第1章三角形拓展训练2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了三角形的定义、性质、判定及特殊三角形（直角、等腰、等边）等核心内容，通过知识体系构建将重要线段、三边关系、边角关系、全等判定与分类讨论、转化思想有机串联，帮助学生形成完整的三角形知识网络。 其亮点在于以“典例分析-模型总结-变式拓展”为主线，通过“手拉手”全等模型等解题通法培养学生推理能力，结合军事演习舰艇距离等实际问题发展应用意识。分层设计的强化训练从基础作图到综合证明，满足不同学生需求，教师可据此精准实施复习教学。

第1章 三角形拓展训练 执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 一、知识体系构建： 三角形 学习思路 学习内容 转化思想 定义 性质 三角形的特殊线段 三角形的 边和角 中线 角平分线 高 在三角形中,连接一个顶点 与它的对边中点的线段. 在三角形中,一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它的对边所在 直线作垂线,顶点与垂足之间的线段. 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边， 三角形的任意两边之差小于第三边 三角形的边角关系 在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大， 较大的角所对的边也比较大. 从一般 到特殊 学习方法 二、典例分析： 例1、如图1，已知D为△ABC内一点,求证：AB+AC>BD+CD； 如图2，已知AB>AC>AD,比较∠B、∠ADC和∠C的大小, 并说明理由. 在△ABC中， ∵AB>AC, ∴∠C>∠B. 综上，∠ADC>∠C>∠B. （2）解:∠ADC>∠C>∠B. 理由如下:在△ACD中， ∵AC>AD,∴∠ADC>∠C。 ∴AB+AE+DE+CE>BD+DE+CD （1）证明:延长BD交AC于E。 ∵ AB+AE>BD+DE DE+CE>CD 三角形任意两边之和大于第三边 即 AB+AC>BD+CD 例2、如图所示,已知等边三角形ABC和点P,过点P分别向ΔABC 的三边AB,AC,BC所在的直线作垂线,垂足分别为DE,F,已知 PD=h1,PE=h2,PF=h3,ΔABC的高AM为h. (1)当点P在ΔABC的边BC上时,如图(1)所示,h3=0, 猜想h1+h2+h3与h之间的数量关系,并说明理由. (2)当点P在ΔABC内部时,如图(2)所示,当点P在ΔABC外部时, 如图(3)所示.请问这两种情况下,(1)中的结论是否仍成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出新的关系式(不要求证明) ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC, ∴AM=PD+PE,即h=h1+h2. ∵h3=0, ∴ h1+h2+h3=h. 解:(1)猜想:h1+h2+h3=h.理由如下: 如图1.连接AP,则S△ABC=S△ABP+ S△APC, (2)当点P在ΔABC内部时, 结论h1+h2+h3=h仍成立。 ∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC, ∴AM=PD+PE+PF ∴h1+h2+h3=h. 当点P在△ABC外部时， 结论h1+h2+h3=h不成立， 新的关系式是h1+h2-h3=h. 证明:连接AP,BP,CP， 则S△ABC=S△ABP+ S△APC+ S△BPC, 在△ACE和△AFE中， 例3、如图所示,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD. ∴△ACE≌△AFE(SAS), ∴C=∠5. ∵AC//BD,∴∠C+∠D=180° ∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠D. 在△EFB和△EDB中， △EFB≌△EDB(AAS) ∴FB=DB 证明:在线段AB上截取AF=AC,连接EF. ∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴AB=AF+FB=AC+BD. 截长法 补短法 例4、如图，在△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,点P为BC边上 一动点(BP<CP),分别过点B,C作BE⊥AP交AP的延长线于点E, CF⊥AP于点F。求证:(1)△ABE≌△CAF；(2)EF=CF-BE。 证明:(1)∵BE⊥AP,CF⊥AP,. ∴∠AEB=∠CFA=90°. ∴∠FAC+∠ACF=90° ∵∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠FAC=90°， ∴∠BAE=∠ACF. (2)∵△ABE≌△CAF, ∴ AE=CF,BE=AF. ∵EF=AE-AF， ∴EF=CF-BE. 在△ABE≌△CAF中， ∠AEB=∠CFA, ∠BAE=∠ACF, AB=CA, ∴△ABE≌△CAF(AAS) 解题通法 “一线三等角”全等模型 一线三等角可以看成在一条直线上有三个相等的角，通过三角形 三个内角的和等于180°与平角的定义(或同角的余角相等),得到两个三角形中的两组角分别相等,此时如果有一组边也相等,就会得到一组全等三角形. 例5、如图，△ABC 和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在 一条直线上.判断AD与B是否相等,并证明你的结论. 解:AD=BE.证明如下: ∵△ABC 和△CDE都是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°, AC=BC,CD=CE, ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD, 即∠ACD=∠BCE. ∴△ACD和△BCE (SAS), ∴AD=BE. 在△ACD和△BCE中， AC =BC, ∠ACD=∠BCE CD =CE, 思考：图中共有 对全等三角形？ 3 解题通法 “手拉手”全等模型 △ADC与△CBE为等边 三角形且共顶点C,易得 类型 模型解读 等 边 “手拉手” 等腰直角 “手拉手” △ADB 与 △ACE 为等腰 直角三角形且共顶点A, 易得 (1)△EAC≌△BDC, (2)∠EGB=60° (3)GC平分∠AGB. (1)△EBA≌△CDA (2)DC与BE互相垂直, (3)OA平分∠BOC. 变式训练： 如图所示，在直线 AC 的同一侧作等边三角形ABD 和等边三角形 BCE,连接AE,CD,AE与BD交于点G, 与CD交于点H,CD与BE交于点F,连接BH,GF，求证: (1)△ABE≌△DBC； (2)AE=DC； (3)AE与DC的夹角为60°； (4)△AGB≌△DFB; (5)△ECB≌△CFB； (6)ΔGBF为等边三角形； (7)GF//AC； (8)HB平分∠AHC。 例6、如图所示,Rt△ABC，∠C=90°AC=10cm, BC=5cm,P,0两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动,且PO=AB.当点P在AC上运动到什么位置时, △ABC与△OPA全等? 思路引导： 分类 讨论 当两个三角形用符号“≌”表示全等时，其对应顶点、对应边、 对应角都唯一确定，但仅给出“全等”时,其对应关系并不确定，这就要求分类讨论，以免产生漏解. “≌”与“全等”的区别 例7、画∠AOB=90°,并画∠A0B的平分线OC。 (1)将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线0C的任意一点P上,并使三角尺的两条直角边分别与0A,0B垂直,垂足分别为点E,F, 如图(1).求证:PE=PF. (2)把三角尺绕点P旋转,三角尺的两条直角边分别交0A,0B于点E,F,如图(2),PE与PF相等吗?若相等,请进行证明;若不相等,请说明理由. (3)若点E在0A的反向延长线上,其他条件不变,如图 (3)， PE与PF相等吗? 例8、如图是一个钢架,且∠AOB=10°,为使钢架更加牢固, 需在其内部添加一些钢管EF,FG,GH,…,添加的钢管长度 都与OE相等,则最多能添加这样的钢管多少根? 解:∵OE=EF,∴∠EFO=∠O=10° ∵∠GEF为△OEF的一个外角，∠GEF=∠O+∠EFO=20°. ∵EF=FG,∴∠FGE=∠FEG=20° ∵∠GFH为△GOF的一个外角, ∴∠GFH=∠O+∠OGF=30° 以此类推,当添加的钢管与∠AOB的一边垂直时, 一共添加了8根钢管,即最多能添加这样的钢管8根 当添加n根钢管时，最后形成等腰三角形的底角 为nx10°，依题意有nx10°<90°,解得n<9， 所以n的最大值为8. 三、拓展提高： 1、如图，△ABC是边长为6的等边三角形,点P是AC边上的动点, 由点A向点C运动(点P不与点A,C重合),点O是CB延长线上的动点, 与点P同时以相同的速度由点B沿CB的延长线运动点O不与点B重合), 过点P作PE⊥AB于点E,连接PO交AB于点D。 (1)当∠BOD=30°时,求AP的长。 (2)在运动过程中，线段ED的长是否发生变化?如果不变, 求出线段ED的长;如果发生变化,请说明理由 易证△PFD≌△QBD,得DF=BD. DE=DF+EF=1/2(BF+AF)=3. 2、问题背景:如图(1),若在四边形ABCD中,AB=AD, ∠BAD=120°,∠B=∠ADC =90°,点E,F分别是BC, CD 上的点,且∠EAF =60°， 探究图中的线段 BE,EF,FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G, 使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,可得出问题的结论是 。 探索延伸:如图(2),若在四边形ABCD中, AB=AD,∠B+∠D=180°, 点E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= ∠BAD,上述结论 是否仍然成立?请说明理由. EF=BE+FD仍然成立.理由如下: 如图,延长 FD 到点 G,使DG=BE,连接 AG. 因为∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180° 所以∠B=∠ADG 在△ABE和△ADG中 EF=BE+FD 实际应用:如图(3),在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进，1.5 小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且 OE,OF 之间的夹角为 70°,求此时甲、乙两舰艇之间的距离, 连接EF,延长 AE,BF相交于点C, 在四边形AOBC中, 因为∠AOB=30°+90°+20°= 140°，∠FOE =70°= ∠AOB, ∠OBC=70°+50°=120°, 且OA=OB, ∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°, 所以符合“探索延伸”中的条件， 所以结论 EF=AE+FB 成立: 故EF=AE+FB=60×1.5 +80×1.5=210(海里) 答:此时甲、乙两舰艇之间的距离为210海里 1、如图,已知△ABC,按要求作图 (1)画出△ABC的角平分线BD,并指出相等的角; (2)画出△ABC的边BC上的中线AE,并指出相等的线段; (3)在(1)和(2)的基础上,画出△ABC的边BC上的高AF. 四、强化训练： 2、如图所示，在公园草地上准备修建一个凉亭,要求凉亭与花坛M,N之间的距离相等，并且与两条小径AB,CD的距离也相等,请你来确定凉亭的位置. 3、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BC, 若BC=10,求△DCE的周长。 思路引导： 4、如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点, 以AD为边作∠ADE=60°,DE与△ABC的外角平分线CE 交于点E,连接AE，且CE=BD.求证:△ADE是等边三角形。 5、如图,ΔABD是等边三角形,∠BCA=60°, 求证:AC=BC+CD. 辅助线还有哪些添加方法？ 提示：延长CB至点E， 使CE=CA，连接AE。 6、如图，在△ABC中,AD平分∠BAC,点E,F分别在BD, AD 上,且 DE =CD,EF=AC,求证:EF∥AB. 7、如图，在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°， ∠ABC的平分线,CE⊥BD,交BD的延长线于点E. 求证:BD=2CE 8、如图(1),在△ABC中，已知∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点0, 过点0作EF//BC,分别交 AB,AC于点E,F. (1)直接写出图(1)中所有的等腰三角形指出EF与BE,CF间的数量关系。 (2)若AB=12.AC=10,求△AEF 的周长。 (3)如图(2),若ΔABC中,∠ABC 的平分线与三角形外角∠ACG的平分线 相交于点0过点O作OE//BC交AB于点E,交AC于点F请问(1)中EF与BE,CF 间的数量关系是否还成立?若成立,说明理由；若不成立,写出三者 新的数量关系,并说明理由. (4)如图(3),AABC的两外角平分线相交于点O,EF//BC,分别交 OB,OC于 点M,N,请直接写出EF,BE,CF,MN之间的数量关系,不需证明。 $