1.4.2充要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2充要条件 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注：已知满足条件,满足条件 则是的充分条件；是的必要条件 “小范围”⇒”大范围“ 复习回顾 问题1：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断是的必要条件吗？是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 新知探究 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题， 即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 1.充要条件 新知探究 教材P22练习 (1) p是q的充要条件 (2) p不是q的充要条件 (3) p不是q的充要条件 E F B C D A 教材P22练习 E F B C D A 教材P22练习 可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件． 另外，我们再看平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形， 它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件． 探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 新知探究 （2）p：x2 =1；q：x=1； （1）p：a=b；q：ac=bc； 思考2：观察下面三组命题，观察p是q的什么条件？ ⇒ p是q的充分不必要条件． ⇒ p是q的必要不充分条件． p是q的 条件 p是q的 条件 充分 不必要 p是q的 条件 p是q的 条件 不充分 必要 （3）p：x2 =1；q：x=2； ⇒ p是q的即不充分不必要条件． p是q的 条件 p是q的 条件 不充分 不必要 新知探究 思考2：，则是的充分必要条件，类似的，你能否说明 是的充分不必要条件、必要不充分条件、既不必要也不充分条件？ p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 新知探究 例3. 判断下列各组命题中，那么p是q的什么条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0)． 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)： (1) p：x＝1，q：x－1＝； (2) p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3) p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4) p：a是自然数；q：a是正数． 解：(1)当x＝1时，x－1＝成立；当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏ q；又是正数，但不是自然数，故q⇏ p．故p是q的既不充分也不必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 1．(1)(2025·江苏无锡高一上期中)“－1<x<3”是“0<x<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　“－1<x<3”不能推出“0<x<2”，故充分性不成立； “0<x<2”能推出“－1<x<3”，故必要性成立． 综上可知，“－1<x<3”是“0<x<2”的必要不充分条件． (2)(2025·山东德州高一上阶段练习)下列不等式中，可以作为x<3的一个充分不必要条件的是(　　) A．2<x<4　　　　　　 B．3<x<4 C．x<2 D．x<4 解析：C　因为可以作为x<3的一个充分不必要条件对应的集合为{x|x<3}的真子集．集合{x|2<x<4}，{x|3<x<4}，{x|x<4}都不是{x|x<3}的真子集， 只有集合{x|x<2}是{x|x<3}的真子集，故选C. (3)(2025·陕西汉中高一上期末)“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　由x≠0且y≠0可知xy≠0一定成立，故“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的充分条件，又由xy≠0可知x，y中都不能为0，否则若x＝0，则必有xy＝0，不满足xy≠0，若“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的必要条件． 综上，即有“x≠0且y≠0”是“xy≠0”的充要条件． 从集合角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表. 题型：充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 题型：充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 能力提升 题型：充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 反思感悟 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 教材P22习题1.4 (1) 必要不充分条件 (2) 充要条件 (3) 充分不必要条件 (4) 必要不充分条件 (5) 既不充分也不必要条件 (1) 真命题 (2) 假命题 (3) 假命题 (4) 真命题 教材P22习题1.4 （1） 充分条件 （2） 必要条件 （3） 充要条件 教材P22习题1.4 教材P22习题1.4 充要条件 p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 记法 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 关系 p⇏q且q⇏p 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p，q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 AB且BA 图示 [典例]　已知p：A={x|1≤x≤a} (a≥1)，q：B={x|1≤x≤2} (1)当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ (2)当a为何值时，p是q的必要不充分条件？ (3)当a为何值时，p是q的充要条件？ (3)因为p是q的充要条件， 所以{x|1≤x≤2}＝{x|1≤x≤a}，此时a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件． 解：(1)因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|1≤x≤a}{x|1≤x≤2}，所以1≤a＜2. 所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件． (2)因为p是q的必要不充分条件， 所以{x|1≤x≤2}{x|1≤x≤a}，所以a＞2. 所以当a＞2时，p是q的必要不充分条件． 【解析】　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 【练习3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)， 若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． $