7.2.1复数的加、减运算及其几何意义导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 【课标要求】　1.掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.3.能够利用复数代数形式的加、减运算的几何意义解决有关问题. 【导学】 学习目标一　复数的加、减运算 　师问：类比两个多项式的加、减，你能猜想出两个复数如何相加、减吗？ 生答： 例1 (1)计算：＋(2－i)－. (2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2. 总结：复数的代数式的加、减运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算. 在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部. 这种运算类似于初中的合并同类项． 跟踪训练1　(1)－7＋(－3－i)＝(　　) A．10－i B．－10－i C．10＋i D．－10＋i (2)已知复数z1＝－2＋i，z2＝3＋2i，则复数在复平面内对应的点位于第______象限． 学习目标二　复数加、减运算的几何意义 　师问：复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 生答： 例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0，3＋2i，－2＋4i，试求： (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度． 总结：向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量 对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)． 跟踪训练2　(1)复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　) A．3＋9i B．－9－i C．9＋i D．－18＋20i (2)已知复数z1＝(a2－3)＋(a＋5)i，z2＝(a－1)＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量(O为原点)．若向量对应的复数为纯虚数，则a＝________． 学习目标三　复数模的综合问题 例3 已知复数z满足|z|2＋2z－2i＝0. (1)求z； (2)比较|z|＋|z＋3i|与|2z＋3i|的大小． 总结：设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解． 跟踪训练3　已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|，z1＋z2＝2i，求z1，z2. 【导练】 1．若复数z满足z＋11－2i＝3＋3i，则z的虚部为(　　) A．14 B．―8 C．5i D．5 2．已知a，b∈R，(a＋3i)＋(－1＋bi)＝0，则(　　) A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3 3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　) A． B．5 C．2 D．10 4．已知复数z1，z2满足z1－2z2＝5＋i，2z1＋z2＝3i，则z1＝________． 【导思】 (多选)已知z1，z2为复数，则下列说法正确的是(　　) A．若z1∈R，则z1＝ B．若z1＝＝|z2| C．若z1＝z2，则|z1|＝|z2| D．若|z1－z2|＝|z1|，则z2＝0或z2＝2z1 7．2　复数的四则运算 7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 导　学 学习目标一　生答：两个复数相加(减)就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i (a，b，c，d∈R)． 例1　解析：(1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i. (2)∵z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i， ∴z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i. 跟踪训练1　解析：(1)由题意可得－7＋(－3－i)＝[－7＋(－3)]＋[0＋(－1)]i＝－10－i.故选B. (2)因为z1＝－2＋i，z2＝3＋2i，所以z1－z2＝－2＋i－(3＋2i)＝－5－i，所以复数z1－z2在复平面内对应的点为(－5，－1)，位于第三象限． 答案：(1)B　(2)三 学习目标二　生答：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)；几何意义是以为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 例2　解析：(1)∵，∴所表示的复数为－3－2i； ∵，∴所表示的复数为－3－2i. (2)∵， ∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)对角线，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，＝. 跟踪训练2　解析：(1)复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.故选C. (2)因为，所以对应的复数为(a－1)＋(a2＋2a－1)i－(a2－3)－(a＋5)i＝(－a2＋a＋2)＋(a2＋a－6)i.因为向量对应的复数为纯虚数，所以所以a＝－1. 答案：(1)C　(2)－1 学习目标三　 例3　解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则由|z|2＋2z－2i＝0，得a2＋b2＋2(a＋bi)－2i＝0， 即a2＋b2＋2a＋(2b－2)i＝0，所以 解得a＝－1，b＝1， 所以z＝－1＋i. (2)|z|＋|z＋3i|＝|－1＋i|＋|－1＋4i|＝， |2z＋3i|＝|－2＋5i|＝， 因为2－2＝19＋2－10>0， 所以>， 所以|z|＋|z＋3i|>|2z＋3i|. 跟踪训练3　解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)．因为z1＋z2＝2i，所以z2＝2i－z1＝－a＋(2－b)i. 由已知得解得 故所求的复数z1＝＋i，z2＝－＋i或z1＝－＋i，z2＝＋i. 导　练 1．解析：由题意得z＝－8＋5i，则z的虚部为5.故选D. 答案：D 2．解析：由(a＋3i)＋(－1＋bi)＝(a－1)＋(3＋b)i＝0，得解得故选A. 答案：A 3．解析：依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.故选B. 答案：B 4．解析：由题意得z1－2z2＋2(2z1＋z2)＝5z1＝5＋i＋6i＝5＋7i，所以z1＝1＋i. 答案：1＋i 导　思 解析：对于A，若z1∈R，则z1＝，故A正确；对于B，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，因为z1＝，所以z2＝a－bi，所以|z1|＝＝，故B正确；对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由z1＝z2，得a＋bi＝c＋di，即a＝c，b＝d，所以a2＋b2＝c2＋d2，即|z1|＝|z2|，故C正确；对于D，取z1＝2，z2＝1＋i，则z1－z2＝1－＝2＝|z1|，此时z1≠0且z2≠2z1，故D错误．故选ABC. 答案：ABC 学科网（北京）股份有限公司 $