22.3—22.5 相似三角形的性质 图形的位似变换 综合与实践题型过关专练-2025-2026学年沪科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

22.3—22.5 相似三角形的性质 图形的位似变换 综合与实践 一、相似三角形的性质 （1）相似三角形性质定理一： 对应高的比：相似三角形对应高的比等于相似比。例如，若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则对应高的比AD:A′D′=k。 对应中线的比：相似三角形对应中线的比也等于相似比。即若AD、A′D′分别为对应中线，则AD:A′D′=k。 对应角平分线的比：相似三角形对应角平分线的比同样等于相似比。若AD、A′D′分别为对应角平分线，则AD:A′D′=k。 （2）相似三角形性质定理二： 周长比：相似三角形的周长比等于相似比。若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则周长比C△ABC:C△A′B′C′=k。 面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。即面积比S△ABC:S△A′B′C′=k²。 二、图形的位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形上的对应点连线都经过同一点O，且对应点到位似中心O的距离之比等于相似比k，则这两个图形称为位似图形，点O称为位似中心。 （2）位似与相似的关系： 位似是相似的特殊情况。相似仅要求形状相同，而位似还要求对应点连线相交于一点。 如果两个图形是位似图形，则它们必是相似图形；但相似图形不一定是位似图形。 （3）位似图形的性质： 对应顶点连线：位似图形每组对应顶点的连线所在直线必过位似中心。 对应点距离比：位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 对应线段：位似图形的对应线段平行（或在一条直线上），且对应线段之比相等。 周长与面积比：位似图形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （4）位似图形的画法： 确定位似中心：位似中心可以在图形外部、内部、边上或顶点处。 连接并延长：分别连接位似中心和原图的关键点，并延长。 确定新点位置：根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置。 连接新点：顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形。 三、综合与实践 测量与误差 （1）利用影子测量物体高度： 测量原理：在同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长成比例。 测量方法：测量参照物和被测物体的影长，以及参照物的高度，利用相似三角形原理计算被（2）测物体的高度。 利用标杆测量物体高度： 测量原理：利用标杆与被测物体平行建立相似三角形模型。 测量方法：测量标杆长度、观测者眼睛到地面的高度，以及观测者脚距标杆和被测物体的距离，利用相似三角形原理计算被测物体的高度。 （3）利用平面镜反射原理测量物体高度： 测量原理：根据反射角等于入射角构造相似三角形。 测量方法：在观测者与被测物体之间放置平面镜，调整位置使观测者看到被测物体顶端在镜子中的像与标记重合，测量相关距离并利用相似三角形原理计算被测物体的高度。 （4）测量误差分析： 误差来源：测量工具精度、测量方法局限性、环境因素等。 改进方法：提高测量工具精度、优化测量方法、多次测量取平均值等。 巩固课内例1:相似三角形中的矩形零件问题 1．如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=2：1，则PQ的长为（　　） A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm 2．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，设，． (1) ；（用含的式子表示） (2)这个矩形的最大面积是 3．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1．使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如果把它加工成矩形零件如图2，求这个矩形的最大面积． 巩固课内例2:相似三角形中的比值问题 1．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点是的四等分点，点是的三等分点（），则 ． 3．如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 巩固课内例3:把图形位似放大 1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 2．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 巩固课内例4:把图形位似缩小 1．如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的． (2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的长度． 巩固课内例5:相似三角形的应用——旗杆问题 1．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 3．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 类型一、位似图形 1．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 2．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个． 3．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 类型二、位似中心 1．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ，△ABC与△A′B′C′的相似比为 ． 3．如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 类型三、相似三角形的应用—影子问题 1．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小莉用灯泡O照射一个菱形硬纸片，在墙上形成菱形影子，现测得，，若菱形的面积为，则影子的面积为 ． 3．如图，小明同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测的影子的长为米，继续往前走3米到达E处时，测的影子的长为米，已知小明同学的身高是米，求路灯的高度． 类型一、相似三角形的周长比 1．如图，在中，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．26 2．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为 ． 3．如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 类型二、相似三角形的面积比 1．如图，在中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的周长比为，则其面积比为 ． 3．如图，在中，点，，，分别在，，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求的长； (2)若的面积为，求的面积； (3)【拓展提升】若的面积为，求的面积． 类型三、画位似图形 1．如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，若点，点，，则点的坐标为 ．（结果用含a，b的式子表示） 3．已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是　　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是　　；（画出图形） (3)的面积是　　平方单位． 类型一、出入相补原理 1．如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若CE=4，DE=2，则正方形BFGH的面积为（   ） A．15 B．25 C．100 D．117 2．三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：，以为边的正方形为朱方，以为边的正方形为青方，引为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝ ． 3．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若记，，且，求的值． 类型二、最值问题 1．如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 ． 3．问题提出 （1）如图1，在中，作一个，使，，分别在，，上． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，为矩形内部一点，且，求周长的最小值． 问题解决 （3）如图3，在中，，，、分别为，上的动点，且，点为的中点，求周长的最小值． 类型三、动点问题 1．如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 2．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 3．如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动，连接、、，设点运动的时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的长度； (2)当为中点时，求的长度； (3)当时，求的值； (4)当为直角三角形时，直接写出的值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3—22.5 相似三角形的性质 图形的位似变换 综合与实践 一、相似三角形的性质 （1）相似三角形性质定理一： 对应高的比：相似三角形对应高的比等于相似比。例如，若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则对应高的比AD:A′D′=k。 对应中线的比：相似三角形对应中线的比也等于相似比。即若AD、A′D′分别为对应中线，则AD:A′D′=k。 对应角平分线的比：相似三角形对应角平分线的比同样等于相似比。若AD、A′D′分别为对应角平分线，则AD:A′D′=k。 （2）相似三角形性质定理二： 周长比：相似三角形的周长比等于相似比。若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，则周长比C△ABC:C△A′B′C′=k。 面积比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。即面积比S△ABC:S△A′B′C′=k²。 二、图形的位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形上的对应点连线都经过同一点O，且对应点到位似中心O的距离之比等于相似比k，则这两个图形称为位似图形，点O称为位似中心。 （2）位似与相似的关系： 位似是相似的特殊情况。相似仅要求形状相同，而位似还要求对应点连线相交于一点。 如果两个图形是位似图形，则它们必是相似图形；但相似图形不一定是位似图形。 （3）位似图形的性质： 对应顶点连线：位似图形每组对应顶点的连线所在直线必过位似中心。 对应点距离比：位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 对应线段：位似图形的对应线段平行（或在一条直线上），且对应线段之比相等。 周长与面积比：位似图形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 （4）位似图形的画法： 确定位似中心：位似中心可以在图形外部、内部、边上或顶点处。 连接并延长：分别连接位似中心和原图的关键点，并延长。 确定新点位置：根据相似比，确定所画位似图形的关键点的位置。 连接新点：顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形。 三、综合与实践 测量与误差 （1）利用影子测量物体高度： 测量原理：在同一时刻、同一地点，太阳光下物体的高度与影长成比例。 测量方法：测量参照物和被测物体的影长，以及参照物的高度，利用相似三角形原理计算被（2）测物体的高度。 利用标杆测量物体高度： 测量原理：利用标杆与被测物体平行建立相似三角形模型。 测量方法：测量标杆长度、观测者眼睛到地面的高度，以及观测者脚距标杆和被测物体的距离，利用相似三角形原理计算被测物体的高度。 （3）利用平面镜反射原理测量物体高度： 测量原理：根据反射角等于入射角构造相似三角形。 测量方法：在观测者与被测物体之间放置平面镜，调整位置使观测者看到被测物体顶端在镜子中的像与标记重合，测量相关距离并利用相似三角形原理计算被测物体的高度。 （4）测量误差分析： 误差来源：测量工具精度、测量方法局限性、环境因素等。 改进方法：提高测量工具精度、优化测量方法、多次测量取平均值等。 巩固课内例1:相似三角形中的矩形零件问题 1．如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=2：1，则PQ的长为（　　） A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm 【答案】A 【分析】设与交于点，先根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的判定可证，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，设与交于点， 四边形是矩形， ， ， 又， ，四边形是矩形， ，， 设，则，， ， 解得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 2．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，设，． (1) ；（用含的式子表示） (2)这个矩形的最大面积是 【答案】(1) (2)2400 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比，同时考查了二次函数最值的求法． （1）证，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解； （2）矩形的面积，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， ∴． ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）解：设矩形的面积为S，则， 即， 当时，S有最大值为2400 ， ∴这个矩形的最大面积是． 故答案为：2400． 3．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1．使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如果把它加工成矩形零件如图2，求这个矩形的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； （2）解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， ∴当时，矩形面积最大，最大面积是． 巩固课内例2:相似三角形中的比值问题 1．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到，，，再证明，利用相似的性质得到，证明，利用相似比得到，所以，然后计算的值． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，点是的四等分点，点是的三等分点（），则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形相似的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 求出，，过作交于，根据平行线得出相似，根据相似得出比例式，求出，，推出，即可得出答案． 【详解】解:∵点是的四等分点（），点是的三等分点（）， ∴，， 过作交于Z， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， 故答案为． 3．如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)；；；； (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 巩固课内例3:把图形位似放大 1．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 、点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意； 故选：． 2．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称图形，位似图形及它们的性质，掌握轴对称图形、位似图形及其性质是解题的关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出答案 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点， ∴与的相似比为：， ∴． 故答案为：． 巩固课内例4:把图形位似缩小 1．如图，已知线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据在平面直角坐标系中位似变换的性质解答即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 则点B与点D是对应点， 则点D的坐标为，即． 故选：A． 2．已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答． 【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为2：1， ∴点的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的． (2)以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出，并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图平移变换、位似变换，勾股定理，熟练掌握平移、位似的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据位似的性质作出缩小为原来的的对应点、、，顺次连接即可；根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求． ∴． 巩固课内例5:相似三角形的应用——旗杆问题 1．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是，则该旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等. 设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可. 【详解】解：设该旗杆的高度为， 根据题意得：， 解得：. 即该旗杆的高度是4.8m. 故选：C ． 2．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 3．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的相似的应用，灵活运用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解题的关键． 如图：分别延长、相交于点F，，易得，则；再证明，然后运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：分别延长、相交于点F，， 根据题意得： ，解得： ∵ ， ∵， ∴， ∵， ， ，即，解得：． 答：旗杆的高度为． 类型一、位似图形 1．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 2．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了平移和位似图形的定义，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行或位于同一直线上，这两个图形叫位似图形，根据定义判断即可。 【详解】解：（1）传动带上的电视机和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换； （3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换； 故答案为：3个． 3．如图所示，指出下列各组图形（①中指两个三角形，③中指两个矩形）是否是位似图形；若是，指出位似中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了位似图形，解题的关键是掌握位似图形的概念．位似图形的概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心． 根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】图①中两个三角形是位似图形，位似中心是点A； 图②中对应顶点的连线不交于一点，故题图②中的两个图形不是位似图形； 图③中两个矩形是位似图形，位似中心是点P． 类型二、位似中心 1．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 2．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ，△ABC与△A′B′C′的相似比为 ． 【答案】 (9，0) 1∶2 【分析】首先连接B`B并延长交于C`C的延长线于点D,则点D即为位似中心,则可求得位似中心的坐标;又由△ABC与△A`B`C`的相似比即是其对应边的比,则可求得答 【详解】连接B'B并延长交 于C'C的延长线于点D,则点D即为位似中心 则位似中心的坐标是:(9,0) ∵BC与B'C'是对应边,且BC=2,B`C'=4 △ABC与△A`B`C`的相似比为 BC:B`C`=2:4=1:2 故答案为:(9,0),1:2 【点睛】此题考查位似变换，做辅助线是解题关键 3．如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心； （2）解：补全如图所示： 类型三、相似三角形的应用—影子问题 1．如图，小明家客厅有一张直径为米，高米的圆桌，在距地面米的处有一盏灯，的影子为，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的实际应用． 根据题意可知，可证，对应高的比等于对应底的比，可得，结合点的坐标，即可得点的坐标． 【详解】解：根据题意可知，， ∴， 由已知可得在中，边上的高为（米） ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：C． 2．如图，小莉用灯泡O照射一个菱形硬纸片，在墙上形成菱形影子，现测得，，若菱形的面积为，则影子的面积为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的应用，由题目条件可得到对应点到对应中心的比值，那么面积比为对应点到对应中心的比值的平方，据此求解可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：50． 3．如图，小明同学晚上由路灯A下的B处走到C处时，测的影子的长为米，继续往前走3米到达E处时，测的影子的长为米，已知小明同学的身高是米，求路灯的高度． 【答案】高度为6米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际问题中的应用，解题的关键是根据“同一时刻物体高度与影长成正比”，找出图中的相似直角三角形，建立关于路灯高度的方程求解． 设路灯的高度为x米，的长度为y米；由小明身高米，结合矩形性质可知米，且、，可判定、；根据相似三角形对应边成比例，分别列出关于x、y的两个方程，联立方程组求解即可得到路灯高度x． 【详解】解：设路灯的高度为米，的长度为米． ∵小明身高为米，且，，， ∴米，，． ∵， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例），即①． ∵， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）， 又∵， ∴②． 联立①②，由①得，代入②：， 交叉相乘得：， 展开：， 移项合并：，则． 答：路灯的高度为6米． 类型一、相似三角形的周长比 1．如图，在中，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解决此题的关键．首先证明，然后结合题意，利用相似三角形的周长比等于相似比即可解决问题即可． 【详解】解：∵， ， ， ∵，且的周长为 6 ， ， ∴周长． 故选：B． 2．如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】考查相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为， ∴两个相似多边形相似比为， ∴两个相似多边形周长的比为． 故答案为：． 3．如下图，在中，交于点，交于点，且的周长与的周长差是16．求和的周长． 【答案】的周长为，的周长为． 【分析】本题围绕相似三角形的判定与性质展开，利用两边对应成比例且夹角相等判定，由相似三角形周长比等于相似比，设未知数建立方程，求解周长. 【详解】解：，，且相似比为． 设的周长为，则的周长为． 由题意，得，解得． 故的周长为，的周长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，掌握相似三角形的判定及其性质，数形结合，准确运用相似三角形的判定及其性质来分析、解答是解题的关键. 类型二、相似三角形的面积比 1．如图，在中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，要求与的面积之比，只要证明即可，然后根据面积之比等于相似比的平方即可求出答案． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ，，， ， ， ∵， ， ， ， 故选：D． 2．两个相似三角形的周长比为，则其面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积比是． 故答案为：． 3．如图，在中，点，，，分别在，，，边上，连接，．已知四边形是平行四边形，． (1)若，求的长； (2)若的面积为，求的面积； (3)【拓展提升】若的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)的面积为 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解； （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出，根据平行四边形的性质可得，，求得，根据平行线的性质得出，，根据相似三角形的判定和性质求得，通过的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故． （2）解：由（1）可得，， ∴和的相似比是， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即的面积为． （3）解：由（2）可得， ∵的面积为， 故， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即和的相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的面积． 类型三、画位似图形 1．如图，与位似，位似中心是点，且，若的周长为8，则的周长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的概念，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的概念得到，，接着证明，求得与相似比为，然后根据位似图形的周长之比等于相似比即可求解． 【详解】解：与位似，位似中心是点， ，， ， ， ， 与相似比为， 的周长为8， 则的周长为． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，若点，点，，则点的坐标为 ．（结果用含a，b的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标. 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵与的相似比为，点是位似中心，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是　　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是　　；（画出图形） (3)的面积是　　平方单位． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)10 【分析】本题主要考查了平移变换、位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键． （1）将点分别向左平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）割补法求解可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标是， 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：10； 类型一、出入相补原理 1．如图，东汉末年数学家刘徽利用青朱出入图，证明了勾股定理，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”．若CE=4，DE=2，则正方形BFGH的面积为（   ） A．15 B．25 C．100 D．117 【答案】D 【分析】先求出BC=AD=AB=CD=6，证明△DEF∽△CEB，求出DF=3，则AF=AD+DF=9，由勾股定理得到，则正方形BFGH的面积为117． 【详解】解：∵CE=4，DE=2， ∴CD=DE+CE=6， ∴BC=AD=AB=CD=6， ∵， ∴△DEF∽△CEB， ∴，即， ∴DF=3， ∴AF=AD+DF=9， ∴， ∴正方形BFGH的面积为117， 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形性质，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． 2．三国时期魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时提出了一个以形证数的勾股定理证明方法，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”后人根据这段文字补了一张图，如图所示，大意是：，以为边的正方形为朱方，以为边的正方形为青方，引为边的正方形切割朱方和青方，多出的部分正好可以和弦方缺亏的部分相补．若，则＝ ． 【答案】/0.4 【分析】本题考全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 相似三角形的判定，由面积比＝得到边长比，由 法判定，用法判定，得到，故． 【详解】解：∵四边形是正方形，是直角三角形， ∴，， ∴点边上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∴点边上， ∴， ∴， ∵， ∴三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 3．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值； (3)若记，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）由正方形得到，， ，即可证明，得到，再根据得到； （2）先求出，再根据得到，再证明，得到，则，代入求值即可； （3）设，，则，，由，得到，，解得，则，由（2）得，然后分别表示出，再根据，得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形，和， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得， 由（2）得，， ∴， ，， ∵， ∴， 整理得， 由图形可得， ∴， ∴． 类型二、最值问题 1．如图，在中，，，，P是上一动点，连接，以为直角边向上方作，使，，作于点H，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点D，连接，可证明得到，进一步可证明，得到，进而得到，证当时，的长度最短，求出，得到，则，即可得到． 【详解】解：作于点D，连接， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P运动时，的度数不变， ∴当时，的长度最短， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形推出点H的轨迹是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，点M，N分别在边上，且．连接，过点N作，垂足为P，连接，则的长的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，从而确定点P的轨迹是解题的关键．延长到H，使得，连接，可证明，得到，再导角证明，得到P、N、H三点共线；取的中点O，连接，则可得到当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P、N、H三点共线； 如图所示，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∵， ∴当点P在线段上时，有最小值，最小值为的值， 在中，， ∴， 故答案为：2． 3．问题提出 （1）如图1，在中，作一个，使，，分别在，，上． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，，为矩形内部一点，且，求周长的最小值． 问题解决 （3）如图3，在中，，，、分别为，上的动点，且，点为的中点，求周长的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）周长的最小值为；（3）的周长最小值 【分析】本题考查了平行四边形的判定，作图—作已知角相等的角，矩形的性质，勾股定理，轴对称性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）先作，交于点E，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点F，连接，为所求； （2）过P点作于点H，根据三角形面积的求解先求出的长，过点P作且分别与，交于M，N，即P在线段上运动的，可得当有最小值时，则的周长有最小值，作B点关于的对称点，得出当，P，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值，根据矩形的性质，结合勾股定理得出的长，从而得出结果； （3）过点C作于点D，连接并延长至点N ，使得，连接并延长交于点M，取与的中点E，F，连接，利用等腰三角形的三线合一得到的长，再利用勾股定理求出的长，通过证明，推出四边形为平行四边形，得出点O在的中位线上运动，作点B过于的对称点，得出当，O，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值，延长交于，得出四边形为矩形，利用对称性得到与重合，为点A到边的高，利用三角形面积求出的长，再利用勾股定理即可求出从而求出结果． 【详解】解：（1）先作，交于点E，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点F，连接， 则， ， 四边形是平行四边形， 如图，为所求： （2）如图，过P点作于点H， ， ， 解得： 过点P作且分别与，交于M，N，即P在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作B点关于的对称点， ，， ， 当，P，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值， 四边形是矩形， ， 在中，，， 此时的周长， 周长的最小值为； （3）解：如图，过点C作于点D，连接并延长至点N ，使得，连接并延长交于点M，取与的中点E，F，连接，   为的中位线， ， 设，则， ，， ， ， 点O为的中点， ， 又， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， 过点A作于点H，过点O作于点R， ， ， ， ，， 为定值，则为定值， 点O在的中位线上运动， 如图，作点B过于的对称点， ， ， 当，O，C三点共线时，有最小值，即的长，即的周长有最小值， 延长交于， ， ， 四边形为矩形， 与B关于对称， 与重合， 为点A到边的高， ，即， ， ， 的周长最小值 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，作图—作已知角相等的角，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最短路径，熟练掌握相关性质定理，根据对称点找到最小值为解题关键． 类型三、动点问题 1．如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（ ）． A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查动点的函数图象、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，从图象中有效的获取信息是解题的关键． 由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E，进而得到当时，点P在上运动，，即可判断B；再求出的长，勾股定理求出的长，即可判断A；如图：过点P作于点H，证明，可求，即可判断C；求出时，的长，即可判断D选项． 【详解】解：由函数图象得，当时，点Q到达点C，点P到达点E， 当时，点P在上运动，， 当时，点P到达点D，故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴，解得：， ∴，故选项A正确，不符合题意； 当时，点P在线段上，则， 如图：过点P作于点H，则：， ∴， ∴， ，即，解得：， ，故选项C错误，不符合题意； ， ∴当时，点P在线段上，此时，， ，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 3．如图，正方形的边长为4，点为边上的一点，，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动，连接、、，设点运动的时间为秒（）． (1)用含的代数式表示的长度； (2)当为中点时，求的长度； (3)当时，求的值； (4)当为直角三角形时，直接写出的值； 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) (4)或 【分析】（1）首先表示出，然后求出当点P和点C重合时，，然后分两种情况求解即可； （2）根据题意求出，，然后利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，在延长线上取点F，使，证明出，得到，，证明出，得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，然后分别利用相似三角形和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿射线运动， ∴， ∴当点P和点C重合时， ∴， ∴当时，；当时，； （2）解：当为中点时， ∵，， ∴ ∵ ∴； （3）解：如图所示，在延长线上取点F，使， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图所示，当时， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴； 如图所示，当时， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当为直角三角形时，或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $