24.1.3 弧 弦 圆心角 课件-2025-2026学年人教版九年级数学上册

熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 情境引入 24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 2 学习目标 1.结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角；(重点) 2.能发现圆心角、弦、弧之间的关系;(重点) 3.会运用圆心角、弦、弧之间的关系解决问题．(难点) · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A ∠AOB为圆心角 概念： 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB。 ⌒ 4 www.czsx.com.cn 1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 ① ② ③ ④ 5 www.czsx.com.cn （二）弧、弦、圆心角之间的关系 解：根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB = ∠A′OB′； 射线 OA 与 OA′ 重合，OB 与OB′ 重合； 而同圆的半径相等，OA = OA′，OB = OB′，从而点A 与点 A′ 重合，点 B 与点 B′ 重合． O B' A B A' C D 问题 1：如图，在 ⊙ O 中，当圆心角 ∠AOB = ∠A´OB´时，它们所对的 与 ，弦 AB 与弦 A´B´ 相等吗？弦心距 OC = OD 吗？为什么？ AB ( A'B' ( O B' A B A' C D 定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等； 结论 ： 如图，在 ⊙ O 中，当圆心角 ∠AOB = ∠A´OB´时， = ；弦 AB = 弦 A´B´ ；弦心距 OC = OD ； AB ( A'B' ( O A B 如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ O ′ C D 在等圆中探究 · · 如果∠AOB=∠COD，那么， ，AB=CD. 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 问题探究 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． 在⊙O中，∵∠AOB=∠COD ∴ AB=CD，AB=CD ⌒ ⌒ A B O D C 圆心角、弧、弦之间的关系定理： 归纳总结 如图所示，几何语言表示为： 四、课堂练习 1.如图：AB、CD是⊙O的两条弦。 （1） 如果AB＝CD，那么＿＿＿，＿＿＿。 （2） 如果AB =CD ，那么＿＿＿，＿＿＿。 （3） 如果∠AOB＝∠COD, 那么＿＿＿，＿＿＿。 （4） 如果AB＝CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F, OE与OF相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ AB =CD ∠AOB＝∠COD AB =CD ∠AOB＝∠COD AB =CD AB =CD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ OE=OF 弦心距也相等 四、课堂练习 2.如图： AB是⊙O的直径，BC =CD =DE , ∠COD＝35°,求∠AOE的度数。 ⌒ ⌒ ⌒ ∴∠COB=∠COD=∠DOE=35° ∴∠AOE=180°-∠COB-∠COD-∠DOE 解： ∵ BC=CD=DE ︵ ︵ ︵ =180°-35°×3 = 75° 　　结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 思考 弧、弦、圆心角之间的关系定理 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 　　符号语言： ∠AOB＝∠A′OB′ 　　 ＝ 　　AB＝A′B′ B A B′ A′ O 13 新知探究 圆心角与对应量之间的关系探究 同样的，我们还可以得到： 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等，弦心距相等． 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦心距相等． 4.在同圆或等圆中，如果弦心距相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等． 思考：结论中的“在同圆或等圆中”可以去掉吗？ 延伸 等对等定理整体理解： 1圆心角 2 弧 3弦 4弦心距 知一的三 知识小结 圆心角定理延伸--知一得三 感悟新知 知3－讲 知识点 弧、弦、圆心角之间关系定理的推论 3 1. 推论  (1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 . (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等 . 感悟新知 知3－讲 2. 弦和弦心距(圆心到弦的距离)之间的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等 . 注意： 涉及弦心距的问题，应用时要加上垂直的条件 . 4. 如图，AB，CD 是⊙O 的两条弦． （1）如果 AB = CD，那么_________，_______________； （2）如果 ， 那么_________，__________________； （3）如果∠AOB =∠COD， 那么_________，________. · C A B D O AB = CD AB = CD AB = CD ( ( ∠AOB =∠COD ∠AOB =∠COD AB = CD ( ( AB = CD ( ( 随 堂 练 习 （4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那么 OE 与 OF 相等吗？为什么？ · C A B D O 解：OE = OF. 理由如下： ∵ OE⊥AB，OF⊥CD， ∵ AB = CD， ∴ AE = CF. ∵ OA = OC， ∴ Rt△AOE≌Rt△COF . ∴ OE = OF. ∴ 随 堂 练 习 1.如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°， 求∠AOE 的度数． BC = CD = DE · A O B C D E 练习巩固 2.下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　) D 巩固练习 3.如图，AB为⊙O 的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆 心角等于( 　) A．40° B．80° C．100° D．120° ⌒ C 例2　已知：如图所示，在　O中， AD=BC． 求证：AB=CD． 证法二：连接OA，OD，OB，OC． ∴AB=CD． ∵AD=BC， ∴∠AOD=∠BOC． ∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+ ∠BOD, ∴∠AOB=∠DOC． 22 证明：连接AC． ∴∠AOC=∠BOD． ∴AC=BD， 又BE=BD， ∴AC=BE． ∴ ． ∵AB，CD是　O的两条直径， 例3　如图，AB、CD是　O的两条直径，BE=BD， 求证：　　　． 23 Lavf58.12.100 $