4.5.1函数的零点与方程的解导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的零点与方程的解

函数零点的定义

一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

重点强调：零点不是点，是一个实数；

方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数解

⇔函数y＝f(x)有 零点

⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

函数零点存在定理

如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在，

使得，这个c也就是方程的根.

求函数y＝f(x)的零点的方法

(1)代数法：根据零点的定义，解方程f(x)＝0，它的实数解就是函数y＝f(x)的零点．

(2)            几何法：若方程f(x)＝0无法求解，可以根据函数y＝f(x)的性质及图象求出零点．

例如，求定义在R上的减函数f(x)(f(x)为奇函数)的零点．因为奇函数y＝f(x)是定义在R上的减函数，那么由奇函数的性质可知f(0)＝0.因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，所以不存在其他的x使f(x)＝0，从而y＝f(x)的零点是0.　

(3)            图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．

特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．

确定函数f(x)零点所在区间的常用方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点存在性定理：

首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．