第六章平面向量及其应用 章末复习课导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用章末复习课 知识网络·形成体系 向量的表示 方向、模 向量的概念 零向量、单位向量 共线向量 柑等时量、柑反问量 问量的加 三角形法则 半行四边形法如 法与诚法 问量 运算律 面向量及其应 平面 运算 平面向量 向量的数 运算律 的性 的运算 乘运算 向量 量共线定理 投影向量 基不 质及 向量的 运算徘 数量积 几何意义 性质州 垂直 定理 坐标 棋 表示 问量在几何的城用 夹角 时量在物理中的应用 不等式性质) 向量的 余弦 a-b2+c2-2bccos A,b2-d+c2-2accos B,c2-d2+b2-2abcos C M用 定理 余弦定理的用 心知边，解三角形 已知两边及共夹角，解三形】 止弦 sinA=sin B=sinC=2R 定理 已知两角和任边.解三角形 正炫定理的应 已知两边和其中一边的对角，解三角形 高度问题 应用举例一距离问题 角度问题 考点聚焦·分类突破 考点一平面向量的线性运算 1.进行向量的线性运算常见的方法有两种：定义法和坐标法 (I)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平 行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解. (2)若条件是给出坐标的向量，则直接进行运算.若向量在含有垂直关系的几何图形中给 出，则可以建立坐标系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解。 2.通过对平面向量线性运算的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养. 例1(1)已知向量a=(c,y),若向量(12m,5m)(m>0)与a反向，且向量a在向量(3,0)上 的投影向量为(-12,0)，则x一y=() A.7 B.-17 C.17D.-7 (2多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边 上一点，且B元=3E武，F为AE的中点，则() AA=A店+A B.B武=-A+A C.丽=A-A D.BF=-AB+AD 跟踪训练1(1)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-b)∥c,则1=() A.3B.-吉C.D.号 (2)在△4BC中，B=2DA,若C=C@A+μC⑦，则哈= 考点二平面向量的数量积运算 1.向量的夹角及垂直问题 (1)两个非零向量a=(1,y),b=(2,y2)垂直台ab=0今x12十yy=0,利用这两个结论， 可以判断两个向量的位置关系. ab 88ty2 (2)两个向量的夹角公式(0为两个非零向量a,b的夹角)：cos0=端= Vx+yN+y月 2.向量的长度（模）与距离的问题 求向量的模主要有以下两种方法： (1)利用公式a2=a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行 展开、合并，使问题得以解决： (2)利用公式lal=V2+y2将其转化为实数运算，使问题得以解决. 3,通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养 例2(1)（多选）已知e1,e2是夹角为钙的单位向量，且a=e1-2e2,b=e1十e2,则() 4.lal-v6 B.ab=- C.a与b的夹角为 D.a在b方向上的投影向量为一b 0 (2)如图，己知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆E(正方形ABCD 内部，含边界)，则P元P的取值范围为 跟踪训练2（①）若向量a,b满足1a=2V3,b=4,aL(a-b),则a与b的夹角为() A.号B. C.晋 D. (2)已知平面内A,B,C三点不共线，且点O满足0A.0范=0B.OC=0A0元，则O是 △ABC的 心.（填“重”“垂”“内”或“外”） 考点三正、余弦定理的应用 1.边角互化的常用方法： (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如a=2 R sinA,a2+b2-c2=2 ab cos C等），利 用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的 内角关系，如在△ABC中，sinA=sinB台A=B;sin(A-B)=0台A=B;sin2A=sin2B台A= B或A十B=号等. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sm4=景，cosA=+等，通过代数变换。 2bc 2.通过对正、余弦定理应用的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养。 例3记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC+V3sinC=,且 a=6. (1)求角A; (2)已知角A的内角平分线交BC于点M,若AM=V2,求△ABC的周长. 跟踪训练3)已知△4BC中，币+C可=0,2∠CAD+∠B4D=180,若4C=誓BC, 则cos∠ABC=() A.号 B.1 24 c.9D. (2)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向上，距离为12√6 nmile;在A处看灯 塔C在货轮的北偏西30°方向上，距离8yV3 nmile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看 灯塔B在南偏东60°方向上，A处与D处之间的距离是 nmile,灯塔C与D处之间 的距离是 n mile. 章末复习课 考点聚焦·分类突破 例1解析：(1)由向量(12m,5m)m>0)与a反向，故x5m-y12m=0且x,y<0,即有 3(30 5x=12y,由向量a在向量(3,0)上的投影向量为(-12,0)，可得荐唇=(-12,0)，即x =-12,故y=-5,则x-y=-12-(-5)=-7.故选D (2)因为AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,由向量加法的三角形法则得A店= A店+B范=A丽+（-青A丽+号Ai)=A+号Ai,又F为AE的中点，则A后=A应= 青A店+而，故A正确：元=BA+A市+D元=-A店+Ai+(A)=-A店+A而，故 B正确；丽=BA+A=-A店+A+A⑦=一号A店+A而，故D正确：京=C丽+ =品-B元=-丽+-（-A+A心)=（-吉)A店-Ai,故C错误，故选 ABD 答案：(1)D(2)ABD 跟踪训练1解析：(1)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-b=(1,1)-(-1,3)= (1+,1-3),又c=(2,1),且(a-b)∥c,所以1×(1+)=2(1-3)，解得1=.故选D. (2)因为=2DA,所以D为AB上靠近点A的三等分点，所以C=C+D=C+2A =Ci+2(C-CA)=3C-2C.因为C=C+uC,所以1=-2，u=3,所以合=-号 答案：(D2)-号 例2解析：)设a与b的夹角为6，对于A,a=Ve1-2e2)7 Ve12-4e1e2+4e2=V7,故A错误；对于B,因为a=e-2e,b=e1+(e2),所以 ab=(e-2e2)(e+e)=e12-ee2-2ez2=-克，故B正确；对于C,1b=V(e1+2e2)2= Ve,2+2e1e2+e2=1,所以cos0=戢-疗=-日≠cos弯，故C错误：对于D,a在 ab b方向上的投影为b=-b,故D正确.故选BD, (2) 因为正方形ABCD的边长为4，取CD的中点E,连接PE,当P在A点或B点时，P它 mx=2V5,当P在弧AB中点时，P它m=2,所以P的取值范围为[2,25]由于元·P币 馆+武·陀+丽)，武=-丽=D沁，D问=4，所以元·P币=-DC=p D元2=P2-4.因为P∈[2,2V5],所以P∈[4,20]，故P2-4∈[0,16]，所以p元· P∈[0,16]，即P元·P的取值范围为0,16] 答案：(1)BD(2)[0,16] 跟踪训练2解析：()设a与b的夹角为0,0∈[0，，1a=23,=4,a1(a-b), a2-a:b=12-abcs0=12-85cos0=0,c0s9=,∴0=晋故选C (2)油0A·0=0·0元=0A·0元，知0·CA=0·(0A-0心=0A·0i-0范· O元=0，OA·B元=OA·(O元-O)=OA·O元-0A·O=0,故0B⊥CA,OA⊥BC, 从而O为△ABC的垂心 答案：(1)C(2)垂 例3解析：（①）因为cosC+5sinC=学，所以cosC+V5snC=c sina sinA cos C+3 sin 4 sin C=sin B+sin C=sin (4+C)+sin C=sin 4 cos C+cos 4 sin C+ sin C, 化简得cos A sin C+sinC=V3 sinA sinC,由A∈(0，)，所以sinC≠0， 所以V3sinA-cosA=1,sin(4-晋)=寺，由(4-晋)∈(-晋，)，解得A=胃 (2)因为AM为角平分线，且AM=√2， 所以号IM-AB sin晋+吉AM-AC sin晋=AC:AB sin号， 整理得V2(b+c)=V3bc 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bc cosA=(b十c)2-3bc, 即6+c2-V66+c)=36,解得b+c=3V6或b+c=-2V6(舍)， △ABC的周长为6+3V6 跟踪训练3解析：(1) 由Bi+Ci=0,可得D为BC中点，因为2∠CAD+∠BAD=180°，故∠BAC+∠CAD =180°.在△ABC中，由正弦定理得m品a=mc①，在△ACD中，由正弦定理得 n2o=n2o②，两式相除可得铝=器=-2设AD=X,AB=2X,AC=y,BC=2V2y, AD 424+42y 而cos∠BDA十cos∠CDA=2x2y 2N2g=0,可得X2=昌y2,则cos∠ABC 前-要版造D 2222y (2) 北 △ABD中，由己知得∠BAD=75°，∠BDA=60°，所以∠B=45°，由正弦定理得AD= ABsinB 126x盟 sin/ADB =24 n mile),所以A与D之间的距离为24 n mile;△ACD中，∠CAD= 30°， 由余弦定理，得CD=VAC+AD2-2ACAD·cos(30)°= √(83)2+(24)2-2×8V5×24×号=92+576-576=85 n mile),)所以 灯塔C与D处之间的距离为8V3 n mile,. 答案：(1)D(2248V5