3.2.1单调性与最大（小）值讲义（3知识点+12题型）-2025-2026学年高一上学期数学同步讲与练人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 知识点2 利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 知识点3 函数的最大值和最小值 函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 思路方法总结 1.函数单调性的判断 (1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 2.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 3.图象法求函数最值的一般步骤 4.利用单调性求最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 典例·举一反三 题型一 单调性的理解 1．已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（    ） A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 3．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上（    ） A．增函数 B．减函数 C．不增不减函数 D．既增又减函数 4．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　) A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性 5．已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 题型二 定义法证明单调性 6．证明：函数，是严格增函数． 7．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 8．判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 9．已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 题型三 求函数的单调区间 10．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 11．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 12．函数的单调递减区间为 . 13．函数的单调减区间是 ． 14．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 题型四 已知单调性求参数 15．已知函数，若对于区间上的任意实数，当时恒有成立，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 19．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 题型五 已知分段函数单调性求参数 20．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知在上是减函数，则的取值范围是 . 23．若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 24．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 题型六 利用单调性比较大小 25．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 26．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 27．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 28．设则（   ） A． B． C． D． 29．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型七 利用单调性解不等式 30．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 32．已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 33．已知函数，，求实数m的取值范围． 34．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 题型八 利用单调性求值域（最值） 35．函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 36．函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 37．已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 38．已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 39．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 题型九 已知最值求参数 40．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 41．函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．函数在上的最大值为，则 . 43．已知函数在区间上的值域为，则 ． 44．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 题型十 函数恒成立问题 45．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 46．已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 47．已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 48．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 49．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围 题型十一 函数能成立问题 50．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．已知函数，则下列结论： ①恒成立，则实数的取值范围是 ②，则实数的取值范围是 ③有解，则实数的取值范围是 其中，所有正确结论的编号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 52．已知函数. (1)求关于的一元二次不等式的解集； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 53．已知函数，. (1)当时，解不等式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 54．已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 题型十二 函数恒成立与能成立问题 55．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 58．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 59．已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 单调性与最大（小）值 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的单调性 1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 知识点2 利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 知识点3 函数的最大值和最小值 函数的最值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 同样的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数m满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值. (3)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 思路方法总结 1.函数单调性的判断 (1)图象法是我们判断函数单调性的一种常用方法.求函数的单调区间时，若所给函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的图象容易作出，则可根据图象直接写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 2.利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，变形为能判断符号的表达式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 3.图象法求函数最值的一般步骤 4.利用单调性求最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 典例·举一反三 题型一 单调性的理解 1．已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（    ） A．若满足，则在区间内单调递增 B．若满足，则在区间内单调递减 C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增 【答案】C 【分析】根据单调性的定义和性质逐项分析判断即可. 【详解】对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性， 所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误； 对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确， 对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性. 例如在和上递增，但，故D错误． 故选：C. 2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（    ） A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 【答案】A 【分析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断. 【详解】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数. 故选：A. 3．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上（    ） A．增函数 B．减函数 C．不增不减函数 D．既增又减函数 【答案】B 【解析】根据题意，等价转化(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，根据函数单调性定义即可容易判断函数单调性. 【详解】∵(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔或 即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)或当x1>x2时，f(x1)<f(x2). 不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上为减函数. 故选：. 【点睛】本题考查函数单调性的判断和理解，属简单题. 4．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　) A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性 【答案】D 【详解】试题分析：函数在内递增，在递增，在上递增，函数在递增，在上递增，在上不是递增函数 考点：函数单调性 5．已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（    ） A．函数在上一定是增函数； B．函数在上一定不是增函数； C．函数在上可能是减函数； D．函数在上不可能是减函数. 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数，且成立， 则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数， 如，满足，但是在上不具有单调性， 故D正确，A、B、C错误. 故选：D 题型二 定义法证明单调性 6．证明：函数，是严格增函数． 【答案】证明见解析 【分析】定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论 【详解】任取， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴函数在上是严格增函数． 7．已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 8．判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明. 【答案】在上是增函数，证明见解析 【分析】先利用特殊值法猜想的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. 【详解】对于， 令，得， 故猜想在上是增函数，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 因此在上是增函数. 9．已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 题型三 求函数的单调区间 10．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 11．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 12．函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 13．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 14．函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 【答案】 和 和 【分析】结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 根据对勾函数的性质得函数在和上单调递减， 在和上单调递增， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 故答案为：和；和． 题型四 已知单调性求参数 15．已知函数，若对于区间上的任意实数，当时恒有成立，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得函数在上递减,再根据对称轴列不等式可求得答案. 【详解】因为对于区间上的任意实数，当时恒有成立, 所以函数在上递减, 又因为的对称轴为,开口向上, 所以,解得. 故选:B 【点睛】本题考查了由二次函数在指定区间上的单调性求参数,属于基础题. 16．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 17．已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 18．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围. 【详解】 对任意，都有， 即成立，所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 19．若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论两种情况，其中，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性， 所以，解得. 故答案为： 题型五 已知分段函数单调性求参数 20．已知函数是定义在上的减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】解：因为函数是定义在上的减函数， 所以解得，即. 故选：A. 21．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 22．已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 23．若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 24．已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 题型六 利用单调性比较大小 25．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 26．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 27．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 28．设则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【详解】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B 29．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子有理化，化简后根据函数的单调性判断即可. 【详解】由题意可知，， ，由在上单调递增可得， 故选：C. 题型七 利用单调性解不等式 30．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 31．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 32．已知函数的定义域为R，对任意的a，，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的a，，都有，，且， 所以，且． 设任意，则，则，又， 所以，若，则当时，， 则，矛盾，所以，所以，所以函数单调递减， 所以不等式等价于，所以， 故，即，解得． 所以不等式的解集是． 故答案为： 33．已知函数，，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用二次函数的顶点性质，将比较函数值转化为比较自变量到顶点的距离，进而解绝对值不等式. 【详解】的对称轴为，开口向下， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，      由， 因此有，即， 从而有， 即， 即， 即， 即， 所以或． 34．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 题型八 利用单调性求值域（最值） 35．函数在上的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由对勾函数的单调性求解. 【详解】由对勾函数的单调性知, 函数在上单调递增， 所以． 故选：B 36．函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 37．已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值． 【详解】由题意得函数的定义域满足，且， 解得，则函数的定义域为． 由得， 则在区间内的最大值为，最小值为． 易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减， 则函数在处取得最大值，即， 又， 所以函数的最小值为6，即． 所以． 故选：A 38．已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 39．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 题型九 已知最值求参数 40．若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 41．函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由具体函数的定义可得且，再分和，结合条件，当时，，从而可知A，B和C均错误，选项D，令，且，则，当时，，可求得，又时，，即可求解. 【详解】由题知且，解得且， 又，则当时，恒成立，此时，不满足函数的值域为，所以选项A，B和C均错误， 对于选项D，当时，令，且，则， 当时，， 令，易知在区间上单调递减，则当时，， 在区间上单调递减，则当时，， 所以当时，，又当时，，所以满足题意， 故选：D. 42．函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 43．已知函数在区间上的值域为，则 ． 【答案】1 【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解. 【详解】由题意得，且在上的值域为， 所以，在上单调递减，即，故． 故答案为：1 44．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，利用定义判断函数的单调性求出函数的最小值为；当时，分和两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意可得不等式，两种情况取并集即可求解. 【详解】当时，任取，则， 由于，则，，当时，， 当时，，则函数在区间内单调递减， 在区间上单调递增，则； 当时，的对称轴为， 若，则，符合题意； 若，则， 要使函数最小值为，则，解得：， 综上，的取值范围为． 故答案为： 题型十 函数恒成立问题 45．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 46．已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【详解】（1）由题设的两个根为，且，则，可得； （2）由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即的最大值为. 47．已知二次函数． (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． (2)解关于的不等式（其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）等价变形给定不等式，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. （2）分类讨论求解含参数的不等式. 【详解】（1）不等式， 当时，恒成立，而， 当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或； 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 48．已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果； （2）分离参数可得，由基本不等式求得，从而可得的范围. 【详解】（1）当时，，不等式，即， 整理得，解得，故此不等式的解集为． （2）由题意，，得，即恒成立， 又，（当且仅当取等号），即，所以，解得． 49．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 题型十一 函数能成立问题 50．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 51．已知函数，则下列结论： ①恒成立，则实数的取值范围是 ②，则实数的取值范围是 ③有解，则实数的取值范围是 其中，所有正确结论的编号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】求出、的值域，再根据恒成立问题或能成立问题逐一判断可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 对于①，若恒成立，则， 所以实数的取值范围是，故①错误； 对于②，若，则， 所以实数的取值范围是，故②正确； 对于③，若有解，则实数的取值范围是，故③正确； 故选：C. 52．已知函数. (1)求关于的一元二次不等式的解集； (2)若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）分类讨论求解含参数的一元二次不等式. （2）根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）不等式，， 当时，，原不等式无解； 当或时，，原不等式解为； 当或时，，由，解得， 不等式的解为， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为. （2）当时，， 而，当且仅当，即时取等号， 由，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 53．已知函数，. (1)当时，解不等式； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）由参变量分离法可知， ，使得，令，可得出，利用单调性求出函数上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，由可得，解得或， 故当时，不等式的解集为或. （2）解：因为，使得， 因为，则， 令，则，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数，则， 故. 54．已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 题型十二 函数恒成立与能成立问题 55．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 56．函数.若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使，有， 则在上的值域为在上的值域的子集， 在上单调递减，∴函数在上的值域为， 为开口向上的二次函数，其对称轴为， 当，即时，在上单调递增，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上单调递减，在上的值域为， ∴，解得，无解； 当，即时，在上的值域为， ∴，解得，∴. 综上，的取值范围为. 故选：A. 57．已知函数，若对任意，总存在使得，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】由题意可得，分，和三种情况讨论即可求解. 【详解】对任意，总存在使得成立，等价于. 当时，单调递减，. 当时，图象的对称轴为直线. ①当时，在上单调递增， ，，解得； ②当时，在上单调递减， ，，解得； ③当时，，， 解得或，这与相矛盾，故舍去. 综上所述，或. 故答案为：或. 58．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 59．已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $