22.1—22.2 比例线段 相似三角形的判定题型过关专练-2025-2026学年沪科版九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

22.1—22.2 比例线段 相似三角形的判定 一、比例线段 （1）定义：在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a:b=c:d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 （2）性质： 基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc（b、d≠0）；反之亦然。 合比性质：若a:b=c:d，则(a±b):b=(c±d):d（b、d≠0）。 等比性质：若a:b=c:d=...=m:n（b+d+...+n≠0），则:=a:b。 比例中项：如果作为比例内项的是两条相等的线段，即a:b=b:c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项，此时b²=ac。 第四比例项：在比例a:b=c:d中，d叫做a、b、c的第四比例项。 （3）黄金分割： 定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AB:AC=AC:BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点。 黄金数：AC与AB的比值叫做黄金数，约为0.618。 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点。 二、相似三角形的判定 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，△ABC∽△A'B'C'表示△ABC与△A'B'C'相似。 （2）判定定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 （3）性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 传递性：若△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'∽△A''B''C''，则△ABC∽△A''B''C''。 相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比，一般用k表示。相似比为1的两个三角形是全等三角形。 三、平行线分线段成比例定理 （1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。 四、相似三角形的基本模型 A字型：包括正A字型和反A字型，条件分别为DE∥BC或AD:AB=AE:AC，以及∠1=∠B或AD:AC=AE:AB。 8字型：包括正8字型和反8字型，条件分别为AB∥DE（∠A=∠E）或AC:CE=BC:CD，以及∠A=∠D（∠B=∠E）或AC:CD=BC:CE。 M字型（一线三等角型）：条件为∠A=∠C=∠EBD。 射影型（子母型）：条件为∠BAC=90°，AD⊥BC，此时Rt△ADB∽Rt△CDA∽Rt△CAB，且AC²=CD▪BC，CD²=BD▪BC，AD²=BD▪DC。 巩固课内例1:比例的性质 1．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知，那么 ． 3．已知． (1)求的值； (2)若，求a、b的值． 巩固课内例2:比例尺 1．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 2．在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是 ． 3．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 巩固课内例3:黄金分割 1．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 2．点在线段上，若，那么的值为 ． 3．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设是已知线段，以为边作正方形；取的中点E，连接；延长至点F，使；以线段为边作正方形，点H就是的黄金分割点． 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ 巩固课内例4:相似三角形的判定条件 1．如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 2．如图，已知，请添加一个条件使与相似： （不添加字母及辅助线）． 3．如下图，．当AB的长为多少时，与相似？ 巩固课内例5:网格中的相似三角形 1．如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 3．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 巩固课内例6:相似三角形的判定——两角相等 1．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 3．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 巩固课内例7:相似三角形的判定——两边成比例夹角相等 1．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 3．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 巩固课内例8:相似三角形的判定——三边成比例 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 3．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 类型一、等比性质与合比性质 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，若，则 ． 3．若，试求的值 类型二、比例线段 1．下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 2．如果为和u的比例中项，则u的值为 ． 3．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 类型三、相似图形 1．下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 3．如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 类型一、平行线分线段成比例 1．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 3．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 类型二、母子相似 1．如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是斜边上的高，若，，则的长 ． 3．如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形； (2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 类型三、相似多边形的性质 1．两个相似多边形的相似比为，则下列结论正确的是（　　） A．周长之比为 B．对应角之比为 C．面积之比为 D．以上结论都不对 2．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 ． 3．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 类型一、黄金三角形 1．顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 3．（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 类型二、黄金矩形 1．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 2．如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 3． 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 类型三、相似三角形判定的综合应用 1．如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有（   ）条． A． B． C． D． 2．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 3．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1—22.2 比例线段 相似三角形的判定 一、比例线段 （1）定义：在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即a:b=c:d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 （2）性质： 基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc（b、d≠0）；反之亦然。 合比性质：若a:b=c:d，则(a±b):b=(c±d):d（b、d≠0）。 等比性质：若a:b=c:d=...=m:n（b+d+...+n≠0），则:=a:b。 比例中项：如果作为比例内项的是两条相等的线段，即a:b=b:c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项，此时b²=ac。 第四比例项：在比例a:b=c:d中，d叫做a、b、c的第四比例项。 （3）黄金分割： 定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AB:AC=AC:BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点。 黄金数：AC与AB的比值叫做黄金数，约为0.618。 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点。 二、相似三角形的判定 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。例如，△ABC∽△A'B'C'表示△ABC与△A'B'C'相似。 （2）判定定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。 （3）性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 传递性：若△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'∽△A''B''C''，则△ABC∽△A''B''C''。 相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比，一般用k表示。相似比为1的两个三角形是全等三角形。 三、平行线分线段成比例定理 （1）定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。 四、相似三角形的基本模型 A字型：包括正A字型和反A字型，条件分别为DE∥BC或AD:AB=AE:AC，以及∠1=∠B或AD:AC=AE:AB。 8字型：包括正8字型和反8字型，条件分别为AB∥DE（∠A=∠E）或AC:CE=BC:CD，以及∠A=∠D（∠B=∠E）或AC:CD=BC:CE。 M字型（一线三等角型）：条件为∠A=∠C=∠EBD。 射影型（子母型）：条件为∠BAC=90°，AD⊥BC，此时Rt△ADB∽Rt△CDA∽Rt△CAB，且AC²=CD▪BC，CD²=BD▪BC，AD²=BD▪DC。 巩固课内例1:比例的性质 1．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 2．已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的求值，比例的性质，将已知转化为，再代入，然后约分即可．掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知． (1)求的值； (2)若，求a、b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案； （2）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 本题考查比例，在用比例的基本性质进行相关计算时，常用值法，根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示相应的字母，再代入求值． 【详解】（1）， 设，， ； （2）， 设，， ， ，解得， ，． 巩固课内例2:比例尺 1．在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米． 故选：D． 2．在比例尺为的地图上，图上相距的A、B两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例尺的相关计算，较为简单．比例尺就是图上距离与实地距离之比，变形计算即可． 【详解】解：图上相距的A、B两地的实际距离是： ， 故答案为： 3．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 巩固课内例3:黄金分割 1．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 2．点在线段上，若，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 3．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设是已知线段，以为边作正方形；取的中点E，连接；延长至点F，使；以线段为边作正方形，点H就是的黄金分割点． 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念、正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握黄金比是 是解题的关键． 设，根据题意和勾股定理求出的长，求出，再根据黄金比的定义求解即可． 【详解】解：设， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴， ∴点H就是的黄金分割点， ∴任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点． 巩固课内例4:相似三角形的判定条件 1．如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解决问题的关键． 分别根据当时，，当时，，求出的长即可． 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 2．如图，已知，请添加一个条件使与相似： （不添加字母及辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 根据三角形相似的判定定理去添加条件（答案不唯一）． 【详解】解：添加, ∴ 故答案为：（答案不唯一） ． 3．如下图，．当AB的长为多少时，与相似？ 【答案】3或 【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，列出比例式求解即可. 【详解】解：在中，， ． ， 分以下两种情况讨论： ①当时，， ； ②当时，， ． 综上所述，当AB的长为3或时，与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题时注意： ①如果两个三角形的三条对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似. ④平行于三角形一边的直线截另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似. 巩固课内例5:网格中的相似三角形 1．如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 2．如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲、丙、丁四点中的 ． 【答案】丙 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 令每个小正方形的边长为1，分别求出的边长，从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点R对应的位置． 【详解】解：令每个小正方形的边长为1， ∴， 要使， ∴，即 ∴ ∵点P到甲的距离为，点P到乙的距离为，点P到丙的距离为，点P到丁的距离为， ∴点R应是甲、丙、丁四点中的丙． 故答案为：丙． 3．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 巩固课内例6:相似三角形的判定——两角相等 1．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 2．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 3．已知：如图，在等边中，点D为上任意一点，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 巩固课内例7:相似三角形的判定——两边成比例夹角相等 1．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 2．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt （填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 3．如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】证明：，，， ，， ， ， 巩固课内例8:相似三角形的判定——三边成比例 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出的三边长度，再分别计算各选项中三角形的三边长度，通过判断三边是否成比例来确定相似三角形．本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三边成比例的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理可得： ，，． 选项A，设三角形三边为，，（），，，． ， 图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，该选项错误． 选项B，设三角形三边为，，（），，，． ， 图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，该选项正确． 选项C，设三角形三边为，，（），，，． ， 图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，该选项错误． 选项D，设三角形三边为，，（），，，． ， 图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，该选项错误． 故选：B． 2．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为 时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 3．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 类型一、等比性质与合比性质 1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 2．已知，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为： ． 3．若，试求的值 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质，根据题意分和两种情况分类讨论即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴； 当时， ． 故答案为：或 类型二、比例线段 1．下列各组数中，不成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，熟练掌握概念是解答本题的关键．对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以成比例，故不符合题意； B、，所以不成比例，故符合题意； C、，所以成比例，故不符合题意； D、，所以成比例，故不符合题意． 故选：B． 2．如果为和u的比例中项，则u的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查比例中项的概念，根据比例中项的概念写出比例，再根据比例的性质即可求出u的值． 【详解】∵为和u的比例中项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：27． 3．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 类型三、相似图形 1．下列图中，大小图形非相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似形的定义：形状相同的图形称为相似形．根据相似图形的定义可知． 【详解】解：A、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； B、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； C、选项中的两个大小图形形状相同，是相似图形，故此选项不符合题意； D、选项中的两个大小图形形状不同，不是相似图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列各组多边形中，一定相似的是 （填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 3．如图，四边形四边形，求的大小和的长度． 【答案】，， 【分析】本题考查相似多边形的性质，多边形内角和问题．观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出，，再根据四边形的内角和等于可计算求出的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出的长度x． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，∠A=∠E=118°， 在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得， ∴． 类型一、平行线分线段成比例 1．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 2．如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 3．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 类型二、母子相似 1．如图，在中，，和分别为的高和角平分线，和相交于点，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．设，，由勾股定理得出，判定，推出，由和分别为的高和角平分线推出，判定，推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和分别为的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，是斜边上的高，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的判定定理得到，则，再证明，可得，求出，再求出即可． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，在中，，是高． (1)用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，求证：四边形是菱形； (2)若，则（1）中的菱形的高为__________． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）按照要求作图，再证明四边形是平行四边形，由即可证明结论； （2）证明，利用相似的性质求出，勾股定理求出，,则菱形的边长为，求出，根据菱形面积的两种求法列方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∵是高． ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵，是高． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴, 即菱形的边长为， ∵四边形是菱形 ∴， 设菱形的高为h， 则， 即， 解得， 即菱形的高为． 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称的性质和基本作图、勾股定理、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质是关键． 类型三、相似多边形的性质 1．两个相似多边形的相似比为，则下列结论正确的是（　　） A．周长之比为 B．对应角之比为 C．面积之比为 D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应角相等逐项判断即可． 【详解】解：A、如果两个相似多边形的相似比为，那么它们的周长之比为，故该选项错误，不符合题意； B、如果两个相似多边形的相似比为，那么它们对应角之比为，故该选项错误，不符合题意； C、如果两个相似多边形的相似比为，那么它们的面积之比为，故该选项正确，符合题意； D、C选项正确，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比为． 故答案为：． 3．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似形的性质、矩形的性质、折叠的性质等知识点，掌握根据相似图形面积比是相似比的平方是解题的关键． 根据矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值即可． 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 类型一、黄金三角形 1．顶角为的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为，如图，在中，，，平分交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质，先证明和都是顶角为的等腰三角形，再根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 和都是顶角为的等腰三角形． 顶角为的等腰三角形为“黄金三角形”， 它的底与腰的比值为， ， 即 ， ∴． 故选：D． 2．顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 3．（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 类型二、黄金矩形 1．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 2．如果一个矩形中，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形中，，分别为边上的点，若为黄金矩形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割定理，矩形的性质，由四边形为黄金矩形，则，求出，，则，然后由矩形的性质和线段和差即可求解，掌握黄金分割定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为黄金矩形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵四边形和为矩形， ∴，， ∴，即， 故答案为：． 3． 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形，任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2：设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形， ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入， ． 即点落在的函数图象上． 当时，． 点也落在的函数图象上． 点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，， ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 类型三、相似三角形判定的综合应用 1．如图，是的斜边上异于、的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，则过点满足这样条件的直线最多有（   ）条． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，由此作图即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由于是直角三角形，过点作直线截，则截得的三角形与有一个公共角，故只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似， 如图，过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共条直线， 故选：C． 2．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 3．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论； （2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $