第5章 直角三角形 课件 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半）与判定（两角互余），以基础题导入，通过中档题衔接，拓展题深化，构建递进式学习支架，帮助学生系统掌握知识点。 其亮点在于融合中考真题与分层训练，通过证明推理（如第7题证直角三角形）和变式探究（如第15题钝角情况），培养学生推理意识与几何直观，发展数学思维，助力学生逐步提升，教师教学更具针对性。

第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第2课时 含 角的直角三角形的性质及其应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 ▶ 知识点1 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么 它所对的直角边等于斜边的一半 第1题图 1.如图，在中， ， .若 ，则 ( ) B A.2 B.3 C.6 D.8 分层训练 构建学科思维 3 2.已知中，，最短边 ，则最 长边 的长是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，是等边三角形，，垂足为 .若 ，则___ . 8 第3题图 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，在中， ， ，为边 的 中点，，求 的长. 分层训练 构建学科思维 6 解：在中， ，为边的中点， ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点2 含 角的直角三角形的性质的应用 5.【真实问题情境】如图是某超市一层到二层扶梯的示意图.其中 ， 分别表示超市一层、二层扶梯口处地面的水平线， ，的长约为12米，则乘扶梯从点到点 上升的 高度 约为___米. 6 分层训练 构建学科思维 8 6.如图，一棵树在一次强台风中于离地面 处折断倒下，倒下 部分与地面成 夹角，这棵树在折断前的高度为____ . 12 分层训练 构建学科思维 9 7.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向 航行，在处测得灯塔在北偏西 方向上，轮船航 行2小时后到达处，在处测得灯塔在北偏西 方向上，当轮船到达灯塔的正东方向 处时，轮船 航程 的距离是____海里. 60 分层训练 构建学科思维 10 8.如图，在中， ，, ,是 边 上的动点，则 的长不可能是( ) A A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7.3 分层训练 构建学科思维 11 9.（贵州中考）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵 阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰 三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 ，腰长为 ，则底边上的高是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 第10题图 10.【考查角度：线段垂直平分线的性质以及含 角的直角三角形的性质】如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 交于点，交于点，若 ，则 的长为( ) A A.5 B.6 C.3 D.4 分层训练 构建学科思维 13 第11题图 11.如图， ，点在边 上， ，点，在边上， .若 ，则 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 12.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 ，则等腰三角形顶角 的度数为( ) C A. B. C. 或 D. 或 分层训练 构建学科思维 14 13.（教材P160例2变式）如图，为了躲避暗礁，一轮船一直由西 向东航行，早上8点，在处测得小岛的方向是北偏东 ，以 15海里/小时的速度继续向东航行，10点到达处，并测得小岛 的方向是北偏东 .若小岛周围25海里内有暗礁，该轮 船是否能一直向东航行？ 分层训练 构建学科思维 15 解：如图，过点作 ，垂足为 . 因为 ， ，且 ， 所以 . 所以 （海里）. 因为在中， ， 所以海里 海里. 所以该轮船不能一直向东航行. 分层训练 构建学科思维 16 14.如图，在中，， ， ， ，求 的长. 分层训练 构建学科思维 17 解：因为在中，， ， 所以 . 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 所以 . 因为，所以 . 在中，因为 ， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 微专题2 巧用特殊角构造含 角的直角三角形 方法1 连接两点构造含 角的直角三角形 1.如图，在中，, , 的垂直平分线 交于点，交于点，若，则 的长为____. 12 分层训练 构建学科思维 19 方法2 延长两边构造含 角的直角三角形（补形） 2.如图，在四边形中，， ， ， ， ，则 的长为___. 4 分层训练 构建学科思维 20 方法3 作垂线构造含 角的直角三角形 3.如图，在中，， ，则 的 面积为____. 16 分层训练 构建学科思维 21 $第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的实际应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点 勾股定理的实际应用 第1题图 1.如图，如果梯子的底端 到某高楼竖直墙面底端的 距离为5米，那么13米长的梯子的顶端 距地面的 高度是( ) A A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，将一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面 直径是，内壁高.若这支笔长 ，则这 支笔在笔筒外面部分的长度是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 第3题图 3.将一块不能弯曲的正方形木块（不考虑厚度）搬 进室内.如图，若要通过一扇高为，宽为 的门， 则以下边长的木块中，可以通过此门的是( ) C A. B. C. D.以上答案都不对 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，一棵大树在一次强台风中在距地面 处折断，倒下后 树顶端着地点距树底端的距离为 ，则这棵大树在折断前 的高度为( ) C 第4题图 A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.如图，小巷左右两侧是竖直的墙， 当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端 到左墙脚的距离为 ，梯子顶 端到地面的距离为 .若保持梯 子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙， D A. B. C. D. 此时梯子顶端到地面的距离为 ，则小巷的宽为( ) 分层训练 构建学科思维 7 6.如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面于点 ，主梁上两根拉 索，的长度分别为13米和20米，主梁 的高度为12米，则 固定点， 之间的距离为____米. 21 分层训练 构建学科思维 8 7.根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过 . 如图，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到 路边车速检测仪处的正前方的点处，过了 后，测得小 汽车与车速检测仪之间的距离为 ，则这辆小汽车超速了 吗？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 9 解：这辆小汽车超速了.理由如下： 由题意，得为直角三角形，且 . 在中， ,， , 由勾股定理，得 . 所以小汽车的速度 . 因为 ， 所以这辆小汽车超速了. 分层训练 构建学科思维 10 8.【真实问题情境】如图1，某超市为了吸引顾客，在超市门口 离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃 ，人只要移 至该门铃及 以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”. 如图2，一个身高的学生走到 处，门铃恰好自动响起，则 的长为( ) B 图1 图2 A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 9.（教材P168例3变式）小明准备测量一段河水的深度，他把一 根竹竿竖直插到离岸边远的水底，竹竿高出水面 ，把 竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深 度为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 10.（东营中考）一艘船由港沿北偏东 方向航行至 港，然后再沿北偏西 方向航行至港，则， 两港之 间的距离为____ . 50 第11题图 11.（教材P167“思考”变式）如图，一架长 的 梯子靠在竖直的墙上，这时梯子的底端 到 墙脚的距离为.如果梯子的顶端下滑 至点，那么梯子底端将滑动____ . 0.8 分层训练 构建学科思维 13 第12题图 12.如图，是楼梯的侧面示意图，楼梯的宽为 ,, .若在楼梯上铺设防 滑材料，则所需防滑材料的面积至少为____ . 85 13.有一根长的木棒，要放在长、宽、高分别为 ， ， 的木箱中，____（填“能”或“不能”）放进去. 能 分层训练 构建学科思维 14 14.（教材P188复习题变式）如图，已知树 （垂直于地面） 上的点处（米）有两只松鼠，为抢到点处（点， 在 同一水平地面上，米）的坚果，一只松鼠沿 到达点处，另一只松鼠沿到达点 处.若两只松鼠经 过的路程相等，则树 的高度为____米. 7.5 分层训练 构建学科思维 15 15.如图，有一架秋千，当它静止在 的位置时，踏 板离地面的垂直高度为，将秋千往前推送 ， 到达 的位置，此时秋千的踏板离地面的垂直高度为 ，秋千的绳索始终保持拉直的状态. （1）____，___，___ ； 1.6 3 1 分层训练 构建学科思维 16 （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度； 解：因为，所以 . 设秋千的长度为，则 ， . 在 中，根据勾股定理，得 ，即 ， 解得 . 答：秋千的长度是 . 分层训练 构建学科思维 17 （3）如果想要踏板离地面的垂直高度为 ，那么需要将秋千 往前推送___ . 4 分层训练 构建学科思维 18 16.【分类讨论思想】如图，在中， ， ，，动点从点出发沿射线以 的 速度运动.设运动的时间为，当为等腰三角形时， 的值 为_ ________. 5或8或 分层训练 构建学科思维 19 $第5章 直角三角形 教材回归（十） 勾股定理与图形面积（针对教材 习题 ） 1 【教材母题】 （教材P173习题 ） 如图（1），分别以直角三角形的三条边，， 为边，向外作正 方形，那么 吗？如图（2），分别以直角三角形的三 条边为直径向外作半圆，是否也存在 ？如图（3）， 如果以三条边向外作等边三角形呢？ （1） （2） （3） 分层训练 构建学科思维 2 解：在图（1）中，，， . 因为，， 为直角三角形的三条边， 所以，即 . 在图（2）中， 仍成立. 因为，， ， 所以 ， 即 . 分层训练 构建学科思维 3 在图（3）中， 同样成立. 因为，， ， 所以 ， 即 . 分层训练 构建学科思维 1.如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰 直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的 面积为( ) A A.50 B. C.100 D. 分层训练 构建学科思维 5 2.【数学文化】我国汉代数学家 赵爽为了证明勾股定理，创制了 一幅“弦图”，后人称其为“赵爽 弦图”，如图1，图2是由弦图变 化得到的，它是由八个全等的直 B A.6 B.8 C.10 D.12 角三角形拼接而成.记图中正方形，正方形 ，正方形 的面积分别为，，，若，则 的 值是( ) 分层训练 构建学科思维 6 3.如图所示为一种“羊头”形图案，其 作法是：从正方形①开始，以它的 一边为斜边，向外作等腰直角三角 形，然后再以其直角边为边，分别 B A.2 B.4 C.8 D.16 向外作正方形②和， ，依此类推.若正方形①的面积为64， 则正方形⑤的面积为( ) 分层训练 构建学科思维 7 4.【数学文化】如图，在中， ，分别以各边为 直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当 ， 时，阴影部分的面积为____. 12 分层训练 构建学科思维 8 $第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质和判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 角平分线的性质 1.【题组训练】 图1 （1）如图1，在中， ， 的平分线交于点.若 ， 则点到 的距离是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 图2 （2）如图2，平分，于点， 是射线上的一个动点.若，则 的长不 可能是( ) D A.4 B.3.5 C.2 D.1.5 第2题图 2.（长沙中考）如图，在中， ， 平分交于点，，垂足为 .若 ，，则 的长为____. 2.4 分层训练 构建学科思维 4 3.（北京中考）如图，在中，平分， .若 ，，则 ___. 1 第3题图 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，在中，，平分， 于点 ，于点.求证：是 的中点. 分层训练 构建学科思维 6 证明：因为平分，， ， 所以， . 在和 中， 所以 （边角边）. 所以.所以是 的中点. 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点2 角平分线的判定 5.如图，,,当时， ______（______________），所以 ______. 斜边、直角边 第5题图 分层训练 构建学科思维 8 第6题图 6.如图，于点，于点 ， ，当___时，点在 的平分线上. 2 7.如图，,.若 , ，则 的度数为_____. 分层训练 构建学科思维 9 8.如图，于点，于点,， .求 证：平分 . 分层训练 构建学科思维 10 证明：因为， ， 所以 . 在和 中， 所以 （斜边、直角边）. 所以 . 所以平分 . 分层训练 构建学科思维 11 第9题图 9.如图，,和分别平分 和 ,过点,且与垂直.若,则点 到 的距离是( ) C A.8 B.6 C.4 D.2 第10题图 10.如图，，点到，， 的距 离都相等，则 _____. 分层训练 构建学科思维 12 第11题图 11.如图，为 的角平分线，且 ，，则 ___. 6 第12题图 12.如图，在中， ， ，平分交于点 ， 于点.若，则 的周 长为____. 12 分层训练 构建学科思维 13 13.如图，是内一点，且点到三边,, 的距 离.若 ，则 ______. 分层训练 构建学科思维 14 14.如图，于点，于点，，相交于点 , 连接 . （1）当时，求证： ; 分层训练 构建学科思维 15 证明：因为，，，所以 ， . 在和 中， 所以（角边角）.所以 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）当时，求证： . [答案] 因为，，所以 . 在和中， 所以（角角边）.所以 . 又因为， ， 所以平分.所以 . 分层训练 构建学科思维 17 15.如图，在四边形中，平分 ， . 题图 （1）若 ，求 的度数; 分层训练 构建学科思维 18 解图 解：如解图,过点分别作， ， ，垂足分别为，， . 因为平分，所以 . 因为 ， ，所以 . 所以.所以 . 所以平分 . 分层训练 构建学科思维 19 因为 ，所以.在 和 中， 所以，所以 . 同理可证 ， 所以 . 因为 ， ， 分层训练 构建学科思维 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 （2）若 ，则 _____. 分层训练 构建学科思维 22 $第5章 直角三角形 易错易混专练 1 ▶ 易错点1 忽视勾股数的定义 1.若3，4，是一组勾股数，则 的值为( ) B A. B.5 C.5或7 D.5或 分层训练 构建学科思维 2 ▶ 易错点2 直角不确定导致漏解 2.在直角三角形中，，则 的值是______. 3.如图， ，是边上一个动点（不与点 重合）， 当的度数为___________时， 为直角三角形. 2或6 或 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 易错点3 直角边不确定导致漏解 4.已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为_________时，此 三角形是直角三角形. 10或 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 易错点4 高的位置不确定导致漏解 5.在中，,,上的高,则 的 面积为_________. 150或42 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 易错点5 判定直角三角形全等时“斜边、直角边”与“边边 角”混淆 6.【过程性学习】如图，为的高， 为 上一点，交于点，且 , .求证： . 证明：由题意，得 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 6 在和中， 所以 （边边角）. 所以 . 上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正 确的证明过程. 分层训练 构建学科思维 解：不正确.三角形全等的判定方法中没有“边边角”.正确的证明 过程如下： 由题意，得 , 所以 . 在和 中， 所以 （斜边、直角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 易错点6 忽视对角平分线的位置进行分类讨论致错 7.若等腰三角形一个角的平分线与一腰的夹角为 ,则这个等腰 三角形的顶角的度数为_ ________________. 或 或 分层训练 构建学科思维 9 $第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点 勾股定理 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 第2题图 2.如图，字母 所代表的正方形的面积是( ) C A.4 B.5 C.16 D.34 分层训练 构建学科思维 3 第3题图 3.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成 的网格中，点，都是格点，则线段 的长度为 ( ) A A.5 B.6 C.7 D.25 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，长方形的边长为2，边长为1， 在数轴上， 以原点为圆心，线段 的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一 点，则这个点表示的实数是( ) D A.2.5 B. C. D. 5.等腰三角形腰长为5，底边长为6，则它底边上的高为___. 4 分层训练 构建学科思维 5 6.在中， , . （1）若 ，则___， _____； （2）若 ，则_____， _____. 2 7.如图，在和中, , , ,,则____, ___. 3 分层训练 构建学科思维 6 8.（教材P172练习T1变式）在中， ，且 ， ，的对应边分别为，， . （1）已知，，求 ； 解：因为 ，且， ， 所以 . （2）已知，，求 ； 解：因为 ，且， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 7 （3）已知，且，求， . 解：因为 ， 所以设，则 . 因为 ， ， 所以，即 . 所以,解得 . 又因为,所以 . 所以， . 分层训练 构建学科思维 8 第9题图 9.如图，有一张直角三角形纸片， ， ，，将斜边翻折，使点 落在 直角边的延长线上的点处，折痕为，则 的长 为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 第10题图 10.如图，将一个有 角的三 角板的直角顶点放在一张宽为 的纸带边沿上.另一个顶点 在纸带的另一边沿上，测得三角 C A. B. C. D. 板的一边与纸带的一边所在的直线成 角，则三角板的最大边 的长为( ) 分层训练 构建学科思维 10 11.（教材P173习题 变式）【题组训练】 图1 （1）如图1，在中， ，分别 以的三边,, 为边向外作三个正方 形，其面积分别用，，表示.若 ， ，则 ( ) B A.3 B.5 C.7 D.9 分层训练 构建学科思维 11 图2 （2）如图2，在中，分别以， , 为直径向外作三个半圆，其面积分别为 ， ，.若，，则 ( ) C A.18 B.20 C.22 D.24 分层训练 构建学科思维 12 第12题图 12.如图，在中， ， ， ，是线段的垂直平分线，则 的长 为( ) C A.8 B.10 C.13 D.15 分层训练 构建学科思维 13 第13题图 13.【数学文化】（扬州中考）我国汉代数学家赵 爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后 人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三 角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直 角边长分别为，，斜边长为.若 ， ，则每个直角三角形的面积为____. 96 分层训练 构建学科思维 14 14.如图，在中，， ， ，过点作交于点 ，求 的长.某学习小组经过合作交流，给出了下 面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完 成解答过程. 分层训练 构建学科思维 15 （1）设，则_______（用含 的代数式表示）； （2）请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出 的值. 分层训练 构建学科思维 16 解：因为 , 所以 . 所以和 为直角三角形. 在 中，由勾股定理，得 ， 在 中，由勾股定理，得 ， 所以，解得 . 分层训练 构建学科思维 17 15.如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放的三个正 方形的面积分别是1，2，3，正放的四个正方形的面积依次是 ，，，，则 ___. 4 分层训练 构建学科思维 18 微专题3 构造直角三角形解题 【模型归纳】条件：已知 的三边长. 方法：作，垂足为 . 结论： . 分层训练 构建学科思维 19 1.如图，在中，，，则 的面积 为____. 12 第1题图 分层训练 构建学科思维 20 2.如图，在中，，，，则 的面积为____. 24 第2题图 分层训练 构建学科思维 21 $第5章 直角三角形 5.3 直角三角形全等的判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 直角三角形全等的判定 1.如图，，，垂足分别为，，且 ， 则 的理由是( ) D A.边角边 B.角角边 C.边边边 D.斜边、直角边 分层训练 构建学科思维 3 2.不能使两个直角三角形全等的条件是( ) D A.一条直角边及其对角对应相等 B.斜边和一条直角边对应相等 C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，， ，下列结论中不成立的是 ( ) C 第3题图 A. B. C.与 不一定全等 D. 分层训练 构建学科思维 5 第4题图 4.如图，在和中， ， 在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个 条件________________________，使 和 全等. （答案不唯一） 第5题图 5.如图，，于点， 于点.若，则 ______，其 依据是______________. 斜边、直角边 分层训练 构建学科思维 6 第6题图 6.（教材P175例1变式）如图，，分别是 的高，且.若，则 ___. 2 7.如图，，于点， 于 点，且，若 ，则 _____. 分层训练 构建学科思维 7 8.如图，， ，是上的一点，且 ， .求证： . 分层训练 构建学科思维 8 证明：因为 ， 所以 . 因为， ，所以 . 所以和 都是直角三角形. 在和 中， 所以 （斜边、直角边）. 分层训练 构建学科思维 9 ▶ 知识点2 作直角三角形 9.已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是 ______________. 斜边、直角边 分层训练 构建学科思维 10 10.如图，在中， ，请利用直角三角形全 等的判定方法斜边、直角边，求作 ，使 . 分层训练 构建学科思维 11 解图 解：如解图， 即为所求.作法如 下： （1）作一条直线，在直线 上截取 ； （2）过点作直线的垂线 ； （3）以点为圆心，以 的长为半径画 圆弧，交于点，连接 ，于是 为所求作的直角三角形. 分层训练 构建学科思维 12 第11题图 11.如图，在中， ， ，交于点，连接 .若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 第12题图 12.如图，，是的高，与 相交 于点，.若，且 ， 则 的面积为____. 12 分层训练 构建学科思维 13 13.【分类讨论思想】如图， ， ， ，，点和点从点 出发，分别在线 段和射线上运动，且，则当 ________时，与 全等. 5或10 分层训练 构建学科思维 14 14.如图，在中，， ，为 延长线 上一点，点在上，且 . 分层训练 构建学科思维 15 （1）求证： ； 证明：因为 ， 所以 . 在和 中， 所以 （斜边、直角边）. 分层训练 构建学科思维 16 （2）若 ，求 的度数. 解：因为， ， 所以 ， 所以 . 由（1），知 ， 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 17 15.如图，在中，，是过点的直线， 于点，于点 . 分层训练 构建学科思维 18 （1）若点，在的同侧（如图1所示）且 .求证： ； 证明：因为， ， 所以 . 在和 中， 所以 （斜边、直角边）. 分层训练 构建学科思维 19 所以， . 因为 ， 所以 . 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 （2）若点，在的两侧（如图2所示），且 ，其他 条件不变，与 仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直， 请说明理由. 分层训练 构建学科思维 21 解： .证明如下: 同（1）证得 , 所以， . 因为 ， 所以 ，即 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 22 $第5章 直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 第1课时 直角三角形的性质和判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 直角三角形的两个锐角互余 第1题图 1.（贺州中考）如图，在中， ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图,,分别为边,上的点, , 于点.若 ,则 ( ) B A. B. C. D. 3.如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板 叠放在直尺上,则 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 4.在中, ,且 ,则 的度数为_____. 5.如图，在中， ， ，是 的平 分线，则 _____. 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形 6.在中，若 ， ，则 是( ) B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 分层训练 构建学科思维 6 7.如图,是边上的一点,过点作,垂足为 .若 ,则 是直角三角形吗？为什么？ 分层训练 构建学科思维 7 解： 是直角三角形.理由如下： 因为,所以 , 是直角三角形. 所以 . 又因为,所以 . 所以 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 第8题图 8.（株洲中考）一技术人员用刻度尺 （单位： ）测量某三角形部件的尺寸. 如图所示，已知 ，为边 的中点，点， 对应的刻度分别为1和7， 则 的长为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 第9题图 9.如图，在中，是斜边 上的 中线， ，则____ . 70 10.如图，，，为 的中点.求 证： 是等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 10 证明：因为， ， 所以 ， . 又因为为 的中点， 所以， . 所以.所以 是等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 11 11.下列条件中：， ， ，， ， 能确定 是直角三角形的有( ) C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 分层训练 构建学科思维 12 12.如图，在中， ， ， 平分 ，是的中点.若，则 的长为( ) A A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 分层训练 构建学科思维 13 13.（攀枝花中考）如图，在中， ， ， 线段的垂直平分线交于点，交于点，则 _____. 分层训练 构建学科思维 14 14.如图,已知，，与交于点，为 的 中点,连接, . 分层训练 构建学科思维 15 （1）求证： ； 证明：因为 ， E为 的中点， 所以 . 因为，为 的中点， 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 16 （2）试探究与 的数量关系. 解：由（1），知， ， 所以, . 因为 ， ， 所以 . 即 . 分层训练 构建学科思维 17 又因为 ， 即 ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 15.如图1,在中,于点,于点 . 分层训练 构建学科思维 19 （1）猜测与 的关系,并说明理由. 解： .理由如下： 因为, , 所以 . 所以和 都是直角三角形. 所以 ， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 20 （2）如图2,如果 是钝角,其余条件不变,（1）中的结论是否 仍然成立？请说明理由. 分层训练 构建学科思维 21 解：（1）中的结论仍然成立.理由如下： 因为, , 所以 . 所以与 都是直角三角形. 所以 , . 又因为 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 22 $第5章 直角三角形 5.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线的性质和判定的运用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 2 ▶ 知识点 角平分线的性质和判定的运用 1.【真实问题情境】（巴中中考）如图，是一块三角形的草坪， 现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距 离相等，凉亭的位置应选在( ) C 第1题图 A. 三条中线的交点 B. 三边的中垂线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，是的平分线 上一点 （不与点重合），过点 分别向角的两边作垂线 ，，垂足分别是，，连接交 于点 ，则图中全等的直角三角形共有( ) A A.3对 B.2对 C.1对 D.0对 分层训练 构建学科思维 4 3.如图，若，，分别平分和， 于点，且，则与 之间的距离为( ) B A. B. C. D.无法确定 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，于点， 于点 ，于点，于点 ， .求证： . 证明：因为， ， ，所以射线平分 . 又因为， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 6 5.如图，是的平分线，，点在 上， ，，垂足分别是，.求证： . 分层训练 构建学科思维 7 证明：因为是 的平分线， 所以 . 在和 中， 所以 （边角边）. 所以 . 分层训练 构建学科思维 8 所以，即平分 . 因为， ， 所以 . 分层训练 构建学科思维 6.如图，在中，平分，过点分别作 于 点，于点，连接交于点.求证： . 分层训练 构建学科思维 10 证明：因为平分，， ， 所以，， . 因为 ， ， 所以 . 又因为， , 所以.所以 . 又因为 ， 所以 .所以 . 分层训练 构建学科思维 11 7.如图，在四边形中，，和 的延长线交于点 .若点使得，则满足此条件的点 ( ) D A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成 的平分线 D.组成的平分线所在的直线（点 除外） 分层训练 构建学科思维 12 第8题图 8.如图，直线，， 表示三条相互交叉的公 路.现要建一个加油站，要求它到三条公路的距 离相等，则可供选择的地点有( ) A A.4处 B.3处 C.2处 D.1处 分层训练 构建学科思维 13 9.如图，在中，，的平分线交于点，连接 并延长交于点，于点.若 ， ， 则 ____. 10 第9题图 分层训练 构建学科思维 14 10.【真实问题情境】如图，四边形区域是音乐广场的一部分， 现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路， 的距离相等，且到入口，的距离相等，请确定喷泉的位置 . 分层训练 构建学科思维 15 题图 解：如解图，点 即为所求. 解图 分层训练 构建学科思维 16 11.如图，，和 的平分 线，交于点，过点作 于点 ，延长交于点 . （1）求 的度数; 分层训练 构建学科思维 17 解：因为 ， 所以 . 因为，分别是和 的平分线， 所以， ， 所以 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）若，求点到 的距离. 解：如图，过点作于点 . 因为，，所以 . 因为是的平分线， ， ，所以 . 同理,得 . 所以 . 则点到 的距离为5. 分层训练 构建学科思维 19 微专题4 与角平分线有关的面积问题 【结论1】如图1，在中， 是它的角平分线，则 . 【结论2】如图2，在 中，当 点在角平分线 上的任意位置 （不与点 重合）时，都有 . 分层训练 构建学科思维 20 1.如图，的三边，， 的长分别为4，6，8，其三条 角平分线将分成三个三角形，则 _______. 分层训练 构建学科思维 21 2.如图，是的角平分线，， ， ，的面积为14，则 ___. 6 第2题图 分层训练 构建学科思维 22 3.如图,在中，是的平分线，是中线，, 相 交于点，于点.若，， ， 则 的长为___. 2 第3题图 分层训练 构建学科思维 23 $第5章 直角三角形 章末复习 1 ▶ 复习点1 直角三角形的性质和判定 1.下列条件中： ； ； ； ；，能确定 是直角 三角形的有( ) C A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 分层训练 构建学科思维 2 第2题图 2.如图，两条公路，互相垂直， ，公 路的中点与点被湖隔开.若测得 的长为 ，则， 两点间的距离为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.如图，在中， ， ， ， 垂足为.若，则 的长为___. 8 第3题图 分层训练 构建学科思维 4 4.如图，在中，， ，过点 作 交于点，过点作交于点，求 的长. 分层训练 构建学科思维 5 解：因为， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以，且 ， 分层训练 构建学科思维 6 因为，所以 . 所以 ， 所以，所以 . 在中， ， ， 所以，所以 . 因为，所以， . 分层训练 构建学科思维 ▶ 复习点2 勾股定理及其逆定理 5.下列各组数中，能构成直角三角形的一组是( ) B A.1，2，3 B.1，1， C.2，3，4 D.7，15，17 6.如图，在中， ，交 的延长 线于点，，，则 的长为( ) A A. B. C.3 D.2.5 分层训练 构建学科思维 8 第7题图 7.（宁夏中考）将一副直角三角板和一把宽度为 的直尺按如图所示方式摆放：先把 和 角的顶点及它们的直角边重合，再将此直 角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺 B A. B. C.2 D. 下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于， 两点，则 的长是( ) 分层训练 构建学科思维 9 第8题图 8.如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、 乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， 甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1 小时后两船分别位于点， 处，且相距20海里. 若甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿_____ ______方向航行. 北偏 东 分层训练 构建学科思维 10 9.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图.根据安全标准需 满足，现测得， ， ，其中与之间由一个固定为 的零件连接 （即 ），通过计算说明该车是否符合安全标准. 分层训练 构建学科思维 11 解：在中， ， 在 中， ， 所以.所以 . 所以 . 所以该车符合安全标准. 分层训练 构建学科思维 12 ▶ 复习点3 直角三角形全等的判定 10.在和中， ， .若要用“斜边、 直角边”直接证明 ，则还需补充条件： ________________________. （或） 分层训练 构建学科思维 13 11.如图，在和 中， ，，与 相交于 点 . （1）求证： ； 证明：因为 ,在和 中， 所以 （斜边、直角边）. 分层训练 构建学科思维 14 （2） 是何种三角形，证明你的结论. 解： 是等腰三角形.证明如下： 由（1），知 ， 所以.所以 . 所以 . 所以 是等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 15 ▶ 复习点4 角平分线的性质和判定 12.（2024·绵阳）如图，在中，， 平分交于点，，垂足为 ， 的面积为5，则 的长为( ) B A.1 B.2 C.3 D.5 13.如图，于点，于点 ，且 .若 ，则 ______. 分层训练 构建学科思维 16 14.如图，在四边形中， ，为 的中点， 且平分 . 题图 （1）求证：平分 ； 分层训练 构建学科思维 17 解图 证明：如解图，过点作于点 .因为 ，平分，所以 . 因为是 的中点， 所以 ， 所以 . 又因为 ， ， 所以平分 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）求证： . [答案] 由（1），知， , 又因为 ,且 ， 所以.所以 . 同理，得 . 所以 . 分层训练 构建学科思维 19 15.如图1，两条交叉马路，中间区域建有， 两个温室花 房.现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心 ，使 得交易中心到两条马路， 的距离相等，且到两个温室花 房，的距离也相等.如何确定交易中心 的位置？如图2，利用 尺规作图求作点 （不写作法，保留作图痕迹）. 分层训练 构建学科思维 20 解：如解图，点 即为所求. 解图 分层训练 构建学科思维 21 $第5章 直角三角形 教材回归（十一） 勾股定理与方程思想（针对教材 例3） 1 【教材母题】 （教材P168例3）（古代数学问题）“今有池方一 丈，葭 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、 葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正 方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇 沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面， 问水深与芦苇长各为多少？ 分层训练 构建学科思维 2 解：如图，设水深 尺， 则尺， 尺. 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，所以 尺. 在 中，根据勾股定理得， ，解得 . 故芦苇长为13尺. 答：水深为12尺，芦苇长为13尺. 分层训练 构建学科思维 3 1.【数学文化】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载： 今有开门去阃（读 ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广 几何？题目大意是：如图1，2（图2为图1的平面示意图），推开 双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛 都为1尺 （1尺寸），则 的长是( ) C A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 分层训练 构建学科思维 4 2.【数学文化】《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量 地回，记得长步整三十.广斜相并五十步，不知几亩及分厘.”其大 意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和 对角线之和为50步，不知该田有几亩？请帮他算一算，该田有___ 亩.（1亩 平方步） 2 分层训练 构建学科思维 5 3.如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶 处.师傅在楼底水 平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长 ），并做个记号， 然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长 ），量得绳 长比绳长长5米，求楼 的高度. 分层训练 构建学科思维 6 解：设为 米，则 米. 由题意，得 ，米， 米， 所以 （米）. 在和 中，由勾股定理，得 ， 即，解得 . 所以 米， 所以 （米）. 答：楼 的高度为12米. 分层训练 构建学科思维 7 $第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 勾股定理的逆定理 1.分别以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能 构成直角三角形的是( ) D A.5，12，13 B.3，4，5 C.6，8，10 D.2，3，4 2.在中，，，的对边的长分别为，，.若 ， ，满足 ，则( ) B A. B. C. D.无法确定 分层训练 构建学科思维 3 3.下列说法中不正确的是( ) A A.若一个三角形三个角度数的比为 ,则该三角形是直角三角形 B.若一个三角形三条边的比为 ，则该三角形是直角三角形 C.若一个三角形三个角度数的比为 ，则该三角形是直角三 角形 D.若一个三角形三条边的比为 ，则该三角形是直角三角形 分层训练 构建学科思维 4 4.在中,,,分别是,, 的对边长.若 ,则这个三角形一定是_________ ___. 直角三角 形 5.如图，在中，，，以点为圆心， 的长 为半径画弧，交于点.若，则____ . 90 分层训练 构建学科思维 5 6.（教材P170例4变式）在中，，， 的对边分别 是，， ，判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个 角是直角？ （1），， ； 解：因为，， ， 所以，， . 因为 ， 所以此三角形不是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 6 （2），， ; 解：因为，， ， 所以，， . 因为，即 ， 所以此三角形是直角三角形，且 是直角. 分层训练 构建学科思维 7 （3），， . 解：因为，， ， 所以，， . 因为，即 ， 所以此三角形是直角三角形，且 是直角. 分层训练 构建学科思维 8 ▶ 知识点2 勾股数 7.【数学文化】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载 于我国古代的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股 数”的是( ) D A.2，3，4 B.1，1， C.，， D.6，8，10 8.若12，，16是一组勾股数，则 的值为____. 20 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，若半圆Ⅰ和半圆Ⅱ的面积之和等于半圆Ⅲ的 面积，则 是( ) A A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 分层训练 构建学科思维 10 10.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们 摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 11.如图，在四边形中，，， ， ，且 ，则四边形 的面积为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 12 12.如图，已知是线段上的一点， ， ，，，， . 分层训练 构建学科思维 13 （1）求证： ； 证明：在 中， ，， ， 所以 . 在中， ，， ， 分层训练 构建学科思维 14 所以 . 因为，， ， 所以 . 所以是直角三角形，且 . 分层训练 构建学科思维 （2）的边 上的高为_ ____. 分层训练 构建学科思维 16 13.如图，在中，三边分别是，， ，并且满足 ， . 分层训练 构建学科思维 17 （1）请你判断 的形状，并说明理由; 解： 为直角三角形.理由如下: 因为 ， 所以 . 所以， . 因为 ， 所以为直角三角形，且 . 分层训练 构建学科思维 18 （2）求出最长边上的高 . 解：因为，即 ，所以 . 分层训练 构建学科思维 19 题图 14.【真实问题情境】某市夏季经常受台风 天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风 中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端 气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中 心沿东西方向由点向点 移动，已知点 为一海港，点与直线上两点，的距离分别为 和 ，且，以台风中心为圆心周围 以内 为受影响区域. 分层训练 构建学科思维 20 （1）求证： ； 证明：因为， ， ，所以 . 所以是直角三角形，且 . 分层训练 构建学科思维 21 （2）海港 会受台风影响吗？为什么？ 解图 解：海港 会受台风影响.理由如下： 如解图，过点作于点 . 因为 ， 所以 . 因为，所以海港 会受台风影响. 分层训练 构建学科思维 22 （3）若台风的速度为 ，则台风影响该海港持续的时间有 多长？ 解：如解图，在直线上取点,,使得 ， . 在 中，由勾股定理，得 ， 同理，得 , 分层训练 构建学科思维 23 所以 . 因为台风的速度为 ， 所以 . 答：台风影响该海港持续的时间为 . 分层训练 构建学科思维 $