专题11 弧长及扇形的面积（题型专练）节同步实验班培优题型变式训练-2025-2026学年九年级数学上册章（苏科版）

专题11 弧长及扇形的面积 目录 【题型一 求弧长】 1 【题型二 求扇形半径】 3 【题型三 求圆心角】 5 【题型四 求某点的弧形运动路径长度】 7 【题型五 求扇形的面积】 9 【题型六 求图形旋转后扫过的面积】 12 【题型七 求弓形的面积】 15 【题型八 求其他不规则图形的面积】 17 【题型一 求弧长】 例题：（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式和切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用切线的性质和弧长公式解题即可． 【详解】解：由题意得：和分别与相切于点和点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长为：． 故答案为： ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用圆周角定理和弧长公式来求解的长度，先根据直角三角形的性质和圆周角定理确定中心角的度数，再利用弧长公式计算弧长． 【详解】 解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】先利用等腰直角三角板的性质得出圆心角的度数，再根据弧长公式计算的长，其中弧长公式为（是圆心角度数，是圆的半径）．本题主要考查了圆周角定理以及弧长公式，熟练掌握同弧所对圆心角与圆周角的关系和弧长公式是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【题型二 求扇形半径】 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【答案】36 【分析】本题考查切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径 ）与弧长公式（ ），关键是利用切线性质求圆心角，结合弧长公式列方程求解． 连接 、，利用切线性质得 、，结合四边形内角和求圆心角，再用弧长公式列方程求半径． 【详解】解：连接 、 ， 分别切 于 ， ，，即 四边形 内角和为 ， 又 弧 长 ， 解得 故答案为： 【题型三 求圆心角】 例题：（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为是解题的关键． 设该圆弧所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为n， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 【变式训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点转过的度数为， 重物上升， 点转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 整理得，， 解得， 滑轮上点转过的度数为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选C． 2．（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型四 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、旋转的性质、弧长公式等知识，推导出cm及是解题的关键．由，，求得，由旋转得cm，，则，由弧长公式求得点所经过的路径cm，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ， 由旋转得，， 、、三点在同一条直线上， ， 点所经过的路径为半径为cm且圆心角等于的一段弧， 点所经过的路径（cm)， 故答案为：cm． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 2．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、弧长的计算方法；熟练掌握菱形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键．连接，交于，再证明是等边三角形，得出，再求出，根据弧长公式即可得出结果． 【详解】解：连接，交于，如图所示： 菱形的边长为，， ，，， ， 与重合， ， 是等边三角形， ，，， ， 点所走的路径的长为； 故答案为： 【题型五 求扇形的面积】 例题：（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为． 【变式训练】 1．（25-26九年级上·全国·期中）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：扇形的面积为， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    【答案】27π 【分析】本题考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 本题可先求出圆心角度数，再根据已知条件得出的长度，和扇形的半径，最后根据扇形面积公式计算出摆盘的面积，摆盘的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得出结果． 【详解】解：观察图可知， 图中有个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角． ∴    ∵，， ∴， ∵ ， ， ； 故答案为：． 【题型六 求图形旋转后扫过的面积】 例题：（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理以及扇形的面积．根据“阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积”进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图可知：阴影部分的面积=扇形的面积的面积-扇形的面积的面积， ∵绕A点逆时针旋转后得到， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积=扇形的面积-扇形的面积 ； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：运动路径如图： 故答案为：． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上． (1)画出关于y轴对称的． (2)将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． (3)在（2）的条件下，求在旋转的过程中边扫过的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，轴对称的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可求解； （2）由旋转的性质可求解； （3）由勾股定理可求，的长，由面积的关系可求解． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：如图，即为所求，点； （3）解：由勾股定理得，，， ∴旋转的过程中边扫过的面积为：． 【题型七 求弓形的面积】 例题：（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积公式，弓形面积；直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式训练】 1．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，弓形的面积等，掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由勾股定理计算出，由圆周角定理得出，阴影部分的面积． 【详解】（1）解：是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； （2）解：，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 【题型八 求其他不规则图形的面积】 例题：（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 【变式训练】 1.（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键． 延长交于，先根据勾股定理算出，根据圆和正方形的面积公式进行列式计算，即可得到结论． 【详解】解：延长交于，连接，过点O作于H． ∵边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合， ∴ 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积 故选：A． 2．（20-21九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在一边长为的正方形中，以、为圆心，、长为半径，作扇形、扇形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是扇形面积公式，解题关键是熟练掌握扇形面积公式．阴影部分面积正方形面积空白部分面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正方形面积， 空白部分面积， 阴影部分面积正方形面积空白部分面积． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：管道展直长度是， 故选：D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【详解】解：滑轮的半径为， 滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：， 重物上升了 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式的运用，传送带上的物体A平移的距离为半径为的转动轮转过角的扇形的弧长，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 故， 所以传送带上的物体平移的距离为， 故选C． 4．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正六边形的性质、扇形面积公式是解题的关键．连接，根据正六边形的性质求出、、，根据正切的定义求出，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 则， 故选：A． 5．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的中点，，则，通过折叠性质可知，，，，则四边形是矩形，又，故四边形是正方形，则有，所以，求出，再通过图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积，圆周角定理推论，三角形内角和定理，折叠性质，矩形判定，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题 6．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，弧长的有关计算． 连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据弧长公式求出结论． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的半径为1， ∴劣弧的长． 即劣弧的长为， 故答案为：． 7．（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，以五边形的顶点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，扇形的面积公式，掌握知识点是解题的关键． 首先确定5个扇形的圆心角的度数之和，然后利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵5个扇形的圆心角的和为，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键． 利用弧长公式 （为圆心角度数，为半径）直接计算即可求解． 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 9．（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，阴影部分的面积为，结合已知代入计算即可． 本题考查了阴影面积计算，扇形面积公式，适当分割表示阴影面积是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， 故, 故阴影部分的面积为 ． 故答案为：或． 10．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，将不规则图形面积进行组合是解决问题的关键．根据图形得出，再由旋转的性质得出，确定，利用扇形公式求解即可． 【详解】解：直径的半圆，绕点顺时针旋转， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。 （1）由切线的性质可得，则，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，再证明，，即可证明． （2）先证明，则，由圆周角定理得到，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∴， ， ， ， 为直径， ， ，即， ． （2）解：如图，连接，由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的长为． 12．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆内接四边形的性质．根据题意可以得到是直径，然后根据且的半径为6，即可求得的长． 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 14．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角以及平行线的性质得到，进而证明，再利用全等三角形对应角相等和切线的判定定理即可证明； （2）根据斜边中线定理可得，推出为等边三角形，利用三角形内角和定理得到，得到，设，利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用割补法以及三角形和扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 是的切线； （2）解：由（1）可知，为直角三角形． 点是的中点， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 解得． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、求扇形面积、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． (2)在（1）的基础上，求点所经过的路径的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算可得点旋转路径的长． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由题意可得， 点旋转路径的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 弧长及扇形的面积 目录 【题型一 求弧长】 1 【题型二 求扇形半径】 2 【题型三 求圆心角】 2 【题型四 求某点的弧形运动路径长度】 3 【题型五 求扇形的面积】 4 【题型六 求图形旋转后扫过的面积】 5 【题型七 求弓形的面积】 6 【题型八 求其他不规则图形的面积】 7 【题型一 求弧长】 例题：（2023九年级下·湖南湘西·竞赛）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则劣弧的长是 ． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的一点，以为直径的交边于点，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 2．（2025·吉林·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为4的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 ．（结果保留π） 【题型二 求扇形半径】 例题：（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 2．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ． 【题型三 求圆心角】 例题：（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 【变式训练】 1．（2025·广东东莞·模拟预测）物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【题型四 求某点的弧形运动路径长度】 例题：（2025·浙江·模拟预测）中，，，cm，将绕点顺时针旋转至的位置，如图，、、三点在同一条直线上，则点所经过的路径长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·广西·竞赛）如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为 （结果不取近似值） 【题型五 求扇形的面积】 例题：（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）． 【变式训练】 1．（25-26九年级上·全国·期中）杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．        2．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    【题型六 求图形旋转后扫过的面积】 例题：（2025·广东茂名·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分面积为 ．（结果保留） 【变式训练】 1．（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，已知，，，半径为的从点出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过区域的面积是 ．（结果保留） 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上． (1)画出关于y轴对称的． (2)将绕原点O逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标． (3)在（2）的条件下，求在旋转的过程中边扫过的面积．（结果保留π） 【题型七 求弓形的面积】 例题：（24-25九年级上·广西柳州·期末）如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 【题型八 求其他不规则图形的面积】 例题：（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，边长为的正方形的中心与半径为的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（20-21九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在一边长为的正方形中，以、为圆心，、长为半径，作扇形、扇形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 一、单选题 1．（23-24九年级上·广西梧州·期末）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”才能下料，如图所示的管道展直长度是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，半径为的转动轮转过时，传送带上的物体平移的距离为（   ）． A． B． C． D． 4．（2025·山西临汾·二模）如图，在正六边形中，连接，，以点D为圆心，的长为半径作，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 7．（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，以五边形的顶点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分为 ． 8．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 9．（2025·广东韶关·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 10．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，以为直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，若，则图中阴影部分的面积为 ． 三、解答题 11．（2025·山东临沂·一模）如图，为的直径，的切线交的延长线于点E，点D在上，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，求的长． 12．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 14．（21-22九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求图中阴影部分的面积． 15．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点顺时针方向旋转得到，画出． (2)在（1）的基础上，求点所经过的路径的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $