25.3 用频率估计概率 （课件）　2025-2026学年人教版九年级数学上册

25.3 用频率估计概率 R·九年级上册 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 1.理解随机事件发生的频率会趋于稳定这一规律. 2.结合具体情景掌握如何用频率估计概率. 3.通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系. 学习目标 知识回顾 1.频数：在实验中，每个对象出现的次数称为频数. 2.频率：所考察对象出现的次数与实验的总次数的比叫做频率. 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 知识回顾 3.我们学习了那些求概率的方法？ ①直接列举法： ②列表法： ③画树状图法： 适用于一次试验可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性相等. 适用于只有两个试验因素或分两步进行的试验. 适用于一次试验涉及三个或更多因素（或步骤）. 4.随机事件概率的计算公式是什么？ P(A)= 新课导入 抛掷一枚质地均匀的硬币时“正面向上”和“反面向上”发生的可能性相等吗？ 相等 这两个随机事件发生的概率是多少？ 0.5 这是否意味着抛掷硬币100次时，就会有50次“正面朝上”和50次“反面朝上”呢？不妨用试验进行检验. 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 推进新课 试验：把全班同学分为10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，记录在下表中. 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上”的次数m “正面向上” 的频率 23 46 78 0.46 102 123 152 175 201 224 251 0.46 0.52 0.51 0.49 0.51 0.5 0.5 0.5 0.5 6 根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点. 0.5 1 400 O 100 200 抛掷次数n 300 “正面向上”的频率 500 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 请同学们根据试验所得的数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ 随着抛掷硬币次数的增加，硬币“正面朝上”的频率会在0.5左右摆动，并且摆动幅度越来越小. 历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下： 试验者 抛掷次数n “正面向上” 次数m “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 可以发现，在重复抛掷一枚硬币时，“正面向上”的频率在0.5附近摆动.一般地，随着抛掷次数的增加，频率呈现出一定的稳定性：在0.5附近摆动的幅度会越来越小．这时，我们称“正面向上”的频率稳定于0.5.它与前面用列举法得出的“正面向上”的概率是同一个数值. 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 当试验次数足够大时，一个随机事件出现的频率与它的概率有什么关系？ 归纳 在大量重复试验中，事件A发生的频率会稳定在某个常数附近.只要试验的次数足够大，我们就可以用事件A发生的频率去估计概率. 问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？ 分析：幼树移植成活率是实际问题中的一种概率.这个问题中幼树移植“成活”与“不成活”两种结果可能性是否相等未知，所以成活率要由频率去估计. 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 　　下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺. 移植总数n 成活数m 成活的频率 10 8 0.800 50 47 270 235 0.870 400 369 750 662 1500 1335 0.890 9000 8073 14000 12628 0.902 0.940 0.923 0.883 0.897 随着移植数的增加，幼树移植成活的频率有什么趋势？ 是否能够据此估计出幼树移植成活的概率？ 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率，随着移植数 n越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以 把频率作为成活率的估计值.所以可以估计幼树移植成活的概率为 . 0.9 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 问题2 某水果公司以 2 元/ kg 的成本价新进 10 000 kg柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 分析：首先要确认损坏的柑橘有多少，可以通过统计“柑橘损坏率”进行确认. 柑橘在运输、储存 中会有损坏，公司必 须估算出可能损坏的 柑橘总数，以便将损 坏的柑橘的成本折算 到没有损坏的柑橘售 价中. 假设 柑橘没有损坏，要获得 5 000 元利润应如 何定价？ 成本：2元/kg 总量：10 000kg 利润：5000元 定价：？ 解：设每千克柑橘售价为 x 元，则 　10 000x -2×10 000＝5 000． 　　解得　 x ≈ 2.5（元）． 　　因此，出售柑橘时，每千克大约定价 2.5 元可获利润 5 000元． 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 　　柑橘损坏后，可出售柑橘的重量减少了，为了确保获得5000元利润，定价应如何变化？ 　　如何知道柑橘的重量将减少多少？ 成本：2元/kg 总量：10 000kg 利润：5000元 定价：？ 　　从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．请你帮忙完成下表． 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 柑橘总质量 n /kg 损坏柑橘质量 m /kg 柑橘损坏的频率 （结果保留小数点后三位） 50 5.50 0.110 100 10.50 0.105 150 15.15 200 19.42 250 24.25 300 30.93 350 35.32 400 39.24 450 44.57 500 51.54 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 柑橘损坏的概率是 .(保留一位小数) 0.1 柑橘完好的概率是 . 0.9 　　解：根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为 　　 10 000×0.9＝9 000（kg）． 完好柑橘的实际成本为 设每千克柑橘售价为 x 元，则 　　 (x -2.22)×9000＝5 000． 　　解得 x ≈ 2.8（元）． 　　因此，出售柑橘时，每千克定价大约 2.8 元可获利润 5 000元． 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 1.下列说法正确的是 ( ) A.连续抛掷骰子20次，掷出5点的次数是0，则第21次一定抛出5点 B.某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 C.天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨 D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 D 基础巩固 随堂演练 2.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结 果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果 的试验最有可能的是( ) A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的 花色是红桃 C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只 有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向 上的面点数是4 D 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 3.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是( ) A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 C 频率 4.盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为( ) A.90个 B.24个 C.70个 D.32个 B 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 5.一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球若干个，每个球除了颜色外没有任何区别，小王通过大量重复试验(每次取一个球，放回搅匀后再取)发现，取出黑球的频率稳定在0.25左右，请你估计袋中黑球的个数为 . 5 综合应用 6.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： (1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(精确到0.01)； (2)这些频率具有什么样的稳定性？ (3)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(精确到0.1) 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中九环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中九环以上”的频率 稳定在0.8附近 0.8 0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 拓展延伸 7.鸟类学家要估计某森林公园内鸟的数量，你能用学过的知识，为鸟类学家提出一种估计鸟的数量的方法吗？(在一定的时期内，森林公园可以近似地看做与外部环境是相对封闭的) 解：在一年中该森林公园内的鸟相对较多的时期，选择一天(晴天)先捕n只鸟，作上记号放回公园，让它们充分混合后，再捕捉m只鸟，其中若作记号的有a只，于是可估计公园里有 只鸟． 1. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果。 练习 【教材P144练习 第1题】 投篮次数n 投中次数n 投中频率 50 28 0.56 100 60 0.60 150 78 0.52 200 104 0.52 250 123 0.49 300 152 0.51 500 251 0.50 (1)计算投中频率(结果保留小数点后两位)； (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(结果保留小数 点后一位)？ 投中的概率约是0.5. 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 2. 用前面抛掷硬币的试验方法，全班同学分组做掷骰子的 试验，估计掷一次骰子时“点数是1”的概率. 【教材P144练习 第2题】 解:掷一次骰子时“点数是1”的概率是 . 3.某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示: 【教材P147练习】 一般地，1000 kg种子中大约有多少是不能发芽的？ 发芽概率估计为0.9，1000kg种子中大约有100kg不能发芽. 0.940 0.935 0.845 0.940 0.870 0.883 0.891 0.898 0.904 0.901 数学思维在展开图中体现为能够灵活地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过函数性质的学习，可以培养学生的记录能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对相似三角形的掌握程度，特别是放大的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在初中数学学习中，公式分解法是一个核心概念，学生需要学会诊断。 课堂小结 频率估计概率 大量重复试验 求非等可能性事件概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 一种关系 频率与概率的关系 频率稳定时可看作是概 率，但概率与频率无关 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $