4.6线段的垂直平分线（第1课时线段垂直平分线的性质定理及逆定理）（教学课件）数学新教材湘教版八年级上册

该初中数学课件围绕线段垂直平分线的概念、性质定理及逆定理展开，通过回顾轴对称图形知识，以“线段是否为轴对称图形及对称轴”设问，衔接前期所学，搭建从轴对称到垂直平分线的学习支架。 其亮点在于借助几何直观引导学生观察点的位置（在线段上或外），结合推理意识完成定理证明，用规范数学语言表述结论。采用探究式教学与分层练习，小结明确性质判定的内容及作用，助力学生发展推理与应用能力，教师可高效开展教学。

湘教版2024·八年级上册 4.6 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质定理及逆定理 第4章 三角形 导入新课 前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？ 线段是轴对称图形。 你能找出线段的对称轴吗？ 学 习 目 标 1 2 3 理解线段垂直平分线的概念； 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点） 能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点） 新知探究 线段垂直平分线的概念： 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(或中垂线) l是PP′的垂直平分线 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 新知探究 探 究 如图4.6-2，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P(点P不在线段AB上)，连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗?为什么? 设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP=∠BDP=90°. 在△PAD和△PBD中， AD=BD, ∠ADP=∠BDP, PD=PD, 所以△PAD≌△PBD(边角边). 因此PA=PB. 由此，你得出什么结论？ 当点P在线段AB上时，结论还成立吗? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 新知探究 线段垂直平分线的性质定理： 总结归纳 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上 ∴　PA =PB， 新知探究 说一说 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么?结论是什么?它的逆命题是什么? 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 条件: 一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论: 这个点到这条线段两端的距离相等 逆命题: 这个逆命题成立吗? 证明： （1）当点M不在线段AB上时，连接MA， MB，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形. 取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边 AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线， 从而点M在线段AB的垂直平分线上. 新知探究 （2）当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上. 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论 新知探究 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 总结归纳 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. P A B 几何语言： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 典例分析 例1 如图4.6-4，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证:点0在AC的垂直平分线上. OA=OB=OC OB=OC 点O在线段BC的垂直平分线上 OA=OB 点O在线段AB的垂直平分线上 分析： 典例分析 例1 如图4.6-4，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证:点0在AC的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA=OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理可得OB=OC. 于是OA=OC. 所以点O在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？ 三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等. 这点到三个顶点的距离相等. 新知应用 基础巩固题 2.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4， 边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的 周长是( ) A．11 B．10 C．9 D．8 B 1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线， 点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C P A B C D 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 新知应用 基础巩固题 3.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 (　C　) C A.AB＝AD B.AC平分∠BCD C.AB＝BD D.△BEC≌△DEC 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 新知应用 基础巩固题 4.如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝ (　B　) A.50° B.100° C.120° D.130° B 5.若CD为线段AB的垂直平分线，点M在CD上运动时，MA和MB的长度都在变化，但总保持　相等　. 相等　 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 新知应用 基础巩固题 6.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数. 解： ∵ DE是AB的垂直平分线 ∴ AE=BE ∴ ∠BAE＝∠B＝30° 又∵∠CAE+∠BAE=∠BAC ∴ ∠CAE＝∠BAC-∠BAE ＝80°-30° ＝50° 新知应用 基础巩固题 7.如图，C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证:AO=BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 AB与CD相交于点O ∴AO=BO. 新知应用 能力提升题 8.已知在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB，BC的垂直平分线的交点， 求∠BOC的度数. ∴点O也在线段AC的垂直平分线上，即△OAB、△OBC、△OAC都是轴对称图形， 解:∵O是AB，BC的垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OB ＝OC，所以OA＝OC， ∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7， ∴∠BOC＝∠5＋∠6＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7＝2(∠1＋∠2)＝2∠BAC＝116°. 新知应用 能力提升题 9.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F. (1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长； (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 解:(1)∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB， ∵△CMN的周长为15 cm， ∴AB＝15 cm. 新知应用 能力提升题 (2)∵∠MFN＝70°， ∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°， ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°， ∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－110°＝70°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°. (2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. 课堂小结 线段的垂直平分的性质和判定 性质 内容 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判定 内容 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 作用 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 感谢聆听! $