15.4第1课时　等腰三角形的性质 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

15.4　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 第15章　轴对称图形与等腰三角形 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？ 等腰三角形的性质 1 A B C AB = AC 等腰三角形 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 底边上的中线所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 定理1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 应用格式： ∵AB = AC (已知)， ∴∠B =∠C (等边对等角). 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。 要点归纳 已知：△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C . 证法：作底边 BC 边上的中线 AD. 在△ABD 与△ACD 中， AB = AC (已知)， BD = DC (已作)， AD = AD (公共边)， ∴ △ABD≌△ACD (SSS). ∴ ∠B =∠C. A B C D 猜想验证 你还有其他的证明方法吗？ 解：∵AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角). ∴∠B =∠C = ×(180° - 120°) = 30°. 又∵BD = AD (已知)， ∴∠BAD =∠B = 30°(等边对等角). 同理，∠CAE =∠C = 30°. ∴∠DAE =∠BAC -∠BAD -∠CAE = 120° - 30° - 30° = 60°. 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，点 D，E 是底边上两点，且 BD = AD，CE = AE. 求∠DAE 的度数. A B C D 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 找出图中有几个等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC 与∠A 的关系，∠ABC、∠C 呢? ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A ， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴ ∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC+∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. ∴ 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x. 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC， ∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数. 解：∵ AB = AD = DC， ∴∠B = ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设∠C = x°，则 ∠DAC = x°， ，∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°. 在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5. ∴∠C = x° = 38.5°，∠B = 2x° = 77°. 变式训练： 例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数. 解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ A B C A B C 等腰三角形 AB = AC ∠B = ∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B ∠A =∠B =∠C 类比探究 等边三角形的性质 2 推论：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°. 已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明： ∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C 例4 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解. A B C D E 等腰三角形的性质 等边对等角 注意是指同一个三角形中 推论 等边三角形三个内角相等，且均等于 60° 1. 已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　C　） A. B. 2 C. 3 D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和高.若AB＝AC，∠ACE＝32°，则∠BAD的度数为（　B　） A. 32° B. 29° C. 28° D. 25° （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　20°　. （第3题） 20°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE. （第4题） （1） 若∠BAE＝40°，求∠C的度数. 解：（1） ∵ AD⊥BC，BD＝DE，∴ AD垂直平分BE. ∴ AB＝AE. ∴ ∠ABD＝∠AED. ∵ EF垂直平分AC，∴ AE＝CE. ∴ ∠CAE＝∠C. ∵ ∠BAE＝40°，∴ ∠AED＝ （180°－∠BAE）＝70°. ∵ ∠AED＝∠C＋∠CAE，∴ ∠C＝ ∠AED＝35°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若△ABC的周长为21cm，AC＝8cm，求DC的长. （2） 由（1）得，AB＝AE＝CE. ∵ △ABC的周长为21cm，AC＝8cm，∴ AB＋BE＋EC＝13cm，即2DE＋2EC＝13cm.∴ DC＝DE＋EC＝6.5cm. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（　D　） （第5题） D A. 60° B. 69° C. 76° D. 88° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 易错题等腰三角形的一个角的度数比另一个角的度数的2倍少20°，这个等腰三角形的顶角的度数是 （　A　） A. 44°或80°或140° B. 20°或80° C. 44°或80° D. 140° 7. （2024·内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　100°　. （第7题） A 100°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，△ABC是等边三角形，高AD＝6，P为AD上一动点，E为AB的中点，则PB＋PE的最小值为 　6　. （第8题） 9. 分类讨论思想 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在直线BC上，CD＝CA，则∠BDA＝ 　55°或35°　. 6　 55°或35°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE，连接DE. ①　　　② （第10题） （1） 如图①，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数. 解：（1） ∵ AD是边BC上的高，∴ ∠ADC＝90°.∵ AB＝AC， ∴ AD是∠BAC的平分线.∴ ∠BAD＝∠CAD＝30°.∵ AD＝AE， ∴ ∠ADE＝∠AED＝75°.∴ ∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 如图②，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的数量关系，并加以证明. （2） ∠BAD＝2∠EDC. ∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ ∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED. ∵ ∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠EDC，　∴ ∠B＋∠BAD＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝∠C＋2∠EDC. 　∴ ∠BAD＝2∠EDC. ①　　　② （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知△ABC是等边三角形. （1） 如图①，P，Q是边BC上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数. （第11题①） 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠B＝60°.∵ ∠BAP＝20°，∴ ∠APC＝∠BAP＋∠B＝80°.∵ AP＝AQ，∴ ∠AQB＝∠APC＝80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） P，Q是边BC上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM. ① 依题意将图②补全. ② 求证：PA＝PM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） ① 如图②所示. ② 如图②，过点A作AH⊥BC于点H. ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠B＝∠C＝∠BAC＝60°.∵ AP＝AQ，∴ ∠APQ＝∠AQP. ∴ ∠APQ－∠B＝∠AQP－∠C，即∠PAB＝∠QAC. ∵ 点Q，M关于直线AC对称，∴ 易得∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM. ∴ ∠PAB＝∠MAC，AP＝AM. ∴ 易得∠PAM＝∠BAC＝60°.∴ △APM是等边三角形.∴ PA＝PM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $