年，每周体 育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数 据填写下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验判断体育锻炼频率的高低 与年龄是否有关联： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 (2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人， 再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[30,40)与[50,60)]的人数分别为 X,Y,5X-YI,求5的分布列与数学期望： (3)小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种 运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、 篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为上，上，三，若小明星期天选择跑步，则 4’2’4 他星期六也选择跑步的概率为多少？ 参考公式：X2= n(ad-be)2 n=a+b+c+d. (a+b)(c+dy(a+c)(b+d) 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19.(本小题17分)已知函数f(x)=x-1-xnx,g(x)=x-1-anx,a∈R且a≠0. (1)求函数f(x)的最大值： (2)若g(x)≥0，求a的值： (3)求证：e+2>2026(其中e是自然对数的底数) 参考答案 一、选择题 题号 1 2 5 6 1 8 二、填 答案 D B A 空题 题号 9 10 11 12. a<] 答案 AC BCD ACD 13 - 140,-1,-:a≤日 三、解答题 15.解：(1)）因为A={x-1≤0}，所以A={x1≤x<5}…2分 x-5 所以x∈A是x∈B的必要条件，所以BA,4分 a≥1 所以 3a<5 所以1≤a< 3 所以，实数a的取值范围为1，》.7分 (2)因为A∩B=0, 所以a≥5或3a<1, 11分 解得：a≥5或a<1 3 又因为a>0, 所以，实数a的取值范围为(0，)U[5,+0).13分 16.解(1)因为f(x)为增函数 所以f'(x)=x2+(1-a)x+a+2≥0在x上恒成立. 2分 所以△=(1-a)2-4(a+2)≤0 .4分 所以a2-6a-7≤0 所以-1≤Q≤7.6分 (2)g(x)=fx)-(2a+2)r=}r2+20-a)r2-ar+2a 所以g'(x)=x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1) 8分 当a=-1时，则g'(x)=(x+1)≥0，g(x)的增区间为(-0，+o),无减区间.…10分 当a>-1时，令g'(x)>0,则x<-1或x>a 令g'(x)<0.则-1<x<a 所以g()增区间为(-0，-1)和(a,+0),减区间为(-1，a）12分 当a<-1时，令g'(x)>0,则x<a或x>-1 令g'(x)<0,则a<x<-1 所以g(x)的增区间为(-0，a和(-1，+oo),减区间(a,-1).…14分 综上：当a>-1时，g(x)增区间为(-oo,-1)和(a,+o),减区间为(-1，a); 当a=-1时，g(x)的增区间为(-0，+o),无减区间； 当a<-1时，g(x)增区间为(-0，a)和(-1，+o),减区间为(a,-1)..15分 17.解：(1)（方法一）由题知，QA⊥AD即PA⊥AD,且PA⊥AB, 因为AB,ADC面ABCD,AB∩AD=A, 所以PA⊥面ABCD,因为BDC面ABCD,所以PA⊥BD, 又由E,F是所在棱的中点，得EF/BD,所以PA⊥EF;2分 易知四边形ABCD是正方形，可知BD上AC,所以AC⊥EF;3分 又由PA∩AC=A,且PA,ACc面PAC,所以EF⊥面PAC, 因为EFC面AEF,所以面AEF⊥面PAC; 6分 (方法二)由PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥AD知，可以分别以AB,AD,AP 作为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 不妨记AB=AD=2,设PA=2a,可得A(0,0,0),E(1,0,a),F(0,1,a) AE=(1,0,a),AF=(0,1,a),记平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z),可得 9*gs0 x+a21=0 取2=1得-0，即元=-a,-0, 2分 y=-a 同理可得平面PAC的法向量为m=(1,-1,0); 3分 因为m·n=-a+a+0=0,所以mLn,所以面AEF1面PAC;6分 (2)由PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥AD知，可以分别以AB,AD,AP 作为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨记AB=AD=2, 设PA=2a,可得A(0,0,0),E1,0,a),F(0,1,a),P(0,0,2a,C(2,2,0) AE=(I,0,a),PC=(2,2,-2a),因为PCc面AEF,EFc面AEF,所以PC⊥EF, 故PC.AE=2-2a2=0,解得a=1,即PA=2; 8分 AE=1,0,),AF=(0,1,),记平面AEF的法向量为n=(x,片，2)，可得 5*3s0 x1+31=0 取名=1得5=-1 =即i=1,1,: 10分 假设棱CD上是否存在-点M,使得直线PM与平面AEF所成角的正弦值为2y2 设DM=b(0≤b≤2)，则M(b,2,0),PM=(b,2,-2), 由题知22=-b-4 3 3b2+8 12分 解得6=号或4（合去）.即MD=号，所以0=号 51 15分 18.解：(1)提出假设H,:体育锻炼频率的高低与年龄无关，1分 由题得2×2列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 130 90 220 体育锻炼频率高 70 110 180 合计 200 200 400 3分 x2=400x130x11070x90_160s16.162>10.828, 5分 200×200×220×180 99 根据小概率值α=0.001的独立性检验推断H。不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关. 天…6分 (2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中， 年龄在[30,40)与[50,60]内的人数分别为1,2， 依题意，的所有可能取值分别为为0,1,2,7分 P5=0)=PX=0,Y=0)+PX=1,y=l)=C+CCC=l2 ΓC；C3 -35 P5=)=PX=0.y=0+PX=1,y=0+Px=1,y=2)=CC+CC+1-9 P5=2)=P(X=0,Y=2)=CC-4 C.3 35 .10分 所以的分布列为： 0 1 2 P 1 19 35 35 35 …1l分 所以的数学期望为E()=0×号+1×号+2×务 27 35 12分 (3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A,B,C, 星期天选择跑步为事件D, 则P(A)=},P(8)=背，PC)=行 P(DI4)=P(DIB)=.P(DIC)= PD)=P4PD10+P8PDB)+P(CP(D1C)=号×+号x号+号x-号l4分 1.1 P(AID)=P(AD)=P(DLA)P(A3x4-1 P(D) P(D) 1 6 …16分 答：若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为名，17分 6 19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 1分 f'(x)=1-(nx+1)=-lnx 令f'(x)>0得0<x<1,所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增； 同理可得函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递减： 3分 所以函数f(x)在x=1处取得最大值f①)=0； …4分 (2)函数g()的定义域为(0，+∞)，g'(x)=x二4； ①当a≤0时，g'(x)>0恒成立，g(x)在(0，+o)单调增， 因为g白=。-1+a<0,所以g(x≥0不可能恒成立： 6分 ②当a>0时，令g'(x)>0得x>a,所以函数f(x)在区间(a,+o)上单调递增； 同理可得函数g()在区间(0，a)上单调递减； 所以函数g(x)在x=a处取得最小值g(a=a-1-alna, 因为g(x)≥0恒成立，所以g(x)mm≥0，即g(a)=a-1-alna≥0， 8分 由(1)知g(@=a-1-alha≤0，所以a-1-alna=0,解得a=1;l0分 (3)(方法-）由(1)知f(x)≤0，即x-1-xlnx≤0，即Inx≥1-1(*)， 用上替换(*)式中的x,得n上≥1-x(*), 再用e替换(*)式中的x,得-x≥1-e*,即e≥x+1,(x=0时取等号)；12分 (方法二)记m(x)=e-x-1,m'(x)=e-1,令m'(x)>0,得x>0, 所以(x)在(0，+oo)单调递增，同理得m(x)在(-o,0)单调递减， 所以m(x)≥m(0)=0,即e≥x+1,(x=0时取等号)； .12分 所以e>1+1,即e>+1, .13分 所以e>e>号， ,es4 ，…,e3n+1 n 故心"号+=e66e赢>2×3×号×…×20=2026，得证. 23 、2025 .17分