6.4.3第2课时正弦定理导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6．4.3　第2课时　正弦定理 【课标要求】　1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数． 【导学】 学习目标一　正弦定理 师问：(1)在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2，计算的值，从中你能发现什么结论吗？ (2)对于锐角和钝角三角形，是否都成立？ 生答： 例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，则实数b＝(　　) A． B．2 C．2 D．4 (2)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形． 总结：(1)正弦定理实际上是三个等式：， ， ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)因为三角形的内角和为180 °，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练1　(1)在△ABC中，B＝，a＝5，则此三角形的最大边长为(　　) A．3 B．5 C． D． (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝12，B＝60°，则A＝(　　) A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 学习目标二　正弦定理的常见变形的应用 　师问：正弦定理的常见变形有哪些？ 生答： 例2 (1)在△ABC中，其中三个内角分别为A，B，C，并且所对的边分别为a，b，c，其中a∶b∶c＝2∶3∶4，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　) A．2∶3∶4 B．4∶9∶16 C．4∶3∶2 D．16∶9∶4 (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，则＝_________． 总结：熟记正弦定理的常见变形是解题的关键． 跟踪训练2　(1)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝(　　) A．－ B．－ C．－ D． (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠B＝120°，b＝4，则三角形外接圆半径为_________． 学习目标三　判断三角形的形状 例3 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，试判断△ABC的形状． 判断三角形形状的两种途径 跟踪训练3　在△ABC中，若a cos B＝c，则△ABC的形状是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【导练】 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，A＝45°，B＝60°，则a＝(　　) A．1　　　 B．2 C．2　　　 D． 2．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R＝(　　) A．1　　　 B．2 C．4　　　 D．无法确定 3．已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sin A∶sin B＝1∶，则b＝(　　) A．1 B． C．2 D．2 4．在△ABC中，2BC·sin B cos B＝AC·sin A，则B＝________． 【导思】 (多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且已知a＝2，则(　　) A．若A＝45°，且△ABC有两解，则b的取值范围是 B．若A＝45°，且△ABC恰有一解，则b的取值范围是(0，2] C．若c＝3，且△ABC为钝角三角形，则b的取值范围是 D．若c＝3，且△ABC为锐角三角形，则b的取值范围是 第2课时　正弦定理 导　学 学习目标一　生答：(1)∵Rt△ABC中，A＝30°，c＝2，∴C＝90°，B＝60°，a＝1，b＝，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝1，∴＝＝＝2. (2)都成立． 例1　解析：(1)因为a＝2，A＝，B＝，由正弦定理＝可得b＝＝＝2.故选C. (2)由正弦定理得sin C＝＝＝， 因为c ＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°，于是C＝45°，或C＝135°. ①当C＝45°时，A＝105°， 此时a＝＝＝ ＝ ＝＝＋1； ②当C＝105°时，A＝15°， 此时a＝＝＝ ＝ ＝＝－1. 答案：(1)C　(2)见解析 跟踪训练1　解析：(1)因为B＝，C＝，所以A＝，则B对的边最大，由＝，可得b＝＝＝5.故选B. (2)因为a＝4，b＝12，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝.因为在△ABC中，0°<A<180°，所以A＝30°或150°，又因为b>a，所以B>A，所以A＝30°.故选A. 答案：(1)B　(2)A 学习目标二　生答：(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)＝＝＝＝2R. 例2　解析：(1)由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B, c＝2R sin C(R为三角形外接圆半径)，所以a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，又a∶b∶c＝2∶3∶4，所以sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4.故选A. (2)设△ABC的外接圆的半径为R，则根据正弦定理可知a＝2R sin A，b＝2R sin B，＝＝2R，又＝＝＝2＝2R，所以＝2. 答案：(1)A　(2)2 跟踪训练2　解析：(1)由正弦定理可知，a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，则cos C＝＝＝－.故选B. (2)因为∠B＝120°，b＝4，由正弦定理可知△ABC的外接圆半径为＝＝. 答案：(1)B　(2) 学习目标三　 例3　解析：由＝及正弦定理， 得＝，即＝， ∴sin A cos A＝sin B cos B， 即sin 2A＝sin 2B， ∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 跟踪训练3　解析：因为a cos B＝c，所以sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以cos A sin B＝0.因为sin B>0，所以cos A＝0，又因为0°<A<180°，所以A＝90°，△ABC为直角三角形．故选B. 答案：B 导　练 1．解析：由正弦定理得＝，∴a＝＝＝.故选D. 答案：D 2．解析：在△ABC中，根据正弦定理＝＝＝2R，∵a＝，A＝45°，∴＝＝2R，解得R＝1，故选A. 答案：A 3．解析：由正弦定理＝可得sin A∶sin B＝a∶b，所以a∶b＝1∶，因为a＝，所以b＝2.故选C. 答案：C 4．解析：在△ABC中，因为2BC·sin B cos B＝AC·sin A，由正弦定理可得2sin A sin B cos B＝sin B sin A，因为A，B，C∈(0，π)，所以sin B sin A>0，所以cos B＝，则B＝. 答案： 导　思 解析：A选项，由正弦定理，得＝，sin B＝<1，且b>a＝2，则2<b<2，选项A正确；B选项，①sin B＝＝1，则b＝2，②sin B＝<1且b≤2，则0<b≤2，综上0<b≤2或b＝2，选项B错误；C选项，①c为最大边，32>22＋b2，且3<2＋b，此时1<b<，②b为最大边，b2>22＋32，且b<2＋3，此时<b<5，选项C错误；D选项，b2<22＋32，且32<22＋b2，所以<b<，选项D正确．故选AD. 答案：AD 学科网（北京）股份有限公司 $