第一次月考卷（湖南通用）-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（湘教版2024）

2025-2026学年八上数学第一次月考卷 考试范围：湘教版2024新教材第1—2章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；的分母中含有字母，是分式． 故选：D． 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解，据此逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B：，等式右边是乘积形式，且展开后和左边相等，故是因式分解，符合题意； C：，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D：，等式右边是乘积形式，但展开后和左边不相等，故不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 3．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移动为正，小数点向右移动为负）．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选D． 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，根据平方差公式，判断各选项是否符合两平方项相减的形式即可． 【详解】解：A．，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故此选项错误； B．，符合平方差公式，故此选项正确． C．，为两平方项相加，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误； D．，通过提取公因式分解，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误． 故选B． 5．已知：，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算，负整数指数幂运算，零指数幂运算，根据相关运算法则计算出a，b，c，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：C． 6．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 7．如果把分式中的m和n都扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解： ∵分式中的m和n都打扩大到原来的2倍， ∴， ∴缩小到原来的， 故选：C ． 8．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，则可得，比较等式两边各项的系数即可得． 【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，通过作差法可得，分解因式得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，即， 故选：B． 10．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不为0，熟练掌握分式有意义的条件是解题关键． 【详解】由题意得， 解得， 故答案为：． 12．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式即可． 【详解】． 故答案为：． 13．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂． 先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可． 【详解】 故答案为： 14．已知，则代数式的值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先提公因式再完全平方公式进行因式分解，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得， 故答案为：32． 15．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 16．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为（），当的结果是时，n的值为______． 【答案】199 【分析】此题考查了图形的变化规律，结合图形观察数字，发现：，，进一步得到；在计算的时候，根据，…进行简便计算． 【详解】解：观察图形可得：； 当， ∴， 解得． 经检验是分式方程的解． 故答案为：199． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，负整数指数幂； （1）先算乘方，再化简求出即可； （2）首先将分子与分母因式分解，再利用分式除法运算法则进而化简求出即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 19．（1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算分式的除法，再计算分式的减法，把原式化简，将a的值代入计算即可； （2）根据最简公分母，解方程，注意分母不能为零求解． 【详解】解：（1）原式． 把代入原式，可得． （2）， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 20．已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【详解】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 21．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】(1)甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 (2)甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； （2）解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 22.探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 23．阅读下列材料： ， ， ． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)在和式中，第6项为______，第n项为_______； (2)受此启发，请你解下面的分式方程： ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题是规律探究题，解特殊分式方程． （1）以序号为前提，依次观察每个分数，可以发现，每个分母是两个连续奇数乘积，其中最小奇数为，据此求解即可； （2）参考（1）中规律得到，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴在和式中，第6项为，第n项为； 故答案为：；； （2）解：原方程可变形为， 整理，得． 方程两边乘，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 24．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 【答案】（1）若．理由见解析；（2）；（3）①乙试验田的小麦的单位面积产量高，理由见解析；②乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍 【分析】本题考查了完全平方公式，分式减法运算及实际应用； （1）由判断即可； （2）作差比较大小即可； （3）①分别表示出两块试验田的产量，再作差比较大小即可 ②根据“高的单位面积产量除以低的单位面积产量”得到，计算化简即可． 【详解】解：（1）若， 理由：， ， ， ； （2），， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）①甲试验田的面积为：， 乙试验田的面积为：， ， ， ， ， ， 乙试验田的小麦的单位面积产量高； ② ， 乙试验田的小麦的单位面积产量是甲试验田的小麦的单位面积产量的倍． 25．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． （1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得； （2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （3）解：证明：原式 ， 为正整数， 为正整数， 式子的值一定是某个整数的平方． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八上数学第一次月考卷 考试范围：湘教版2024新教材第1—2章 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一、据了解，一粒芝麻的质量约为0.00000304kg．将数据0.00000304用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．已知：，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．如果把分式中的m和n都扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 8．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ）． A．4 B． C．2 D． 9．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．若分式有意义，则的取值范围是 ． 12．分解因式： ． 13．计算的结果是 ． 14．已知，则代数式的值为 ． 15．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是 ． 16．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为（），当的结果是时，n的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共72分． 17．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)； (2)． 19．（1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 20．已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 21．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 22.探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 23．阅读下列材料： ， ， ． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)在和式中，第6项为______，第n项为_______； (2)受此启发，请你解下面的分式方程： ． 24．【阅读材料】 要想比较a和b的大小关系，可以进行作差法，若，则；若，则；若，则． 【学以致用】 （1）若，比较与的大小，并说明理由； （2）若x为全体实数，比较与的大小． 【拓展延伸】 （3）如图，甲、乙两块长方形小麦试验田，甲小麦试验田的相邻两边长分别为米，米，乙小麦试验田的相邻两边长分别为m米，米，其中．两块试验田的小麦都收获了500千克． ①哪块试验田的小麦单位产量高？请说明理由； ②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？（用含m的代数式表示） 25．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $