14.2第5课时　两个直角三角形全等的判定课件2025-2026学年沪科版八年级数学上册

14.2　三角形全等的判定 第5课时　两个直角三角形全等的判定 第14章　全等三角形 1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ A B C A′ B′ C′ 2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 口答： 动脑想一想 如图，已知 AC = DF，BC = EF， ∠B = ∠E，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明一般的三角形全等不存在 SSA 定理. A B C D E F 3 A B C D E F “斜边、直角边”定理 问题：如果这两个三角形都是直角三角形， 即∠B =∠E = 90°，且 AC = DF，BC = EF，现在能判定 △ABC≌△DEF 吗？ 任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？ A B C 合作探究 画图思路 （1）先画∠M C′ N = 90° A B C M C′ N （2）在射线 C′M 上截取 B′C′ = BC M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 （3）以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′ M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 （4）连接 A′B′ M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简记为“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL). AB = A′B′， BC = B′C′， “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 要点归纳 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 典例精析 例2 已知：如图，BD，CE 分别是△ABC 的高， 且BE＝CD. 求证：BD＝CE. 证明：∵ BD，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC＝∠CDB＝90°. BC = CB， BE = CD， 在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中， ∴Rt△BEC≌Rt△CDB (HL). 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式. A B C E D ∴BD＝CE. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 变式2 HL BD ＝ AC Rt△ABD ≌ Rt△BAC 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 例3 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 例4 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？ 解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， BC = EF， AC = DF， ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B =∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵∠DEF +∠F = 90°， ∴∠B +∠F = 90°. “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等) 1. 用三角尺可按下面的方法画角的平分线：按如图所示摆放三角尺，使PM＝PN，画射线OP，则OP平分∠AOB. 作图过程用了△OMP≌△ONP，那么△OMP≌△ONP所用的判定定理是（　C　） A. SSS B. AAS C. HL D. ASA （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B，D，C，E在同一条直线上，点C和点E重合，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE. 若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则添加的条件是（　D　） A. BC＝EF B. ∠BCA＝∠F C. BA∥EF D. AC＝DF （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.若DF＝6m，DE＝8m，AD＝4m，则BF＝ 　18　m. （第3题） 18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，∠DBE＝∠C. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （1） 求证：△ADE≌△ADF. 解：（1） ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠E＝∠DFC＝90°.在△DBE和△DCF中，∵ ∴ △DBE≌△DCF（AAS）.∴ DE＝DF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵ ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若AB＝6，CF＝2，求AC的长. （2） ∵ △DBE≌△DCF，△ADE≌△ADF，∴ BE＝CF＝2，AE＝AF. 又∵ AB＝6，∴ AF＝AE＝AB＋BE＝8.∴ AC＝AF＋CF＝8＋2＝10. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥AB于点E. 若AC＝8，则AD＋DE的值为（　B　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 （第5题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中，错误的是（　C　） A. ∠B＝∠D B. AC∥DE C. CB＝CD D. AB⊥CD （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，BC＝AE，AB＝AD，则∠BAD＝ 　90　°. （第7题） 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则AB＝ 　7　. （第8题） 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 易错题 如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC＝8，BC＝4，AP⊥AC于点A，现有两点D，E分别在AC，AP上运动，运动过程中总有DE＝AB. 当AD的长为 　8或4　时，△ADE和△ABC全等. （第9题） 8或4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $