6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

【课标要求】　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．

　

 

【导学】

学习目标一　平面向量数量积的坐标表示

　师问：若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？

生答：

 

 

 

 

 

 

例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋b)·(a－2b)＝(　　)

A．－6    B．－1

C．2    D．－2

(2)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，＝4，则＝__________．

总结：(1)牢记向量数量积的坐标运算和有关的运算法则及运算性质．

(2)解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系．

 

跟踪训练1　(1)已知点P(2，0)，Q(1，1)，向量＝(λ，2)，若＝0，则实数λ＝(　　)

A．  B．

C．2    D．1

(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则＝________．

学习目标二　平面向量的模

　师问：若向量a＝(x，y)，怎样用a的坐标表示|a|？若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，又如何用坐标表示|a|?

生答：

 

例2 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)，B(1，m)(m>0)，＝5

(1)求m的值；

(2)C，M是坐标平面上的点，＝(－1，－1)，＝x＋(2－x)(0<x<3)，求的最小值．

 

总结：求模问题一般转化为求模的平方，即求＝2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．

跟踪训练2　(1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(4，0)，|b|＝2，则|a＋2b|＝(　　)

A． B．

C．D．

(2)已知平面向量a＝(2，2)，b＝(1，m)，且|2a－b|＝|a＋b|，则m＝________．

 

 

 

学习目标三　平面向量的夹角与垂直

　师问：(1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则如何用a，b的坐标表示cos θ？

(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)相互垂直，则它们的坐标满足怎样的等量关系？反过来也成立吗？

生答：

 

 

例3 (1)已知向量a＝(2，1)，点A(2，－1)，若向量⊥a，且，求点B的坐标．

(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(4，－3)，若a－2b与λa＋b的夹角为钝角，求λ的取值范围．

总结：(1)利用cos θ＝直接求出cos θ，应注意角θ的取值范围是0 °≤θ≤180 °，并需要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180 °；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0 °.

(2)涉及向量，垂直问题时，一般借助⊥⇔·＝x1x2＋y1y2＝0来解决．

跟踪训练3　已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)．

(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；

(2)若2a－b与ka＋b垂直，求k的值．

【导练】

1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　)

 

A．3　　　B．－3　　　C．　　D．

2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，若a⊥b，则m＝(　　)

A．－1    B．1    C．   D．

3．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝(　　)

A． B．  C．D．

4．若向量a＝(1，2)与b＝的夹角为锐角，则t的取值范围为________．

【导思】

(多选)已知向量a＝，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是(　　)

A．若a⊥b，则cos θ＝

B．若b在a上的投影向量的模为，则向量a与b的夹角为

C．存在θ，使得|a＋b|＝|a|－|b|

D．a·b的最大值为