专题06 不等式与不等式组（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题06 不等式与不等式组 1．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2．（多选）（2023八年级·贵州遵义·竞赛），，都是大于的负数，那么，下列不等式能成立的是（    ） A． B． C． D． E． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，判断每个选项是否成立，根据，，都是大于的负数这一条件，采用假设法选取符合条件的具体数值代入验证来一一判断选项是否成立即可． 【详解】解：．∵，，都是大于的负数，∴，，， 则，∴，故该选项不能成立； ．∵，，都是大于的负数，∴，，， 则，∵，，是3个负数， ∴，故该选项成立； ．假设，，则，，则，故该选项不能成立； ．假设，，则．故该选项不能成立； E．假设，，，则，， 则，则 ， 该选项不能成立； 故选B． 3．（2023七年级·山东·竞赛）已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系的应用是解题的关键．第三边的取值范围是再根据不等式性质即可得出答案． 【详解】解：设三角形第三边为，则三角形的周长， ∵， ∴， 即：， 故答案为：． 4．（2023九年级上·上海·竞赛）若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了不等式的性质和解一元一次方程． 求出或2，分两种情况：①当时，或2或3或4或5或6，②当时，或3，分别进行解答即可． 【详解】解：，， ， ，，为正整数， ， 又， 或2 ①当时，或2或3或4或5或6， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，整理得：，故不存在； 当，时，，解得：， 故得“好数组”为； 当，时，， 解得：， 故得“好数组”为， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，解得：，不合题意，舍去； ②当时，或3，当，时，， 解得：，故得“好数组”为． 当，时，， 解得：，不合题意，舍去． 综上所述：“好数组”，，为，，，共3个． 故答案为：3 5．（2023七年级·山东·竞赛）一个凸多边形中，除了两个内角外，其余内角和为，这个多边形的边数为 ． 【答案】14或15 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解两个内角的和满足，把求的值的问题转化为求不等式组的整数解问题，是解题的关键． 设除去的角为，多边形的边数为，且，可得到关于的不等式．注意为自然数的隐含条件． 【详解】解：设除去的角为，多边形的边数为， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得一元一次不等式组：， 解得：， 又因为是自然数， 所以这个多边形的边数是14或15． 故答案为：14或15． 6．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：；数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴； 由②得：， ， ； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示为： 7．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，以及分式不等式的解法．熟练掌握一元一次不等式的解法和分式不等式的解法是解题的关键．分别解每一个不等式，然后找到两个不等式的解集的交集． 【详解】解： 解不等式得； 解不等式得； ∴原不等式组的解集为． 8．（2023九年级下·浙江·竞赛）当m满足什么条件时，关于x的方程有一解？有无数多个解？无解？ 【答案】当或时，方程有无数解；当时，方程有一解；当或时，方程无解． 【分析】本题主要考查了解绝对值方程、不等式的性质等知识点，熟练掌握绝对值的代数意义是解题的关键． 根据绝对值的代数意义分类讨论，然后根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：①当时，原方程可化为， ， ∴当时，方程有无数解， 当时，方程无解； ②当时，原方程可化为， ∴， ∵， ∴， ∴当时，方程有一解， 当或时，方程无解； ③当时，原方程可化为， ∴， ∴当时，方程有无数解； 综上所述，当或时，方程有无数解；当时，方程有一解；当或时，方程无解． 9．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)共有种购买方案： 方案一：购买个型充电桩、个型充电桩 方案二：购买个型充电桩、个型充电桩 方案三：购买个型充电桩、个型充电桩 方案四：购买个型充电桩、个型充电桩 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价少万元，根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可； （2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过万元，列出一元一次不等式，解不等式，结合为整数，且型充电桩购买数量不超过个，得出购买方案，即可解决问题． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个， 根据题意得：， 解得：， ，且为整数， ，11，12，13， 该停车场共有种购买方案： 方案一：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案二：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案三：购买个型充电桩、个型充电桩； 方案四：购买个型充电桩、个型充电桩． 10．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生）表示不超过x的最大整数，． (1)计算： (2)已知正整数N，，满足，试求P的最小值． (3)将最小值P代入，求N可以取多少种不同的值，． 【答案】(1)2475 (2) (3)168 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的混合运算的规律探究，一元一次不等式的应用； （1）由时，，当时，，再进一步化简计算即可； （2）由对于任意正整数，，，，，再进一步求解即可； （3）由（2）可得，，，，可得（为非负整数），再进一步求解即可. 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴ ； （2）解：对于任意正整数，，，，， ∴对于任意正整数，， 存在正整数N，，满足， ∴， ∴，， 当时，，符合题意； ∴的最小值为. （3）解：把代入可得： ， ∴，，，， ∴（为非负整数）， ∴， 解得：， ∴的非负整数解有个， ∴N可以取种不同的值. 1．（2024七年级上·全国·竞赛）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式有整数解的情况，解决本题的关键是需要解出该不等式的解集． 将复合不等式拆分为两个不等式分别求解，确定x的解集范围，再根据整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：先解左边不等式：，解得 ， 再解右边不等式：，解得 ， ∴不等式组的解集为 ， ∵要求该区间内仅有3个整数解， ∴当在3到4之间时，x的整数解为4，5，6，共3个； 若，即，解集为，整数解仍为4，5，6， 若接近4，即接近1.5，解集为接近，整数解为5，6，不足3个； 综上，需满足，解得． 故选：D ． 2．（2023七年级上·全国·竞赛）一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，不等式的应用，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式．根据多边形内角和公式，列出不等式，求出，再得出n的最大正整数即可． 【详解】解：∵n边形的内角和为， ∴， 解得：， ∵n为正整数， ∴n的最大值为13． 故答案为：13． 3．（2024七年级上·全国·竞赛）已知，且满足，则的值等于 ．（表示不超过的最大整数） 【答案】 【分析】本题考查新定义下的实数运算，解一元一次不等式． 根据已知条件可得，，，，，，从而可得的取值范围，进而可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵表示不超过的最大整数， ∴，，，的值为或， ∵共29项，和为18，且各项不减， ∴前11项为0，后18项为1， ∴，， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·竞赛）已知表示不超过x的最大整数，若，则 ． 【答案】或或 【分析】设（为整数），则，可得．再根据取整函数的性质，代入的表达式求解，进而求出．本题主要考查了取整函数的性质以及不等式的求解，熟练掌握取整函数满足是解题的关键． 【详解】解：设（为整数）， ∵， ∴， ， ∴．， 将代入得， 解不等式得， 解不等式得， ∵为整数， ∴或或． 当时，． 当时，． 当时，． 故答案为：或或． 5．（2023七年级上·全国·竞赛）已知关于x的不等式 的解集是，则满足不等式 的x的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式解法，不等式的性质，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键； 根据不等式的性质确定a和b的符合，再根据不等式的解集确定a和b的关系，将其代入所求的不等式中解答即可. 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为： . 6．（2024七年级·全国·竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分类讨论求出不同情况下的取值即可求出的取值范围． 【详解】解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 综上，， 则当时，恒成立． 故答案为：． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，分胜负，无平局．最终他们胜利的场数分别是a，b，b，c，d，d，且，那么a＝ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用、不等式的性质等知识点，灵活运用不等式的性质是解题的关键． 根据题意求出比赛的场数，得到，根据列出不等式，进而求出a的值即可． 【详解】解：六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场， 则共有：场比赛， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵d为非负整数， ∴， 当时，， ∴， ∴，即与已知矛盾， 当时，， ∴，即， 当时，有， 结合和 解得， 当时，， ∴，即，与已知矛盾， 当时，， ∴，， 当时，． 故答案为：5． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）若表示不大于x的最大整数，关于x的方程有正整数解，则常数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组以及对新符号的理解，解题的关键的是根据符号定义以及方程求得不等式． 根据题意可得，再结合方程有正整数解，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有正整数解， ∴， ∴． 故答案为： 9．（2023七年级上·全国·竞赛）m为整数，若方程同时有一个正根和一个负根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号，得到两个关于的方程，再根据方程根的情况确定的值．本题主要考查了含绝对值方程的求解以及根据方程根的情况确定参数的值，熟练掌握绝对值的性质和方程根的分析方法是解题的关键． 【详解】解：当时，方程变为， 移项可得． ∵方程有正根， ∴，即． 当时，方程变为， 移项可得． ∵方程有负根， ∴，即． ∴ 又∵为整数， ∴． 故答案为：． 10．（2025八年级·全国·竞赛）对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． (1)若，求的值； (2)若，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义运算、二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据新运算对条件式进行变形，然后解二元一次方程组即可； （2）由新运算得到的范围，根据整数解进行筛选即可． 【详解】（1）解：若，则 ，整理得， 解得， 则； （2）解：由题意得， ， ， 则， ∵解集中恰有5个整数解， ∴， ∴， 解得：． 11．（2025八年级·全国·竞赛）为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知4枚A型纪念币和3枚B型纪念币面值共需80元，5枚A型纪念币和6枚B型纪念币共需145元． (1)求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ (2)若欧欧准备用至少800元的金额购买两种纪念币共50枚，求B型纪念币最少要采购多少枚？ (3)在（2）的条件下，若欧欧最多要购买B型纪念币39枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案花费最少？ 【答案】(1)A种面值为5元，B种面值为20元； (2)37； (3)3种，A型13枚B型37枚． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，方案设计与优化，正确列出二元一次方程组并根据限制条件列出一元一次不等式是解决本题的关键． （1）通过设未知数，根据两种纪念币不同数量组合的面值关系构建方程组求解即可； （2）依据购买金额的限制条件列出不等式求解即可； （3）在给定B型纪念币数量范围的条件下，找出所有可能得购买方案，并通过计算各方案的费用，确定最划算的方案即可． 【详解】（1）解：设每枚A种型号的纪念币面值为x元，每枚B种型号的纪念币面值为y元， 由题意得：，解得：， 答：每枚A种型号的纪念币面值为5元，每枚B种型号的纪念币面值为20元； （2）解：设B型纪念币能采购m枚，则A型纪念币能采购枚， 由题意得：， 解得：， 因为m为整数，所以m最少是37． 答：B型纪念币最少要采购37枚； （3）解：由题意得：， m为正整数， ∴m为37或38或39， ∴共有3种购买方案： ①B型纪念币能采购37枚，A型纪念币能采购13枚，费用为：（元） ②B型纪念币能采购38枚，A型纪念币能采购12枚，费用为：（元） ③B型纪念币能采购39枚，A型纪念币能采购11枚，费用为：（元） ， ∴花费最少的购买方案为：A型纪念币能采购13枚，B型纪念币能采购37枚． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 不等式与不等式组 1．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．（多选）（2023八年级·贵州遵义·竞赛），，都是大于的负数，那么，下列不等式能成立的是（    ） A． B． C． D． E． 3．（2023七年级·山东·竞赛）已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ． 4．（2023九年级上·上海·竞赛）若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 个． 5．（2023七年级·山东·竞赛）一个凸多边形中，除了两个内角外，其余内角和为，这个多边形的边数为 ． 6．（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 7．（2023八年级下·广东佛山·竞赛）解不等式组：． 8．（2023九年级下·浙江·竞赛）当m满足什么条件时，关于x的方程有一解？有无数多个解？无解？ 9．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩．已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)，两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩购买数量不超过个，共有几种购买方案？ 10．（24-25九年级下·贵州贵阳·自主招生）表示不超过x的最大整数，． (1)计算： (2)已知正整数N，，满足，试求P的最小值． (3)将最小值P代入，求N可以取多少种不同的值，． 1．（2024七年级上·全国·竞赛）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·全国·竞赛）一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是 ． 3．（2024七年级上·全国·竞赛）已知，且满足，则的值等于 ．（表示不超过的最大整数） 4．（2024七年级上·全国·竞赛）已知表示不超过x的最大整数，若，则 ． 5．（2023七年级上·全国·竞赛）已知关于x的不等式 的解集是，则满足不等式 的x的最小值为 ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）无论取何值，都成立，则的取值范围是 ． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，分胜负，无平局．最终他们胜利的场数分别是a，b，b，c，d，d，且，那么a＝ ． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）若表示不大于x的最大整数，关于x的方程有正整数解，则常数a的取值范围是 ． 9．（2023七年级上·全国·竞赛）m为整数，若方程同时有一个正根和一个负根，则m的值是 ． 10．（2025八年级·全国·竞赛）对于实数a、b，定义一种新运算“☆”为：． (1)若，求的值； (2)若，且解集中恰有5个整数解，求m的取值范围． 11．（2025八年级·全国·竞赛）为庆祝建党100周年，某银行发行了A、B两种纪念币，已知4枚A型纪念币和3枚B型纪念币面值共需80元，5枚A型纪念币和6枚B型纪念币共需145元． (1)求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ (2)若欧欧准备用至少800元的金额购买两种纪念币共50枚，求B型纪念币最少要采购多少枚？ (3)在（2）的条件下，若欧欧最多要购买B型纪念币39枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案花费最少？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $