第22章 相似形（基础+中等+优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（沪科版）

第22章相似形 思维导图 类型一、比例线段与黄金分割 类型二、网格中的相似三角形 类型三、平行线分线段成比例 类型四、黄金三角形与矩形 类型五、相似中的最值 基础+中等+优质类型 类型覆盖 类型六、相似三角形的判定 类型七、相似三角形的应用 类型八、相似三角形动点求t 类型九、 相似三角形的新定义 类型十、尺规作图（含位似、无刻度） 【类型覆盖】 类型一、比例线段与黄金分割 【解惑】下列线段能成比例线段的是() A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,√2cm,2√2cm,4cm c.√2cm,√5cm,√3cm,1cm D.2cm,5cm,3cm,4cm 【答案】B 【分析】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键.依次对每组的四条线段长度按从 小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成 比例，否则不成比例. 【详解】解：A、1:2≠3：4，故四条线段不成比例，不符合题意； B、1:√2=2√2：4，故四条线段成比例，符合题意； C、1:√2≠√5：√5，故四条线段不成比例，不符合题意； D、2:3≠4：5，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B. 1 【融会贯通】 1.已知线段a=2,b=8,线段c是Q和b的比例中项，则c等于() A.2 B.4 C.±4 D.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数.根据比例中项的定义， 列出比例式即可求解， 【详解】解：：线段a=2,b=8,线段c是Q和b的比例中项， .a:c=c:b, .2:c=c:8, .c2=2×8=16, c=4(舍去负值)， 故选：B。 2.己知：线段AB=18cm,点C是AB的黄金分割点，则AC= cm 【答案】(9V5-9或27-95 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义和二次根式的运算，解题的关键是掌握黄金分割点的定义， 利用黄金分割点的定义进行求解即可， 【详解】解：：C为线段AB的黄金分割点， 则4C=18x5-1-95-9, 或AC=18-(9V5-9)=27-9V5; 故答案为：(95-9或(27-9⑤ 3.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的 长度为8cm,那么PB的长度是cm. 2 【答案】12-45） 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键.设AP=xcm,则 BP=AB-AP=8-x(cm),根据黄金分割得到AP2=BP·AB,代入即可求解. 【详解】解：设AP=xcm,则BP=AB-AP=8-xcm), :点P为AB的黄金分割点(AP>PB), ∴BP:AP=AP:AB, AP2=BP·AB,即x2=8(8-x, 解得x=4V5-4,x2=-45-4(不合题意，舍去)， :BP=8-x=8-(4V5-4=12-4V5(cm). 故答案为：(12-4V5). 类型二、网格中的相似三角形 【解惑】如图，ABC与aDEF的顶点均在正方形网格的格点上，则∠DEF的度数为() B E A.1059 B.115 C.125° D.135° 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键.先利用三 边成比例的两个三角形相似证明△ABC∽△DEF,然后利用相似三角形的性质可得∠ABC=∠DEF=I35°， 即可解答 【详解】解：由题意，得∠ABC=90°+45°=135°，AC=V1+32=√10，AB=2,BC=V2+12=√2， DF=5,DE=V2+32=√0，EF=V2+22=√5， AC10 4B210 CB 2 10 DF=5’DE=10=5’FE=55 3 AC AB BC DF DE EF :△ABC∽△DEF, .LABC=LDEF=135°. 故选：D. 【融会贯通】 1.如图，是一个正方形网格，在下面所列出的各三角形中，不与ABC相似的是() D B G A.ABFG B.BDE C.△BCD D.△FGH 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题 的关键.根据三边对应成比例的两个三角形相似，逐项进行判断即可. 【详解】解：AC=?+1P=√2，AB=1,BC=V?+22=√5， A.BF=VP+22=5,FG=V2+32=0,BG=5, :4B↓-5,4-25，BC-5 BF=5=5’FG=V10=5’B8G=5 AB AC BC BF FG BG ∴.△ABC∽△FBG,故A不符合题意； B.BD=√22+22=2V2,BE=V22+42=2N5,DE=2, AB=1.AC21 BC 5 1 DE2'BD222'BE2√52' AB AC BC DE BD BE ·△ABC∽△DEB,故B不符合题意； C.BC=VP+22=N5,BD=V22+22=2√2，CD=1, 81能是9%。9 4 AB AC BC CD*BC*BD ·ABC与△BCD不相似，故C符合题意： D.HG=2+12=√2，FG=V2+32=√10，FH=2, AB1 2 ACV2BCV5√2 HG=2=2,FH=2,FG=V10=2 AB AC BC HG FH FG △ABC∽△HGF,故D不符合题意. 故选：C 2.如图，A,B,C,D,E五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若EF⊥BD于点F ,则DF的长为 O B 【答案】 5 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质.利用勾股定理求得BD=2√5，再证得 △ADB∽△FDE,进而可得 DB DA ,进而可求解 DE DF 【详解】解：由图可知∠BAD=90°， 在RtABAD中，由勾股定理得：BD=V22+42=2V5, :EF⊥BD, :∠BAD=∠EFD=90°， 又：∠ADB=∠FDE, △ADB∽△FDE, DB DA DE DF 即25、4 3 DF 解得：DF= 5 故答案为： 6V5 3.如图，在4×4的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上.将点F,G,H,I分别与点D,E连接， 5 得到△FED,△GED,△HED和△IED,这四个三角形中与ABC相似的是 【答案】△GED 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断 即可得出结论， 【详解】解：ABC的三边长分别为：AB=VP+1P=√2，BC=1,AC=P+22=√5； △DEF的三边长分别为：DE=2,EF=V22+1P=√5，DF=V42+1P=7, BC≠AB≠AC ED FE FD ∴：ABC与△DEF不相似： △DEG的三边长分别为：DE=2,，EG=V22+22=2√2，DG=V42+22=2V5; BCABAC_1 DE EG DG 2 .△ABC∽△DEG; △DEH的三边长分别为：DE=2,EH=V22+32=√3，DH=V32+42=5, BC≠AB≠AC DE EH DH ABC与△DEH不相似； △DEI的三边长分别为：DE=2,E1=V22+42=2√5，D1=√42+42=4V2, BC AB AC DE*EI*DI :.ABC与△DEI不相似； 故答案为：△GED. 类型三、平行线分线段成比例 【解惑】如图，AD∥EF∥BC,则下列结论不一定成立的是() 6 B A.AE、BE AE EF C. AB CD AE DF DF CF D. BE BC BE CF AB CD 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解 【详解】解：：AD∥EF∥BC AE BE A. 故该选项正确，不符合题意； DF CE AE DF B. BE FC 故该选项不正确，符合题意； AB CD 故该选项正确，不符合题意； BE CF D.AE DF 故该选项正确，不符合题意； AB CD 故选：B 【融会贯通】 1.如图，已知a∥b∥c,下列比例式中成立的是（) 5 A. ADCE B. ADBC CEAD DE BC AF CE c8器 D.BE AF 【答案】c 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理.根据平行线分线段成比例定理判断即可. 【详解】解：：a∥b∥c, AD BC AD BC AF BE CE DF DF CE'AF BE'DF =CE'BE AF 观察四个选项，选项C符合题意； 7 故选：C 如图，4∥1∥L,直线ah与、b、分别相交于点A、8、C和D、E、F,老=名则DB DE 等于 D 【路)月 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.根据平行 线分段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，代入数据计算即可. 【详解】解：：（∥，∥5,8=？ BC 3 ABDE2 BC EF3 设DE=2x, :EF =3x, .DF=DE +EF=2x+3x=5x, DE 2x 2 DF 5x 5 2 故答案为： 3.如图在ABC中，点D是AB边上的一点，连结DC,过点D作DE平行于BC,交AC边于点E,过点 E作EF平行于DC,交AD于点F,已知：AD=26cm,AB=8cm,求： D B 的值. 8 24仁的值. AB 【答案】4)6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是找到图形中的平行线. <D由DEBC可有怨-份，代入数值计算即可， (2)由EF II DC可得 DAC,计算出F的值，代入数值计算即可。 AF AE 【详解】(1)解：：DE‖BC, AE AD AC AB :AD=2√6cm,AB=8cm, AE AD216 6 AC AB 8 4 故AEV6 AC 4 (2)EF DC, AF AE 6 ADAC4 卿AF6,解得4F=3cm, 26=4 AF 3 ·AB8 类型四、黄金三角形与矩形 【解惑】顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比.如图， 在ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,若CD=1,则AC的长为() B A.5-1 B.V5+1 c.V5+2 D.5+3 2 2 2 【答案】D 9 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,根据角平分线的性质得到LABD=∠DBC,证明 △CBD∽△CAB,根据相似三角形的性质列出比例式，解方程得到答案。 【详解】解：：AB=AC,∠A=36°， :∠ABC=∠ACB=72°， BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBC=36°， ∠DBC=LA,∠ABD=∠A, ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C, :AD BD =BC, :∠C=∠C, △CBD∽△CAB, BC CD 即 AD 1 AC BC 1+ADAD 整理得：AD2-AD-1=0, 解得：AD=1+5 ，AD,= 1-5 (负数不合题意)， 2 则AC=AD+CD=1+ +1=5+3 2 2 故选：D 【点晴】本题考查的是相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解一元 二次方程等知识点，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 【融会贯通】 1.宽与长的比是5-上的矩形叫做黄金矩形.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分 2 别取AD、BC的中点E、F,连接EF;以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G;作 GH⊥AD,交AD的延长线于点H.则下列矩形是黄金矩形的是() E D A B F F A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH o 第22章 相似形思维导图 【类型覆盖】 类型一、比例线段与黄金分割 【解惑】下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【融会贯通】 1．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．±4 D．8 2．已知：线段，点C是的黄金分割点，则 ． 3．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 类型二、网格中的相似三角形 【解惑】如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是一个正方形网格，在下面所列出的各三角形中，不与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若于点，则的长为 ． 3．如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 类型三、平行线分线段成比例 【解惑】如图，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，直线、与、、分别相交于点、、和、、．若，则等于 3．如图在中，点是边上的一点，连结，过点作平行于，交边于点，过点作平行于，交于点，已知：，，求： (1)的值． (2)的值． 类型四、黄金三角形与矩形 【解惑】顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点F为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（    ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 2．如图，已知是黄金三角形（顶角为的等腰三角形），，为上一点，将沿折叠，使得点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 3．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 类型五、相似中的最值 【解惑】如图，是边长为的正方形的边上的一动点，是线段上的一动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．2 【融会贯通】 1．如图，点E是正方形的边上的一个动点，，延长至点F，使，连接与相交于点G，连接的最小值为（） A． B． C． D． 2．已知正方形中，，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点E，点F是线段上靠近点B的三等分点，连接，则的最小值为 ． 3．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 类型六、相似三角形的判定 【解惑】在等腰梯形中且．在延长线上有一点，在延长线上有一点，连结和的延长线交于点．若， (1)求证：． (2)令射线、交于点，求证：． 【融会贯通】 1．如图，直线，垂足为D，，点B是射线上的一个动点，，边交射线于点C，的平分线分别与、相交于点E、F．    (1)求证：； (2)如果，，求y关于x的函数关系式； (3)连接，若，求的长． 2．在矩形中，E是上一点，F是上一点，连接，过点F作，垂足为G，求证：． 3．如图，四边形中，平分，，E为的中点． (1)求证：； (2)连接交于点F，求证：． 类型七、相似三角形的应用 【解惑】已知：如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．求正方形的边长． 【融会贯通】 1．“创新实践”小组想利用标杆与皮尺测量树的高度，因树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：立两根高1米的标杆和，两杆之间的距离米，点在一条直线上，从B处退行1.2米到点F处，恰好发现点在一条直线上，从D处退行2米到点G处，恰好发现点三点也在一条直线上，，，，请计算树的高度． 2．如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（）的高度：将一根3米高的标杆（）竖直放在某一位置，有一名同学站在处与标杆底端（）、旗杆底端（）成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学（）离标杆（）的距离为3米，离旗杆（）的距离为30米．如果站立的同学（）的眼睛距地面1.6米，，，，求旗杆的高度． 3．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 类型八、相似三角形动点求t 【解惑】如图，在中，，点 D为中点． E为边上一动点，连结，将线段绕点E顺时针旋转至， 连结． 已知． (1)求线段的长为 ，用含t的代数式表示线段的长为 ． (2)当与重叠部分是等腰直角三角形时，求t的取值范围． (3)当的中点落在边上时，求的面积． (4)连结，当为等腰三角形时，请直接写出t的值． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当P点在上运动时，t为何值时的面积为7？ (3)当与的一边平行时，求t的值． 2．如图，在中，，，．点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A，C重合时，作点P关于直线的对称点Q，连接交于点E，连接．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P与点B重合时，求线段的长． (2)用含t的代数式表示线段的长． (3)取的中点M，连接．当与的一条直角边平行时，直接写出t的值． 3．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿线段方向运动．点和点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)如图，当与矩形的对角线平行时，求的值； (3)如图，若点为的中点，求以为顶点的三角形与相似时的值． 类型九、相似三角形的新定义 【解惑】综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值； 【应用】（2）如图2，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 【融会贯通】 1．在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 【定义】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号） (2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图2中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）． (3)【拓展应用】如图3，在中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． ①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形； ②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 2．定义新知 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 初步探究 （1）如图1为的正方形网格，线段、的端点均在格点上，请在图中标出格点的位置，使得以、、、四点为顶点的四边形是邻等对补四边形；（标出一个满足条件的点，同时画出这个四边形） （2）如图2，在邻等对补四边形中，，，连接，求证：平分； 拓展应用 （3）在2025年春晚的舞台上，一群机器人的秧歌表演成为了全球焦点．据了解，这些机器人使用的主要材料为，该材料拥有较高刚性和韧性，且兼具耐热性、耐腐蚀性、耐磨性等优势，易于加工成各种形态的零件．如图3，现有一块形如三角形的某种新型材料，，，，某科研人员想用这块材料裁出一个邻等对补四边形部件，要求点在边上，点在边上，且该四边形仅有一组邻边相等，请你根据科研人员的规划要求，确定点的位置（即的长度）． 3．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“亲子线”． (1)如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以为“亲子线”的四边形，请只用无刻度的直尺，确定一点D，请你在图1中找出满足条件的点D，并画出这个四边形．保留画图痕迹（找出1个即可）； (2)①如图2，在四边形中，，，对角线平分，请问______？此时对角线是四边形的“亲子线”吗？请说明理由； ②若，求的值． (3)如图3，在（2）的条件下，若，在边上取一点E，使，过点E作交于点F，得到，连接，在绕点A旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长______． 类型十、尺规作图(含位似、无刻度) 【解惑】在平面直角坐标系中的位置如图所示（直角坐标系内正方形网格的单位长度为1）． (1)以点为位似中心，在第三象限的网格中画出，使与位似，且位似比为． (2)在网格内画出关于轴对称的图形． 【融会贯通】 1．图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边为1，点A、B、D在小正方形的顶点上． (1)在图a中画出（点C在小正方形顶点上），使是等腰三角形，且； (2)在图b中画出（E、F在小正方形顶点上），使且相似比为． 2．已知如图所示． (1)用尺规作图法在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的作图下，若，求的长度． 3．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A、B、C三点是格点，点P在上，点M为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，以为边画菱形；再在上找点Q，使； (2)在图2中，在边上画一点N，使； (3)在图3中，画线段，使． 6 学科网（北京）股份有限公司 $