圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题 专项训练 考点目录 椭圆的离心率问题 椭圆的弦长问题 椭圆的焦半径与焦点弦问题 椭圆的中点弦问题 考点一 椭圆的离心率问题 1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由可得，由图知，，， 又，则的面积为， 解得，则，则椭圆的离心率为. 故选：B. 2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以， 当且仅当时取等号，又 所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 6．（25-26高三上·山西大同·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知的平分线交轴于点，故， 故，（d为的边上的高）， 即得，结合可得， 所以， 对于有， 故，即的离心率为. 故选：A 7．（25-26高三上·河北·开学考试·多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 8．（25-26高三上·江西·阶段练习·多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 9．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】由题意知，直线与坐标轴的交点坐标为. 因为椭圆，即. 所以，可知. 所以，所以. 所以该椭圆的离心率为. 故答案为：. 10．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 【答案】 【详解】直线与椭圆交于，两点，， 则，点在椭圆上可得，即得， 所以的离心率为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 12．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设，，， 由可知，直线、斜率均存在且不为0， ∵， 且， ∴，∴直线的倾斜角为, ∴， 设为C的左焦点，连接， 根据椭圆的对称性得：,则， ∵,∴，， 由椭圆的定义得：， ∴C的离心率. 13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 14．（24-25高二下·广西梧州·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】以为直径的圆，和椭圆关于轴对称，则交点在中垂线上，不妨设点在第一象限，则，代入椭圆：，得， 即，解得. 故答案为：. 考点二 椭圆的弦长问题 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，∴，即， ，∴， 联立方程组得，整理得， 设，，∴，， . 故选：A. 4．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则 ． 【答案】 【详解】由对称性可得，，， 所以，，， 所以椭圆方程为，，解得，，． 故答案为：. 5．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 【答案】 【详解】因为的内切圆交边于点，所以, 又因为在椭圆中，, 所以， 而，（等号取不到）因此. 故答案为：. 6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的方程为，点为的一个焦点，点为的两个顶点，若，，则的可能值中的最大值为 ． 【答案】5 【详解】设．由椭圆的对称性，不妨设为右焦点， 易知点到的左顶点的距离为，到右顶点的距离为，到上、下顶点的距离均为， 分情况进行讨论：①若分别为的左、右顶点，则，解得，则， 所以，相对应的的方程为； ②若为的左顶点，为的上顶点或下顶点，则，所以，， 所以，相对应的的方程为； ③若为上顶点或下顶点，为右顶点，则，所以，， 所以，相对应的的方程为． 综上所述，的所有可能值为，，；比较可知三值最大的为，即的可能值中的最大值为． 故答案为： 7．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点为和，即， 且， ，解得， ，， 椭圆的方程为. （2） 由题意，直线的斜率，其方程为， 联立可得， 设， 根据韦达定理，则有， . 所以. 8．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得， 解得，，所以， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为. 设，， 由，得， 所以，，由得. 由， 得，满足，所以，， 所以. 9．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． （2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 10．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得， 故的方程为. （2）联立，得. ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 11．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）若，则曲线，所以曲线为双曲线， 离心率. （2）设，则， 又，，解得， 即曲线， （ⅰ）设直线倾斜角分别为，则， 由题可知，， ，联立， 解得，即， 所以点的坐标为. （ⅱ）设，， 则由，得 ，即. 且， 由题意知，直线不与轴垂直. 设直线， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 且， 则， 整理可得， 则， 因为，则， 化简得，则直线， 所以直线过定点. 故直线斜率存在时， ， 代入得， ， 令，则， 则，其中， 故当且仅当，即时，即， 故当直线斜率不存在时，取最小值，最小值为. 12．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆的几何性质有， 故，. 所以的方程为. （2） 设的左焦点为，则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时. 因为，故直线的方程为. 与的方程联立有， 整理有，，解得，. 故直线被截得的弦长为. 13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知椭圆过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点（点A，B不重合），且l交直线于点M，探究是否有最小值. 【答案】(1) (2)没有 【详解】（1）将，代入椭圆方程得 解得，，故椭圆的标准方程为. （2）设直线AB的方程为，，，， 联立得. 将代入椭圆方程整理得，， ，解得， 故，， 故 ， 将代入上式，得， 由，得，又， 故没有最小值. 14．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 （2）设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 考点三 椭圆的焦半径与焦点弦问题 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 2．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理， 即， 整理得，同理可得， 所以，，    对于椭圆，则、、， 所以，，故①错误； ，故②正确； 所以，， 又 ，(由题可知) 又， 所以，故③错误； 当时，直线的方程为， 由，消去整理得，显然， 所以，， 又，，则，， 设内切圆的半径为，则， 所以，解得， 所以内切圆的面积，故④正确；    故选：B 3．（24-25高二上·安徽合肥·期中·多选）已知椭圆的左､右焦点分别为 ，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【详解】由题知，因为，即，解得，所以离心率，故A正确； 若，连接，在中，由勾股定理得，      又因为点在椭圆上，所以，所以， 又，解得，所以，故B错误； 设，    则， 又因为点在椭圆上，所以， 因为，所以，从而， 所以为定值，故C正确； 因为，所以点在以为直径的圆上，半径为，    又因为， 所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 4．（2024·四川·一模·多选）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 【答案】BCD 【详解】 对于A，由题意知：，，，，A错误； 对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确； 对于C，， 的周长为，C正确； 对于D，作垂直于直线，垂足为， 设，则， ，， ，，D正确. 故选：BCD. 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆，左、右焦点分别为，离心率为，过作直线l交椭圆于A，B两点（A在x轴上方），满足，设点A关于x轴的对称点为，若的外接圆半径，则的最小值为 . 【答案】 【详解】 不妨设，则， 根据椭圆的定义可知：，， 根据余弦定理得：， ， 联立两式可得： 化简得： 再由离心率， 代入化简得：， 再化简得： 解得：，即 由， 所以可知点为椭圆的上、下顶点，且， 再由余弦定理： ， 又由余弦定理得：， 在三角形中，则有， 即三角形外接圆半径满足： 则有， 再由，则，解得：， 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，根据椭圆的性质，则， ，则，， 即，， 整理得：， 当且仅当：，即时，取等号， 为最小值， 故长轴长的最小值， 故答案为：． 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为. （2）如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， . 综上所述，的取值范围是. 8．（24-25高三上·广东·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点为，点在上．过且斜率为的直线交于、两点（在的上方）． (1)求的方程； (2)若，求； (3)若，直线交轴于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得，得， 因此椭圆的方程为. （2）由题意，，直线的方程为，设点、， 联立，解得，， 故． （3）由题意，直线的方程为，设， 联立， ， 由韦达定理得， 所以， 因为，则， 所以，则， 又， 设，因为直线的斜率存在，则与轴不垂直，则， 因为，所以点不是椭圆长轴的顶点，则， 故， 由、、三点共线知， 解得， 当时，，则， 当时，，则， 所以，则. 因此． 9．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点. (1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求. (2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点P在椭圆C上，所以，解得； 所以椭圆C的方程为，故， 设动点，则，所以， 故，， 所以． （2）不妨设，的外接圆半径为， 则由正弦定理得， 所以. 如图，过作直线的垂线，垂足为， 过作于点，由（1）的结论可得， 所以，即， 所以，又，得， 则，即， 所以，当且仅当时等号， 所以的最大值为. 10．（24-25高三上·安徽六安·期末）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点． (1)已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程； (2)若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得，解得，所以，椭圆的方程为. 设直线方程为，设点、， 联立方程，消去整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为，且，所以， 所以，， 即，解得，且满足， 所以直线方程为. （2）因为直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点， 设，其中且， 因为 ， ， 同理可得，故， 因此，，证毕. 考点四 椭圆的中点弦问题 1．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】设，则且， 故，故，即， 故，又，所以，所以，所以，即， 因此椭圆的短轴长为. 故选：B 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 5．（2025·山西·一模·多选）已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为10 C．的最小值为5 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】ABD 【详解】    A.由题意得，，，故椭圆的离心率，A正确. B.由A得，，∴. 由椭圆定义得，， ∴，B正确. C.，C错误. D.由可知点在椭圆内部，设过点的直线与椭圆相交于点，， ∴，两式相减，得， ∵弦被点平分，∴，， ∴，即直线的斜率为，D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习·多选）已知椭圆的左右焦点为，，直线交椭圆于两点，则（   ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是 C．椭圆上存在四个点，使得为直角三角形 D．若线段中点为，则直线的方程为 【答案】BCD 【详解】 由题意得，， ∴，即，A错误. 由A得，， 当直线垂直于轴时，直线方程为， 将代入椭圆方程得，，. 当直线不垂直于轴时，设直线方程为， 由得，， ∴， ∴ ， ∴当直线垂直于轴时，的最小值是，B正确. 由题意得，以为直径的圆，圆心为，半径为，故圆方程为， 由得，或或或， ∴椭圆上存在四个点，使得为直角三角形，C正确. 设，则， 两式相减得， ∵线段中点为，则， ∴， ∴直线的方程为，即，D对. 故选：BCD. 7．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的右焦点为，过F作直线l交椭圆于 A，B两点，若弦AB 中点坐标为 ，则该椭圆的面积为 . 【答案】 【详解】因为右焦点为,得出， 设点中点为， 所以， 所以， 所以， 所以 所以，所以, 所以 所以该椭圆的面积为 故答案为：. 9．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率为 . 【答案】 【详解】设，，直线的斜率为，则. 因为为线段的中点，所以，. 联立两式相减得， 即，所以，解得，经验证此时直线与椭圆有两交点， 故答案为： 10．（24-25高二上·北京·阶段练习）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率是 . 【答案】/0.5 【详解】令，则， 又，作差得，整理得. 故答案为： 11．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点． (1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程； (2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）椭圆C：的左焦点为，设直线的方程为，， 由消去并整理得， 由M为弦AB的中点，得，， 由直线OM的斜率为，得，解得， 所以直线l的方程为，即. （2）由（1）知，令点关于轴对称点为， 直线交椭圆于点，设， 由，得，于是， 令，则，解得， ，令，则， 令函数，求导得， 而，则， 函数在上单调递增，，即，即； 令函数，求导得， 而，则， 函数在上单调递减，，即，即， 所以的取值范围是. 12．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意，因为，所以， 设，则， 两式相减可得，得，即， 因为为线段的中点，则， 直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． （2）设点的坐标为， 由，消去并整理得：， 则， 又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分， 则即点， 而点在椭圆上，于是得，解得， 所以椭圆的方程为：． 13．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； (3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，且点 【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆方程为，即. （2）设点、，则， 因为，这两个等式作差可得， 即， 由题意可知，直线的方程为， 线段的中点在直线上，所以，，可得， 所以，故，故直线的斜率为. （3）在轴上存在点，使是与无关的常数. 证明：假设在轴上存在点，使是与无关的常数， 因为直线过点且斜率为，所以，直线的方程为， 由 得. 设、，则，， 因为，， 所以 设常数为，则， 整理得对任意的恒成立， ，解得， 即在轴上存在点，使是与无关的常数. 14．（2025·江西·三模）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. (1)求的方程； (2)若是的中点，求直线的方程； (3)过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析， 【详解】（1）由题意可得解得， 所以的方程为. （2）依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程得. 当时，. 由根与系数的关系知，①，②. 因为是的中点，所以，结合①解得. 代入②，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. （3）根据题意画出图像为： 由①②可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题专项训练 圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题 专项训练 考点目录 椭圆的离心率问题 椭圆的弦长问题 椭圆的焦半径与焦点弦问题 椭圆的中点弦问题 考点一 椭圆的离心率问题 1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山西大同·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，的平分线交轴于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北·开学考试·多选）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 8．（25-26高三上·江西·阶段练习·多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 9．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 . 10．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 11．（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 12．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：（）的右焦点为F，P，Q为C上关于原点对称的两点，，直线PF交C于另一点M，若直线QM的斜率为，则C的离心率为 . 13．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 14．（24-25高二下·广西梧州·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，以为直径的圆与椭圆的三个公共点分别为，，，若以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为 . 考点二 椭圆的弦长问题 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知直线与椭圆交于A，B两点，点F是椭圆C的左焦点，若，，则 ． 5．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的左右焦点分别为、，过作直线交椭圆于、两点，其中点在轴下方，内切圆交边于点，则线段的长度取值范围为 . 6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆的方程为，点为的一个焦点，点为的两个顶点，若，，则的可能值中的最大值为 ． 7．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． (1)求的方程； (2)若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 8．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 9．（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 10．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. (1)求的方程； (2)已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 11．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知曲线． (1)若，求曲线的离心率； (2)若曲线的左，右顶点为，是上第一象限上动点，． （ⅰ）若，求点的坐标； （ⅱ）设直线与定直线的交点为，直线与曲线的另一个交点为，求的最小值． 12．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知椭圆过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点（点A，B不重合），且l交直线于点M，探究是否有最小值. 14．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 考点三 椭圆的焦半径与焦点弦问题 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·二模）已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·安徽合肥·期中·多选）已知椭圆的左､右焦点分别为 ，左､右顶点分别为是椭圆上异于的一个动点，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积为定值 D．符合条件的点有且仅有2个 4．（2024·四川·一模·多选）已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（    ） A． B． C．当不共线时，的周长为 D．设点到直线的距离为，则 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆，左、右焦点分别为，离心率为，过作直线l交椭圆于A，B两点（A在x轴上方），满足，设点A关于x轴的对称点为，若的外接圆半径，则的最小值为 . 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 8．（24-25高三上·广东·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点为，点在上．过且斜率为的直线交于、两点（在的上方）． (1)求的方程； (2)若，求； (3)若，直线交轴于点，求的取值范围． 9．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点. (1)设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求. (2)在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值. 10．（24-25高三上·安徽六安·期末）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点． (1)已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程； (2)若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：． 考点四 椭圆的中点弦问题 1．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·一模·多选）已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为10 C．的最小值为5 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 6．（24-25高三下·江苏盐城·阶段练习·多选）已知椭圆的左右焦点为，，直线交椭圆于两点，则（   ） A．的取值范围为 B．若直线经过点，则的最小值是 C．椭圆上存在四个点，使得为直角三角形 D．若线段中点为，则直线的方程为 7．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 8．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 的右焦点为，过F作直线l交椭圆于 A，B两点，若弦AB 中点坐标为 ，则该椭圆的面积为 . 9．（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线与椭圆交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率为 . 10．（24-25高二上·北京·阶段练习）过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率是 . 11．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：的左焦点为，过点斜率存在且不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，M为AB中点，O为坐标原点． (1)若直线OM的斜率为，求直线l的方程； (2)P为椭圆上的点，直线PM与x轴交于点Q，若，求的取值范围． 12．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 13．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆过点，长轴长为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点、． (1)求椭圆的方程； (2)若线段中点的横坐标是，求直线的斜率； (3)在轴上是否存在点，使是与无关的常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·江西·三模）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. (1)求的方程； (2)若是的中点，求直线的方程； (3)过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $