等差数列讲义-2026届高三数学一轮复习

等差数列 题型分类 题型一 等差数列运算 直击痛点 · 等差数列的通项公式 · 等差数列的前项和公式 重点题目 1-1．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求出，再利用等差数列前项和公式和求解即可. 【详解】由等差数列的性质得，则，所以． 故选:C． 1-2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解. 【详解】令等差数列的首项为，公差为， 所以， 化简得. 因为，所以. 所以解得. 所以. 故选：D. 1-3．（24-25高二下·河南商丘·期末）权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，则（   ） A．25 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【分析】由于的后8项成等比数列，根据等比数列通项公式求出，从而可得的值，再根据等差数列通项公式求，从而得解. 【详解】因为的后8项成等比数列，且， 设其公比为，则，解得（－2舍去）， 所以，. 又因为的前3项成等差数列，所以， 解得，所以. 故选：A. 1-4．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C 题型二 等差数列性质 直击痛点 · 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有 · 在等差数列中，当时，．特别地，若，则 · ，…也成等差数列，公差为 · 若项数为偶数，则；； · 若项数为奇数，则；； 重点题目 2-1．（2025高三·全国·专题练习）若，a，1依次成等差数列，则（   ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为，a，1依次成等差数列，所以，解得． 故选：A. 2-2．（24-25高二下·广西河池·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由等差数列的下标和性质即可计算求解. 【详解】由题可得， 所以， 故选：C. 2-3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且， 所以． 故答案为：. 2-4．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 【答案】C 【分析】由正一品的俸粮表示其他官员的俸粮，由给定和列式求出即可得解. 【详解】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为， 则，解得，， 又组成新的等差数列，得，解得a=. 故选：C · 下标和相等，各项和相等 2-5．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题知，得到， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 2-6．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2， 故选：C． 2-7．（2025高三·全国·专题练习）若等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列性质及前项和公式求解即可. 【详解】设数列，的公差分别为，， 则 . 故选：C． 2-8．（2025·山东烟台·三模）已知等差数列中，，其前n项和为，则（    ）． A．21 B．28 C．42 D．56 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可得答案. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B. 2-9．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．44 B．33 C．66 D．77 【答案】D 【分析】根据等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，因为， 所以， 则. 故选：D. 2-10．（24-25高二下·江西·阶段练习）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可. 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 2-11．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（    ） A．4050 B．2025 C．4048 D．2024 【答案】B 【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值. 【详解】在等差数列中，， 则，即，因此， 数列是常数列，则，即，所以. 故选：B 2-12．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 2-13．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出两个等差数列的前项和公式，利用等差数列的性质即可得出结论. 【详解】由题意， 在两个等差数列中，前项和分别是，， 对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数）， ∴设，，为常数 ∴， 故选：B. · 片段和 2-14．（2025·山西·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．120 【答案】B 【分析】先由题设结合等差数列下标和性质得，再结合等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】由题得， 所以，则. 故选：B 2-15．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【分析】利用等差数列前项和的定义及性质先求出，再求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 · 奇数项与偶数项和 2-16．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 2-17．（2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为305，偶数项之和为276，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 题型三 等差数列的判断与证明 直击痛点 · 等差数列定义 · 等差中项 · 等差数列通项与前n项和形式 重点题目 3-1．（2025高三·全国·专题练习）记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由等差数列定义数列为等差数列，求出，利用求出，则等价于，再利用配方法求出取得最大值可得答案． 【分析】由知， 所以数列为等差数列， 又，， 则等差数列的公差， 所以，，则， 故， 经检验，满足该通项公式.故， 则等价于， 故当时，取得最大值1，故的最小值为1． 故选：A. 3-2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)证明：为等差数列； (2)若，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先变形与的关系式得，进而可直接计算得到与的关系式得解； （2）先由（1）得到数列的通项公式，接着利用累乘法即可求解的通项公式. 【详解】（1）证明：因为，所以， 则，即． 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）得，则， 因为，即， 则当时，， 即，又，故时，，又， 所以. 3-3．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知数列是一个公差为，首项为的等差数列，再等差数列算得前项和. 【详解】由，得， 所以故数列是一个公差为，首项为的等差数列. ，. 故选：A 3-4．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将整理得，根据等差数列的定义即可证明； （2）由（1）中结论及等差数列的通项公式即可求解； （3）由（2）知对的整数恒成立，即对的整数恒成立，整理得.令，研究数列的单调性求出其时的最小项即可求解. 【详解】（1）证明：将整理得， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可知对的整数恒成立，即对的整数恒成立， 整理得. 令，则 . 因为，所以，即数列为单调递增数列，所以最小，. 所以的取值范围为. 题型四 等差数列最值 直击痛点 · 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． · 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 重点题目 4-1．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【答案】 【分析】依题意根据等差数列求和公式得到、，，即可得到等差数列为递减数列，即可求出数列中最小的项. 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 4-2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得，，，由此可判断ABC的真假；再由和时，，时，，再结合，的单调性可判断D的真假. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 4-3．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得，，应用等差数列的通项公式列不等式求范围. 【详解】由题知，当且仅当时，取得最大值， 又，故只需，即可， 若数列公差为，即，，解得， 则的取值范围为. 故选：A 4-4．（2023·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围. 【详解】由，可得. 两式相减，可得，所以数列为等差数列. 因为，，所以，所以，， 则.令，则. 当时，，数列单调递减， 而，，， 所以数列中的最大项为1，故， 即实数的取值范围为. 故答案为: . 4-5．（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？ 【答案】或时，取最小值 【分析】解法1：由等差数列的基本量运算求得，然后求出，利用二次函数性质求解最小值即可； 解法2：由等差数列的基本量运算求得，由的符号法求解和的最小值； 解法3：由及等差数列的性质可知，又，可知前10项或前11项和最小． 【详解】解法1：设等差数列的公差为， 由题意得， 即，即， 因为，所以， 所以． 因为，所以有最小值． 又因为，所以或时，取最小值． 解法2：同解法1，由，得． 由得 解得． 故取10或11时，取最小值． 解法3：因为，所以，所以，所以． 因为，所以前10项或前11项和最小． 4-6．（2025·全国·模拟预测）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（    ） A．当时，取最大值 B．使得的的最大值为4048 C．使得的的最小值为4050 D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的性质可得，结合等差数列求和公式判断C和B，利用通项公式求的范围，即可判断D. 【详解】由，，得．所以，A正确， 由和得， 结合，， 故使得的的最大值为4048，使得的的最小值为4049，所以B正确，C错误． ，解得，D正确． 故选：ABD． 4-7．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质化简，得到，结合，判断公差，得到即可判断. 【详解】由可得，由等差数列的性质可得：， 因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列， 故，即取最小值时，的值为14. 故选：C. 4-8．（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 . 【答案】6 【分析】设等差数列的公差为，先证明数列是等差数列，由推出数列及单调递减，即，借助的解析式及单调性推出即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 所以等差数列的前项和为， 则， ，， 所以数列是等差数列，公差为. 因为，所以数列单调递减， 所以，即，所以等差数列单调递减. 因为数列单调递减，所以， 因为， ，所以. 因为等差数列单调递减，且，所以， 所以当时，取最大值. 故答案为：6 4-9．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由得到，即可求解； 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 题型五 等差数列含绝对值求和 直击痛点 · 分类讨论 重点题目 5-1．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求出首项和公差，即可得到结果. （2）分两种情况讨论，再利用等差数列的前项和公式计算可得结果. （3）根据（1）、（2）可得，解不等式可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得，， 当时，， 当时， ， 故． （3）因为，, 所以， 整理得，解得或， 因为，，所以正整数的最小值为． 5-2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和与项的递推关系求出，注意验证首项是否满足. （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，， 此时时，； 故； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列 题型分类 题型一 等差数列运算 直击痛点 · 等差数列的通项公式 · 等差数列的前项和公式 重点题目 1-1．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．35 B．40 C．45 D．50 1-2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 1-3．（24-25高二下·河南商丘·期末）权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为10的数列，该数列的前3项成等差数列，后8项成等比数列，且，则（   ） A．25 B．24 C．16 D．8 1-4．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 题型二 等差数列性质 直击痛点 · 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有 · 在等差数列中，当时，．特别地，若，则 · ，…也成等差数列，公差为 · 若项数为偶数，则；； · 若项数为奇数，则；； 重点题目 · 等差中项 2-1．（2025高三·全国·专题练习）若，a，1依次成等差数列，则（   ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 2-2．（24-25高二下·广西河池·期末）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2-3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 2-4．（2025·甘肃金昌·三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（    ）. A．146 B． C． D．91 2-5．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，为和的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． · 下标和相等，各项和相等 2-6．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2-7．（2025高三·全国·专题练习）若等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2-8．（2025·山东烟台·三模）已知等差数列中，，其前n项和为，则（    ）． A．21 B．28 C．42 D．56 2-9．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．44 B．33 C．66 D．77 2-10．（24-25高二下·江西·阶段练习）设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 2-11．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（    ） A．4050 B．2025 C．4048 D．2024 2-12．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 2-13．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（    ） A． B． C． D． · 片段和 2-14．（2025·山西·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．120 2-15．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . · 奇数项与偶数项和 2-16．（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 2-17．（2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为305，偶数项之和为276，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 题型三 等差数列的判断与证明 直击痛点 · 等差数列定义 · 等差中项 · 等差数列通项与前n项和形式 重点题目 3-1．（2025高三·全国·专题练习）记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 3-2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且． (1)证明：为等差数列； (2)若，且，求数列的通项公式． 3-3．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 3-4．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 题型四 等差数列最值 直击痛点 · 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． · 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 重点题目 4-1．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 4-2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 4-3．（2025高三·全国·专题练习）已知各项均不为零的等差数列的前n项和为，满足，，则的公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2023·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 4-5．（2025高三·全国·专题练习）已知在等差数列中，，，则该数列前多少项的和最小？ 4-6．（2025·全国·模拟预测）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（    ） A．当时，取最大值 B．使得的的最大值为4048 C．使得的的最小值为4050 D． 4-7．（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．25 4-8．（2025·辽宁大连·三模）等差数列的前项和为，已知，且，则取最大值时的值为 . 4-9．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 题型五 等差数列含绝对值求和 直击痛点 · 分类讨论 重点题目 5-1．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和； (3)若时，恒成立，求正整数的最小值． 5-2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $