2.2 用配方法求解一元二次方程（3题型+针对训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 2.2 配方法求解一元二次方程 命题1：直接开平方法求解一元二次方程……………………………1 命题2：配方法求解一元二次方程……………………………………1 命题3：配方法的应用…………………………………………………3 针对训练…………………………………………………………………5 命题1：直接开平方法求解一元二次方程 1．用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 2．方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根为 ． 4．一元二次方程的解是 ． 5．解方程：． 6． 解方程： 命题2：配方法求解一元二次方程 7．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 8．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A． B． C． D． 9．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 10．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 11．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 12．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 13．用配方法解方程：． 14． 解方程：（配方法） 15．阅读图中老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程，并完成任务． 解方程： 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 或……第四步 ……第五步 (1)将方程变形，得，则 ， ． (2)仿照图中的板书过程，解方程： 命题3：配方法的应用 16．已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 17．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 18．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 20．多项式的最小值是 ． 21．二次三项式的最小值等于 ． 22．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 23．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 24．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 针对训练： 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，配方正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．将一元二次方程的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（   ） A．2 B．1 C． D． 4．关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（   ） A．时，方程无实数根 B．时，方程有两个相等的实数根 C．时，方程有两个不相等实数根 D．时，方程有一个实数根 5．方程的实数解是 ． 6．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ． 7．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 8．当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ． 9．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当 时，代数式有最小值，最小值为 ． 10．解方程：． 11． 解方程： 12．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 用直接开平方法解下列方程： 13．． 14．． 15．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 16．阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： (1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． (2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 17．如果方程中只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：， 解：①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数2，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 这种解法叫做配方法，它是将一元二次方程先转化为二次项系数为1的方程，通过配方，将方程左边配成完全平方形式，右边为非负数的形式． 请用上述方法解下列方程： (1)． (2)． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 2.2 配方法求解一元二次方程 命题1：直接开平方法求解一元二次方程……………………………1 命题2：配方法求解一元二次方程……………………………………1 命题3：配方法的应用…………………………………………………3 针对训练…………………………………………………………………5 命题1：直接开平方法求解一元二次方程 1．用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 2．方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根为 ． 4．一元二次方程的解是 ． 5．解方程：． 6． 解方程： 命题2：配方法求解一元二次方程 7．用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 8．下列方程最适合用配方法求解的是（　　） A． B． C． D． 9．如下是小明在解方程时的过程．他在解答过程中开始出错的步骤是（    ） ① ② ③ ④ A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 10．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 11．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 12．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 13．用配方法解方程：． 14． 解方程：（配方法） 15．阅读图中老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程，并完成任务． 解方程： 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 或……第四步 ……第五步 (1)将方程变形，得，则 ， ． (2)仿照图中的板书过程，解方程： 命题3：配方法的应用 16．已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 17．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 18．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 20．多项式的最小值是 ． 21．二次三项式的最小值等于 ． 22．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 23．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 24．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ．因此．代数式有最小值； ②． ． 因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为____________；代数式的最大值为____________． (2)求代数式的最小值． 针对训练： 1．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程，配方正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．将一元二次方程的左边配方成完全平方式之后，右边的常数应该是（   ） A．2 B．1 C． D． 4．关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（   ） A．时，方程无实数根 B．时，方程有两个相等的实数根 C．时，方程有两个不相等实数根 D．时，方程有一个实数根 5．方程的实数解是 ． 6．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为 ． 7．把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 8．当 时，多项式有最大值？求出这个最大值是 ． 9．例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当 时，代数式有最小值，最小值为 ． 10．解方程：． 11． 解方程： 12．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 用直接开平方法解下列方程： 13．． 14．． 15．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 16．阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： (1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． (2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 17．如果方程中只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程．下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：， 解：①将常数项移到方程右边，得： ②方程左右两边同除以二次项系数2，得： ③方程两边同加上一次项系数一半的平方，得： ④方程左边配成完全平方形式，得： ⑤方程左右两边同时开平方，得： ⑥写出方程的解，得：，． 这种解法叫做配方法，它是将一元二次方程先转化为二次项系数为1的方程，通过配方，将方程左边配成完全平方形式，右边为非负数的形式． 请用上述方法解下列方程： (1)． (2)． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $