指数与对数的运算讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 1 指数与对数的运算 【知识梳理】 1. 有关指数幂的概念 (1)n次方根 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根． (2)方根的性质 ①当为奇数时，； ②当为偶数时， (3)分数指数幂的意义 ①； ② 2. 有理数指数幂的运算性质 设，则： (1)； (2)；(3). 3. 对数的相关概念 (1)对数的定义：如果，那么叫做以为底数N的对数，记作logaN＝b． (2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lgN；②自然对数：以为底N的对数，简记为：lnN． (3)指数式与对数式的相互转化：. 4. 对数的基本性质 设， 则：(1)； (2)； (3)； (4)． 5. 对数运算的法则 设，则： (1)； (2)； (3)． (4) 6. 对数的换底公式 设，则 【题型精讲】 题型一、指数幂的运算 例1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 例2．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 例3．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 例4．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. [一“点”就过] (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．　　 题型二、指数对数的互换 例5．（24-25高一上·深圳外国语·期中）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 例6．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 例7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，， 所以，， 故答案为： 例8．（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】根据题意:,, 所以. 故选：D 题型三、对数的概念 例9．（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 题型四、指数幂、对数式的化简求值 例10．（24-25高三上·天津河西期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 例11．（2025高一上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)8 (3)-3 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 例12．（25-26高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 【点睛】对数式化简或求值的常用方法和技巧 （1）对于同底数的对数式，化简的常用方法是： （1）“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； （2）“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）． （2）对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题． （3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简． （4）当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． [一“点”就过] 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　 【课堂练习】 一、单选题 1．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的性质可得：，代入将也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：，， 根据对数性质有：， ， ，与A选项最接近， 故选：A 4．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 9．（24-25高一上·广东东莞·期中）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于,即可得解. 【详解】由题意知， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 故会无限趋近于. 故答案为：. 10．（23-24高一上·深圳·期末）计算： ． 【答案】5 【难度】0.85 【来源】广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题 【知识点】对数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的定义和运算分析求解. 【详解】由题意可得：原式 . 故答案为：5. 四、解答题 11．（2025高三·全国·专题练习）计算与化简： (1)； (2)； (3)计算：； (4)化简． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可计算出结果； （2）利用指数幂的运算性质化简可得出结果； （3）利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解； （4）利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式． （4）原式． 12．（25-26高三上·深圳·开学考）（1）计算：； （2）． （3）已知，求的值． 【答案】（1）-1.8；（2）-3；（3）4 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算； （3）根据指数幂的运算法则计算. 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 则， 所以 13．（25-26高一上·全国·单元测试）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)-7 【难度】0.94 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式 ． 故答案为：0 （2）原式 ． 故答案为：-7 【课后作业】 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）函数取最小值时的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】．由，当且仅当，即时等号成立． 故选：D 2．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 4．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 5．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 二、多选题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的互化关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：BD 7．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD 8．（25-26高一上·全国·课后作业）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【详解】要使有意义，则解得或． 三、填空题 9．（24-25高一上·深圳光明·第二阶段考） . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】运用指数幂和对数运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 10．（23-24高一上·深圳光明·期末）若，，，且，，，则的值为 . 【答案】25 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市光明区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试数学试题 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据，则可得，代入，根据对勾函数的性质即可求得的值. 【详解】因为，则， 令， 则， ， 令，则， 其中时，由对勾函数性质知， 则，所以. 故答案为：25 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可. 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 12．（2025高一上·全国·专题练习）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)1 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】本体考查指数幂和对数的运算，按照运算公式计算即可得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 故答案为：(1) 100，(2) 1. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）求值： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 14．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】运用指数对数运算性质逐个化简计算即可. 【详解】（1）计算：根据指数运算法则，可得，即. 计算：可得. 计算：设，根据对数的定义可得，即，则，解得. 计算：. 将以上结果相加：. （2）计算： ，则. 又，所以. 计算：，，则. 将两部分结果相加：. （3）对两边平方，可得，即，所以. 对两边平方，可得，即，所以. 将，代入，可得. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 1 指数与对数的运算 【知识梳理】 1. 有关指数幂的概念 (1)n次方根 正数的奇次方根是一个 ，负数的奇次方根是一个 ，0的奇次方根是 ；正数的偶次方根是两个绝对值 、符号 的数，0的偶次方根是 _，负数没有偶次方根． (2)方根的性质 ①当为奇数时，； ②当为偶数时， (3)分数指数幂的意义 ①； ② 2. 有理数指数幂的运算性质 设，则： (1)； (2)；(3). 3. 对数的相关概念 (1)对数的定义：如果，那么叫做以为底数N的对数，记作logaN＝b． (2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lgN；②自然对数：以为底N的对数，简记为：lnN． (3)指数式与对数式的相互转化：. 4. 对数的基本性质 设， 则：(1)； (2)； (3)； (4)． 5. 对数运算的法则 设，则： (1)； (2)； (3)． (4) 6. 对数的换底公式 设，则 【题型精讲】 题型一、指数幂的运算 例1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 例2．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 例3．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习）已知、，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、，且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：B. 例4．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. [一“点”就过] (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．　　 题型二、指数对数的互换 例5．（24-25高一上·深圳外国语·期中）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 例6．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 例7．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由得到，再利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，， 所以，， 故答案为： 例8．（24-25高一上·北京顺义·期末）通过科学研究发现：地震时释放的能里（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9.2级地震，2019年乙地发生里氏7.4级地震，若甲，乙两地地震释放能量分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】根据指数、对数运算求得正确答案. 【详解】根据题意:,, 所以. 故选：D 题型三、对数的概念 例9．（24-25高一上·全国·周测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 题型四、指数幂、对数式的化简求值 例10．（24-25高三上·天津河西期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 例11．（2025高一上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)8 (3)-3 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 例12．（25-26高一上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. （2）利用对数的运算法制与换底公式即可得答案. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 . 【点睛】对数式化简或求值的常用方法和技巧 （1）对于同底数的对数式，化简的常用方法是： （1）“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和（差）“收”成积（商）的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； （2）“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和（差）． （2）对常用对数的化简要创设情境，充分利用“”来解题． （3）对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简． （4）当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”． [一“点”就过] 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．　　 【课堂练习】 一、单选题 1．（2025高一上·浙江杭州·专题练习）设均为不等于1的正数，且，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】由题可知，，然后可得即可求解. 【详解】，，， 即，又均为不等于1的正数， 所以. 故选：C. 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）根据有关资料，国王与国际象棋发明者在棋盘放米的故事中，最后一个格子需放米粒的数量为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据对数的性质可得：，代入将也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：，， 根据对数性质有：， ， ，与A选项最接近， 故选：A 4．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】先指数对数互化，再根据指数幂运算法则将进行变形，再结合已知条件进行计算. 【详解】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·全国·周测）对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 三、填空题 9．（24-25高一上·广东东莞·期中）借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】由，结合题意可得，当越来越大时，会无限趋近于,即可得解. 【详解】由题意知， 由越来越大时，会无限趋近于， 故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近， 故会无限趋近于. 故答案为：. 10．（23-24高一上·深圳·期末）计算： ． 【答案】5 【难度】0.85 【来源】广东省深圳市深圳实验学校光明部2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题 【知识点】对数的概念判断与求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的定义和运算分析求解. 【详解】由题意可得：原式 . 故答案为：5. 四、解答题 11．（2025高三·全国·专题练习）计算与化简： (1)； (2)； (3)计算：； (4)化简． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可计算出结果； （2）利用指数幂的运算性质化简可得出结果； （3）利用根式和指数运算公式化简所求表达式即可求解； （4）利用根式和分数指数幂的运算法则即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式． （4）原式． 12．（25-26高三上·深圳·开学考）（1）计算：； （2）． （3）已知，求的值． 【答案】（1）-1.8；（2）-3；（3）4 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算； （3）根据指数幂的运算法则计算. 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 则， 所以 13．（25-26高一上·全国·单元测试）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)-7 【难度】0.94 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）根据对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式 ． 故答案为：0 （2）原式 ． 故答案为：-7 【课后作业】 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）函数取最小值时的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，结合指数幂的运算性质即可求解. 【详解】．由，当且仅当，即时等号成立． 故选：D 2．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则求得答案. 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·河南·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：C. 4．（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 5．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（） A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 二、多选题 6．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的互化关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：BD 7．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）下列指数式与对数式互化正确的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式与对数式互化关系，逐项确定得答案. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得，D正确； 故选：ABD 8．（25-26高一上·全国·课后作业）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【详解】要使有意义，则解得或． 三、填空题 9．（24-25高一上·深圳光明·第二阶段考） . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】运用指数幂和对数运算性质计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 10．（23-24高一上·深圳光明·期末）若，，，且，，，则的值为 . 【答案】25 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市光明区2023-2024学年高一上学期期末学业水平调研测试数学试题 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据，则可得，代入，根据对勾函数的性质即可求得的值. 【详解】因为，则， 令， 则， ， 令，则， 其中时，由对勾函数性质知， 则，所以. 故答案为：25 四、解答题 11．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； （3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可. 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 12．（2025高一上·全国·专题练习）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)1 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】本体考查指数幂和对数的运算，按照运算公式计算即可得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 故答案为：(1) 100，(2) 1. 13．（24-25高一上·全国·课前预习）求值： (1)； (2). 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 14．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】运用指数对数运算性质逐个化简计算即可. 【详解】（1）计算：根据指数运算法则，可得，即. 计算：可得. 计算：设，根据对数的定义可得，即，则，解得. 计算：. 将以上结果相加：. （2）计算： ，则. 又，所以. 计算：，，则. 将两部分结果相加：. （3）对两边平方，可得，即，所以. 对两边平方，可得，即，所以. 将，代入，可得. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $