6.4.3第2课时正弦定理导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．4.3　第2课时　正弦定理

【课标要求】　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数．

【导学】

学习目标一　正弦定理

师问：(1)在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2，计算的值，从中你能发现什么结论吗？

(2)对于锐角和钝角三角形，是否都成立？

生答：

例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，则实数b＝(　　)

A．    B．2

C．2    D．4

(2)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．

 

总结：(1)正弦定理实际上是三个等式：， ， ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．

(2)因为三角形的内角和为180 °，所以已知两角一定可以求出第三个角．

跟踪训练1　(1)在△ABC中，B＝，a＝5，则此三角形的最大边长为(　　)

A．3    B．5

C．    D．

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝12，B＝60°，则A＝(　　)

A．30°    B．30°或150°

C．60°    D．60°或120°

学习目标二　正弦定理的常见变形的应用

　师问：正弦定理的常见变形有哪些？

生答：

 

 

 

例2 (1)在△ABC中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中a∶b∶c＝2∶3∶4，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　)

A．2∶3∶4    B．4∶9∶16

C．4∶3∶2    D．16∶9∶4

(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，则＝_________．

 

 

 

 

 

总结：熟记正弦定理的常见变形是解题的关键．

跟踪训练2　(1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝(　　)

A．－    B．－

C．－    D．

(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠B＝120°，b＝4，则三角形外接圆半径为_________．

学习目标三　判断三角形的形状

例3 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，试判断△ABC的形状．

 

 

 

判断三角形形状的两种途径

跟踪训练3　在△ABC中，若a cos B＝c，则△ABC的形状是(　　)

A．等边三角形    B．直角三角形

C．等腰三角形    D．等腰直角三角形

【导练】

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，A＝45°，B＝60°，则a＝(　　)

A．1　　　 B．2    C．2　　　 D．

2．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R＝(　　)

A．1　　　 B．2    C．4　　　 D．无法确定

3．已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sin A∶sin B＝1∶，则b＝(　　)

A．1    B．

C．2    D．2

4．在△ABC中，2BC·sin B cos B＝AC·sin A，则B＝________．

【导思】

(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且已知a＝2，则(　　)

A．若A＝45°，且△ABC有两解，则b的取值范围是

B．若A＝45°，且△ABC恰有一解，则b的取值范围是(0，2]

C．若c＝3，且△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是

D．若c＝3，且△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是