圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练 考点目录 椭圆的定点问题 椭圆的定值问题 椭圆的定直线问题 椭圆的向量问题 考点一 椭圆的定点问题 1．（24-25高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 6．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线与椭圆交于两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在直线，使得是等腰三角形？若存在，请问这样的直线有几条？若不存在，请说明理由. 7．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 8．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 9．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 10．（2025·安徽·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，且过点，过原点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若点在第一象限，过点作直线的垂线，垂足分别为，求证：； (3)若点关于轴的对称点为，点的坐标为（4，0），直线交于点，探究：直线是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. 考点二 椭圆的定值问题 1．（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值． 2．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 3．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 4．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 5．（25-26高三上·河北·开学考试）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 6．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E的左、右焦点分别为且椭圆E的离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)已知直线过点，且与椭圆E交于点A，B，求证：是定值. 8．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 考点三 椭圆的定直线问题 1．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 2．（24-25高二下·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 3．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 5．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 6．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆，左右顶点为，，上下顶点为，，若四边形面积为，周长为，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于，，直线，交于点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：点在定直线上； (3)证明：. 7．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，记线段的中点的轨迹为曲线．过作直线与曲线交于另一点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若P在第一象限，且直线的斜率为1，的面积为，求此时的坐标； (3)若，，直线与曲线的另一个交点分别为，直线交于点．问：点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 8．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知点是圆O：上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设分别是与轴的交点，（点在轴正半轴上），过点的直线与分别交于点（异于点），直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 考点四 椭圆的向量问题 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 3．（23-24高二下·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 5．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 6．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 7．（2025·贵州铜仁·三模）已知椭圆的离心率为，短轴长为6，过右焦点的直线与交于两点． (1)求的标准方程； (2)已知点， （ⅰ）当时，求面积的取值范围； （ⅱ）当时，证明：． 8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若分别是的左､右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练 考点目录 椭圆的定点问题 椭圆的定值问题 椭圆的定直线问题 椭圆的向量问题 考点一 椭圆的定点问题 1．（24-25高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 2．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴， ∴直线BD方程为． 令，得 ∴故直线BD过定点． 故选：A 3．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点，点F为椭圆C的左焦点．垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M（异于点Q），直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为，椭圆C过点， 椭圆C的标准方程为，由题可知直线PF的斜率存在， 设直线，则， 联立直线与椭圆方程得， 则，， 所以，整理得， 又 ， 所以直线QM的方程为，故直线QM过定点． 故答案为： 4．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ． 【答案】 【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为 ∵上顶点为，∴， 又长轴长为，∴， 则椭圆C的方程为，    易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 由可得， ∴， 又， ∴，解得或． 当时，直线AB经过点D，不满足题意， 则直线AB的方程为，故直线AB过定点． 故答案为：． 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交曲线于，两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点. （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意可得，，，， 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）由题意可知，直线斜率存在且不为，则设， 故， 联立，得，， 设， 则，， 则，， 则，， 则直线的斜率的倒数为， 则直线的方程为 ， 则直线恒过定点； （ii）由（i）可得， 令，则，求导得 令，则 对称轴为，，故存在使得， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 因， 则当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 因此，当时，面积有最大值. 6．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知离心率为的椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)不过点的直线与椭圆交于两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； (3)在（2）的条件下，是否存在直线，使得是等腰三角形？若存在，请问这样的直线有几条？若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 (3)条，理由见解析 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线，由题意，， 由，消去得， 则，即， ，而， 由，得， 即， 整理得， 则， 化简整理得，所以， 因为，所以，即， 所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线，于是， 由，得，即， 结合得，，解得或（舍去）， 此时直线的方程为，也过定点； 综上，直线恒过定点.    （3）假设存在直线满足条件，因为，所以， 当直线的斜率不存在时，显然不符合； 当直线的斜率存在时，由（2）可知，， 又，代入展开整理得， 又，所以，所以， 又，所以， 构造函数，则， 令得，， 于是当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又， 根据零点存在定理可知函数在内有唯一零点， 于是函数在R上只有一个零点，即方程有唯一的实数根， 所以存在直线，使得是等腰三角形，这样的直线只有条. 7．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4. (1)分别求椭圆，的标准方程； (2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点. （i）证明：线段是的中位线： （ii）证明：直线经过原点. 【答案】(1)：，：. (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）设椭圆的方程为，焦距为， 椭圆的方程为，焦距为， 由椭圆的长轴长为4，离心率都为，可得，，， 又由椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，可得，，， 故椭圆的标准方程为，椭圆的标准方程为. （2）设，，，，，有，，. （i）证明：直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 由中点坐标公式可知是线段的中点，同理可得是线段的中点， 故线段是的中位线. （ii）证明：由直线的方程为，直线的方程为， 又由点在直线和上，有，可得点，都在直线上， 可得直线的方程为， 联立方程，消去有， 代入，上述方程可化为， 又由一元二次方程根与系数的关系，有，可得， 又由， 当时，，，线段的中点为，即， 当时，有，可得，可得线段的中点为， 又由线段的中点为，可得四边形为平行四边形， 记平行四边形的对角线的交点为， 又由，，，可得，， 又由，，三点共线，故，，三点共线， 故直线经过原点. 8．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知椭圆的一个焦点为，其短轴长为2. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的直线与椭圆交于不同的两点. （i）当直线的斜率为1时，求的周长； （ii）若直线分别与椭圆交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）依题意可得，则，因为焦点，则， 所以椭圆方程为. （2）（i）当直线的斜率为时，则直线方程为， 与椭圆方程联立，解得， 不妨设点，， 则， 设椭圆的左焦点为， 由椭圆的性质可得， 所以的周长为， 又， 所以的周长为， 所以当直线的斜率为1时，求的周长为. （ii）依题意可设直线， 与椭圆方程联立可得，整理可得， 设， 则， 设直线，与椭圆方程联立可得， 整理可得， 设， 则， 又，所以， 同理可得， 由题意与关于原点对称，所以， 即， 整理可得， 即， ， 将代入上式可得， 又不恒为，故， 所以直线恒过点. 9．（25-26高三上·北京房山·开学考试）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之积为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【详解】（1）由顶点为可知， 又离心率为，即，可得， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线：，，如下图所示： 联立，整理可得， 显然，即，可得； 且， 则直线与直线的斜率分别为； 即可得 ， 所以可得，所以； 解得或； 当时，直线为，此时直线恒过点， 当时直线为，恒过，与点重合，不合题意； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程可得， 不妨取， 则， 解得，即直线为，恒过点， 当时，直线过点，不合题意； 综上可知，直线过定点. 10．（2025·安徽·模拟预测）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，且过点，过原点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若点在第一象限，过点作直线的垂线，垂足分别为，求证：； (3)若点关于轴的对称点为，点的坐标为（4，0），直线交于点，探究：直线是否过定点，若是，请求出定点，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【详解】（1）由题意得，，解得， 故椭圆C的方程为； （2）法一：设，则， 因为分别为椭圆的左、右焦点，所以， 则， 所以. 因为， 所以，即. 法二：设，则， 易得直线的方程为， 即， 则. 同理可得，直线的方程为，即， 则. 所以. 因为，且在上单调递减， 所以，即. （3）设，则， 由题意得，直线斜率不为0，故设直线的方程为. 联立，消去，整理得， 由，得， 则. 直线的方程为， 由对称性令，得 所以直线过定点，且定点坐标为. 考点二 椭圆的定值问题 1．（2025·湖南湘潭·一模）已知椭圆（）的离心率为 且经过点，．过点，斜率为（）的直线与椭圆交于， 两点，直线， 分别与直线交于点，． (1)求椭圆的方程； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）由题意：， 所以椭圆的标准方程为：. （2）如图： 直线的方程为：，代入得： ， 整理得：. 设，，则，. 又直线：，令得； 直线：，令得. 所以 . 2．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线：与交于A，B两点，过上的点（与A，B不重合且不在坐标轴上）作轴的平行线交线段于点（与A，B不重合），直线的斜率为（为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线，的斜率都存在，分别记为，. （i）求证：； （ii）判断是否为定值？并说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii），理由见解析 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因，设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 3．（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即， 由（1）可知，， 联立，得，所以， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 直线的斜率存在，其方程为：， 令得，即， 所以 ， 所以为定值.    4．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆的离心率为，其短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于两点（均在第一象限），且直线的斜率分别为，且，证明：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得解得 故椭圆的方程为． （2）证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为， 由消去后整理得， 直线与椭圆交于两点， . 设点，的坐标分别为，， 则，， ，， 整理得， ，又， ， 点，都在第一象限， ，即， 故直线的斜率为定值． 5．（25-26高三上·河北·开学考试）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求椭圆的方程. (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点. （ⅰ）若为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点是线段上异于，的一点，直线，的斜率分别为，，且，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）的值为1. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆上， 所以所以，椭圆的方程为. （2）（ⅰ）设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则，，则或. 所以， 所以面积. 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. （ⅱ）因为，所以直线，的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 所以，同理得， ，. 所以， 于是， 因为， 所以. 所以的值为1. 6．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足． (1)当点 在圆上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程． (当点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合) (2)根据（1）中所得的点 的轨迹方程，若直线 与点 的轨迹相交于 ， 两点，且 ，试判断的面积是否为定值． 若是，求出该定值；若不是， 请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积为定值且定值为1，理由见解析. 【详解】（1）设，则，由题设可知， 而在圆上，故即. （2）因为，故均存在且不为零， 故直线，直线，设，    由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，在第四象限，故. 又，故， 由可得， 同理，而， 故，故. 故的面积为定值且定值为1. 7．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E的左、右焦点分别为且椭圆E的离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)已知直线过点，且与椭圆E交于点A，B，求证：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，即， 又椭圆的离心率为，所以，即，所以， 所以椭圆的方程为． （2）设点， 当直线的斜率不存在时，，所以 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由消去，得． 所以． ，同理， 所以． 综上所述，（定值）.    8．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上， 所以，又因为又，故，则， 则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去整理得， 由题意可得，化简得， 则由根与系数关系得， 所以 ， 又因为，所以， 综上所述:. （3）点的纵坐标为定值，证明如下： 由题意得，：， 将两直线方程联立，消去得， 由（2）可得， 从而得， 故点的纵坐标为定值. 考点三 椭圆的定直线问题 1．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）    设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 2．（24-25高二下·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 3．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 5．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. （2） 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 6．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）已知椭圆，左右顶点为，，上下顶点为，，若四边形面积为，周长为，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于，，直线，交于点，直线，交于点. (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：点在定直线上； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意得，则. （2）记右焦点，,， 设，则 (*)，由， . ， 代回(*)式可得，. ， 则两者相除得，则, 即在定直线上. （3）设，， 代入可得 . 即 即， 解得，， 则，则，则点和到直线的距离相等. 故.    7．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，记线段的中点的轨迹为曲线．过作直线与曲线交于另一点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若P在第一象限，且直线的斜率为1，的面积为，求此时的坐标； (3)若，，直线与曲线的另一个交点分别为，直线交于点．问：点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在定直线上，定直线方程为. 【详解】（1）设，则，. 因为点在曲线上，所以，即. 所以曲线的轨迹方程为椭圆. （2）因为在第一象限，所以也在第一象限， 所以，. 设直线的方程为：. 联立直线与曲线的方程为： ，得. 化简得：. 根据韦达定理. 因为，所以， 所以， 所以，点到线段的距离为. 因为的面积为， 所以. 化简得：. 所以， 所以，所以， 所以， 化简得，即， 此时解得或（舍去）. 所以点的坐标为. （3）因为， 所以直线的方程为. 联立直线与曲线的方程组为 ，可解得点的坐标为. 若的斜率不存在，由对称性可得，矛盾； 若斜率为，直线与曲线只有一个交点，矛盾； 所以直线的斜率存在且不为，设直线的方程为①. 联立直线与曲线的方程组为： ，化简得：，解得或（舍去）. 所以点的坐标为. 所以. 所以直线的方程为. 联立直线与曲线的方程组为： ， 化简得. 约去分母得：， 所以 根据韦达定理，因为， 所以， 所以， ， 所以点的坐标为. 所以. 所以直线的方程为② 联立①②方程组为： ，可得， 化简得：， 所以， 所以， 当时，可得， 若，则点与点重合，此时共线，与条件矛盾， 所以点在定直线上，定直线方程为. 8．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知点是圆O：上的动点，点在轴上的射影为，点满足，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设分别是与轴的交点，（点在轴正半轴上），过点的直线与分别交于点（异于点），直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设， 因为为在轴上的射影，所以．如下图： 已知，则，可得， 即． 又因为在圆O：上，将代入圆方程得， 即， 所以的方程为． （2）由（1）易知，由题意知，直线不垂直于轴， 故设直线：，由点在内，则直线与恒有两个交点，设为，． 联立，得， 由韦达定理得，，则（*）． 又直线的方程为，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 则联立方程，解得， 将（*）式代入化简得 ， 故点在定直线：上． 考点四 椭圆的向量问题 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为点T在椭圆上且，所以，； 将点代入椭圆得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设直线：，联立方程组，得， 所以， 又直线：，类似的可得， 故而，为定值． （3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，， 由得， ， 又， ， 令得，此时， 当l与x轴垂直时，l：，，， 又，有， 综上，，． 3．（23-24高二下·贵州黔西·期中）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的方程； (2)若过点的直线l与椭圆M交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆M的方程为半焦距为c， 由题意知，解得，， 故椭圆M的方程为． （2）设，， ∵，∴，． 又，∴，． ∴，． 又， ∴． 又， ∴，，解得． 当时，；当时，． ∴直线l的方程为． 4．（2025·广东珠海·模拟预测）已知点，以线段为直径的圆内切于圆． (1)求点的轨迹的方程； (2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）取，记线段的中点为，连接， 由于线段的中点为，则，， 设圆的半径为，圆与圆内切于，连接， 则三点共线，且， 于是， 又， 根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 则轨迹的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，点重合， 则由，可得，，，则点三点重合， 此时点； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，， 由，得， 则， ，得， 由，，得，，， 故， 化简得， 所以，得， 又因为动点在直线上， 所以，化简得， 经检验符合上式， 所以动点的轨迹为线段， 线段端点为，所以动点的轨迹长度． 5．（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）如图所示： 由题意，可设直线的方程为 ，， 联立方程组消去得方程：， ，所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点； （3）①当直线与轴重合时，， ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去得方程， 可知，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 综上可知，的取值范围是． 6．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设，据题意知， 化简得， 所以的方程为． （2）设，，， 联立消得， 故，， 据题意知且，所以，， 由得， 所以，解得， 所以直线的方程为．    7．（2025·贵州铜仁·三模）已知椭圆的离心率为，短轴长为6，过右焦点的直线与交于两点． (1)求的标准方程； (2)已知点， （ⅰ）当时，求面积的取值范围； （ⅱ）当时，证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）因为椭圆的短轴长，所以． 又离心率，且， 把代入，得， 再结合，即，可得，解得，， 所以椭圆的标准方程为． （2）（ⅰ）当时，右焦点坐标为， 显然直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，． 联立，消去得． ， 则，． ． 点到直线的距离． ． 令，则，因为（当且仅当即时取等号），所以．    （ⅱ）当直线的斜率为0时，直线的方程为， 此时，， 则， 则； 当直线的斜率不为0时， 设直线的方程为，，， 由（i）知，，， 则，， 则 ， 令，由，则该函数是开口向上的二次函数， 则， 所以恒成立， 又，则. 综上所述，. 8．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知动圆与圆外切，与圆内切，记动圆圆心的运动轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若分别是的左､右顶点，是圆上一点，设和的夹角为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，的半径为的半径为. 设的半径为，由与外切，与内切，得 则. 由椭圆的定义知，曲线是长轴长为，左､右焦点分别为的椭圆， 故的方程为. （2）由（1）可知，，设，则， 则， 所以，则，得. 若在轴上，则，从而. 若在不在轴上，则， 且，由，得， 则，得. 因为，所以，则， 由， 解得. 综上所述，的取值范围为.    2 学科网（北京）股份有限公司 $