第六章平面向量及其应用 章末复习课导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章　平面向量及其应用 章末复习课

知识网络·形成体系

考点聚焦·分类突破

考点一　平面向量的线性运算

1．进行向量的线性运算常见的方法有两种：定义法和坐标法

(1)在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法则，结合平面向量的基本定理求解．

(2)若条件是给出坐标的向量，则直接进行运算．若向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建立坐标系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解．

2．通过对平面向量线性运算的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．

例1 (1)已知向量a＝(x，y)，若向量(12m，5m)(m>0)与a反向，且向量a在向量(3，0)上的投影向量为(－12，0)，则x－y＝(　　)

A．7　　　B．－17　　　C．17　　　D．－7

(2)(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边

上一点，且，F为AE的中点，则(　　)

A.

B．

C．

D．

跟踪训练1　(1)设向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，1)，且(a－λb)∥c，则λ＝(　　)

A．3    B．－    C．    D．

(2)在△ABC中，，若，则＝________．

考点二　平面向量的数量积运算

1．向量的夹角及垂直问题

(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系．

(2)两个向量的夹角公式(θ为两个非零向量a，b的夹角)：cos θ＝.

2．向量的长度(模)与距离的问题

求向量的模主要有以下两种方法：

(1)利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；

(2)利用公式|a|＝将其转化为实数运算，使问题得以解决．

3．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养．

例2 (1)(多选)已知是夹角为的单位向量，且a＝，则(　　)

A．|a|＝

B．a·b＝－

C．a与b的夹角为

D．a在b方向上的投影向量为－

(2)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆E(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为_________．

跟踪训练2　(1)若向量a，b满足|a|＝2＝4，a⊥(a－b)，则a与b的夹角为(　　)

A．    B．    C．    D．

(2)已知平面内A，B，C三点不共线，且点O满足，则O是△ABC的__________心．(填“重”“垂”“内”或“外”)

考点三　正、余弦定理的应用

1．边角互化的常用方法：

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等．

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换．

2．通过对正、余弦定理应用的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养．

例3 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＋sin C＝，且a＝6.

(1)求角A；

(2)已知角A的内角平分线交BC于点M，若AM＝，求△ABC的周长．