精品解析：2025-2026学年人教版九年级上册初中数学10月考模拟测试题（一）

2025~2026学年秋季学期九年级数学学业质量监测（10月份） 模拟试题（一） （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答， 在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据旋转的性质即可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴点A和点D是对应点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”是解题的关键． 3. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 采用倒推的思想，利用平移的性质进行求函数解析式即可． 【详解】解：由先向右平移1个单位长度后解析式为， 再向上平移2个单位长度后解析式为， 故选：B． 4. 根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 5. 已知二次函数y=-2x2+4x-3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案． 【详解】∵y=-2x2+4x-3=-2（x-1）2-1， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=1， ∴当x≥1时，y随x的增大而减小， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 6. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A. 0，4 B. 1，5 C. 1，－5 D. －1，5 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线可求出m的值，然后解方程即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 关于x的方程为， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图象，过点作轴，轴，根据全等三角形的性质可以分析出点坐标． 【详解】解：将点绕原点逆时针旋转得到点，如下图所示， 过点作轴，轴， 则，， 有题意可知， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转性质的应用，绕原点旋转90°的点的坐标特征，根据旋转性质画出图象是解决本题的关键． 8. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移和长方形的面积公式，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：； 故选C． 9. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 10. 某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（ ） A. 210 B. 220 C. 230 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 11. 如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 12. 如图，正方形的边长为2，E为边上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，连接，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数实际应用，设，勾股定理求出的长，根据，将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：设， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴， 过点D作交于Q，交于P， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴当时，的值最小，为； 故选B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 13. 如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 _____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】图中的图案有6个菱形组成，则每次旋转60度；一共旋转了5次． 【详解】解：每次旋转了． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 14. 如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝_______． 【答案】65° 【解析】 【分析】根据旋转的性质知AB＝AB1，∠BAB1＝50°，然后利用三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，， ∴AB＝AB1，∠BAB1＝50°， ∴∠ABB1＝（180°−50°）＝65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟知旋转角的定义与旋转后对应边相等是解题的关键． 15. 若是一元二次方程的两个根，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：由题意得， ∴； 故答案为：3． 16. 在平面直角坐标系中，直角如图放置，点A的坐标为，，每一次将绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为______． 【答案】（，） 【解析】 【分析】由题意可得，（，），根据题意，每旋转四次，点B就又回到第一象限，用可知点在第三象限，即可得到答案． 【详解】在直角中，点A的坐标为， ， （，） 由已知可得： 第一次旋转后，如图，在第二象限， （，） 第二次旋转后，在第三象限，（，） 第三次旋转后，在第四象限，（，） 第四次旋转后，在第一象限，（，） ．．．．．． 如此，旋转4次一循环 点在第三象限， （，） 故答案为：（，）． 【点睛】本题考查了旋转变换，涉及含30度角的直角三角形，确定旋转几次一循环是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解一元二次方程：． （2）计算： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，有理数的混合运算； （1）配方法解方程即可； （2）根据混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ， ∴； （2）原式． 18. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】（1）图象见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和二次函数的取值范围： （1）待定系数法求出二次函数解析式，然后列表，描点，连线，即可得到图象； （2）从图象观察在之间图象的最低点函数值和最高点函数值，由此可得y的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点并连线得： ； 【小问2详解】 由图可知，当时，． 19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． (1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC； (2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC； (3) 在轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标． 【答案】（1）图形见解析； （2）图形见解析； （3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0） 【解析】 【分析】（1）按题目的要求平移就可以了； （2）关于原点对称的点的坐标变化是∶横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可． （3）AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点． 【详解】 （1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）作A点关于x轴的对称点A＇（1，-1），然后连接对称点与B点， 则BA＇的解析式为， 当时，． ∴△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）． 20. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或2时，； （2）存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； 小问2详解】 存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； 【小问3详解】 存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 22. 如图所示，一拱桥截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯． （1）求抛物线的解析式； （2）求两盏景观灯之间的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线的应用，分析题意，建立合适的平面直角坐标系，解决问题． （1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是，设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程； （2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为代入，求出，然后两者相减，就是他们的距离． 【小问1详解】 解：根据题意首先建立坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为，与轴交点坐标是， 设抛物线的解析式是， 把代入， 得， ； 【小问2详解】 解：由已知得两景观灯的纵坐标都是， ， ， ，． 两景观灯间的距离为． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期九年级数学学业质量监测（10月份） 模拟试题（一） （形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答， 在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．） 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕点B逆时针旋转得到，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，能得到抛物线的是（ ） A B. C. D. 4. 根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数y=-2x2+4x-3，如果y随x增大而减小，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ） A. 0，4 B. 1，5 C. 1，－5 D. －1，5 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 9. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 10. 某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（ ） A. 210 B. 220 C. 230 D. 240 11. 如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的边长为2，E为边上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，连接，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案直接填在答题卡对应题号的横线上） 13. 如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 _____． 14. 如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转50°后的图形为△AB1C1，则∠ABB1＝_______． 15. 若是一元二次方程的两个根，则___． 16. 在平面直角坐标系中，直角如图放置，点A的坐标为，，每一次将绕点O逆时针旋转90°，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解一元二次方程：． （2）计算： 18. 二次函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （2）根据图象，当时，求y的取值范围． 19. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． (1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC； (2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC； (3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标． 20. 在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的长度等于？ （2）是否存在t值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （3）是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求长． 22. 如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是，拱桥的跨度为，拱桥与水面的最大距离是，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面景观灯． （1）求抛物线的解析式； （2）求两盏景观灯之间水平距离． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $