第3章 二次根式 课件 2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

第3章 二次根式 章末复习 1 复习点1 二次根式的概念 1.下列各式中,一定是二次根式的是( ) C A. B. C. D. 2.（绥化中考）若式子有意义，则 的取值范围是__________ _______. 且 分层训练 构建学科思维 2 复习点2 二次根式的性质及化简 3.若,则 的取值范围是( ) C A. B. C. D.任意实数 4.（攀枝花中考）实数, 在数轴上的位置如图所示,化简 的结果是( ) A A. B.0 C. D. 分层训练 构建学科思维 3 5.化简: （1） ___; （2） __; （3） ____; 3 6.5 分层训练 构建学科思维 4 （4） _____; （5） ____; （6） _ ___. 分层训练 构建学科思维 5 复习点3 最简二次根式 6.（济宁中考）下列各式是最简二次根式的是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 复习点4 分母有理化 7.下列各数中,与 的积为有理数的是( ) B A. B. C. D. 8.计算: （1） ________; （2） _________. 分层训练 构建学科思维 7 复习点5 二次根式的运算 9.下列二次根式中,能与 合并的是( ) B A. B. C. D. 10.（西宁中考）下列运算正确的是( ) C A. B. C. D. 11.计算 的结果是________. 12.（山西中考）计算： 的结果为___. 3 分层训练 构建学科思维 8 13.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . （3）（湖州中考） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 9 14.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . （3） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （4） ; 解:原式 . （5）（陕西中考） 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 11 15.(教材P80习题变式)已知, . （1）求 的值; 解:因为 ， . 所以 . 分层训练 构建学科思维 12 （2）求 的值. 解:由（1）,知, , 所以 . 分层训练 构建学科思维 13 复习点6 二次根式的应用 16.若梯形的上底为,下底为,高为 ,则这个梯形 的面积为_ _ . 17.如图,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别 为2和4,求图中阴影部分的面积. 解:根据题意,得图中阴影部分的面积为 . 分层训练 构建学科思维 14 复习点7 与二次根式有关的规律探究 18.观察下列等式： 等式一: ； 等式二: ； 分层训练 构建学科思维 15 等式三: . …… 解决下列问题:#2 分层训练 构建学科思维 （1）化简: _____________; （2）若有理数,满足 ,求 的值. 分层训练 构建学科思维 17 解:因为 , 所以 , 即 . 因为, 为有理数， 所以解得 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 $第3章 二次根式 3.2 二次根式的乘法和除法 第2课时 二次根式的除法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 商的算术平方根的性质 1.化简 的结果是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 2.化简： （1） __； （2） ___； （3） __； （4） ____. 分层训练 构建学科思维 4 3.（教材 72例3变式）化简下列二次根式： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 5 （3） 解：原式 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 二次根式的除法： 4.计算 的结果是( ) B A.2 B. C.3 D. 5.计算 的结果为( ) D A. B. C. D.2 分层训练 构建学科思维 7 6.下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 7.计算： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 9 （3） . 解：原式 分层训练 构建学科思维 10 知识点3 二次根式除法的应用 8.一个长方形的面积为18，宽为 ，则这个长方形的长为 ( ) C A. B. C. D.24 分层训练 构建学科思维 11 9.能使成立的 的取值范围是( ) A A. B. C. D.或 10.（河北中考）若，，则 ( ) A A.2 B.4 C. D. 分层训练 构建学科思维 12 11.在中，边上的高 ，它的面积恰好等于边 长为的正方形的面积，则 的长是( ) B A. B. C. D. 12.（教材74习题变式）已知，则 ____. 分层训练 构建学科思维 13 13.计算： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 14 （3） 解：原式 分层训练 构建学科思维 15 14.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛 物下落的时间（单位：）和高度（单位： ）近似满足公式 （不考虑风速的影响）.设从 高空抛物到落地所需时 间为，从高空抛物到落地所需时间为，求 的值. 分层训练 构建学科思维 16 解：由题意，得， ， 所以 ， 即 分层训练 构建学科思维 17 15.【阅读材料】先来看一个有趣的现象： ，这个根号里的2经过适当的演变，竟 然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”.具有 这现象的数还有许多，例如： ， 等. 分层训练 构建学科思维 18 【猜想】 （1） _ _____，并说明理由； [答案] 理由如下： 分层训练 构建学科思维 19 【推理说明】 （2）请你用一个正整数 表示含有上述规律的等式，并 写出运算过程. [答案] ，运算过程如下： 分层训练 构建学科思维 20 【创新应用】 （3）按此规律，若（，为正整数），则 的 值为____. 71 分层训练 构建学科思维 21 $第3章 二次根式 专题训练（五） 的化简及其应用 1 1.探究题：___，____，___， __,__, ___. 根据计算结果，回答： 3 0.5 6 0 （1）一定等于 吗？请你将发现的规律用数学式子表示出来； 解：不一定. 当时，，当时， ． 分层训练 构建学科思维 2 （2）利用你总结的规律，计算： ①若，则 ______； ② __________． 分层训练 构建学科思维 3 2.【问题再现】 王军同学在化简时，他断定 ． （1）你认为他的看法对吗？请把你的不同意见写出来； 解：我认为王军的看法不对． ，在化简时应该注意 的取值范围． 当时， ， 当时， . 分层训练 构建学科思维 4 【归纳总结】 （2）由此题可以看出，在进行形如 的化简运算时应注意什么？ 解：在进行形如的化简运算时应该注意 的取值范围． 分层训练 构建学科思维 5 【学以致用】 （3）已知，化简 _______； （4）当时，计算 的值． 解：当 时，原式 ． 分层训练 构建学科思维 6 3.阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求 的取值范围． 解：原式 . 当时，原式，解得 （舍去）； 当时，原式 ，符合条件； 分层训练 构建学科思维 7 当时，原式，解得 （舍去）. 综上所述，的取值范围是 . 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述过程， 解答下列问题：#1.2 分层训练 构建学科思维 （1）当时，化简 ___； （2）若等式成立，则 的取值范围是 __________； 3 分层训练 构建学科思维 9 （3）若，求 的取值． 分层训练 构建学科思维 10 解：原式 . 当时，原式 ， 解得 ，符合题意； 当时，原式 ， 此方程无解，故 不符合题意； 当时，原式，解得 ，符合题意． 综上所述，的值为 或6． 分层训练 构建学科思维 11 $第3章 二次根式 教材回归（二） 二次根式的双重非负性及 的化 简（针对教材P67练习T1,T3） 1 【教材母题】（教材P67练习T1） 当 是怎样的实数时,下列二次根式有意义? （1） ; 解:由，解得，因此，当时， 有意义. （2） . 解:由，解得.因此，当时， 有意义. 分层训练 构建学科思维 2 1.（通辽中考）二次根式在实数范围内有意义，则实数 的取值范围在数轴上表示为( ) C A. B. C. D. 2.若在实数范围内有意义,则 满足的条件 是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（1）（包头中考）若代数式 在实数范围内有意义,则 的取值范围是_______________. （2）已知,则 ___. 且 6 分层训练 构建学科思维 4 4.已知实数,满足 ，求 的值. 分层训练 构建学科思维 5 解:原式 . 因为 , 所以, . 所以原式 . 分层训练 构建学科思维 6 【教材母题】（教材P67练习T3） 计算: （1） ； 解: . （2） ; 解: . 分层训练 构建学科思维 7 （3） ； 解: （4） . 解: . 分层训练 构建学科思维 8 5.化简: ( ) C A.2 B. C. D. 6.下列算式正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 7.（2024·内蒙古）实数， 在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是( ) A A.2 B. C. D. 8.已知实数,化简 ___. 3 分层训练 构建学科思维 10 9.有如下一串二次根式: ①,②,③ , ④ ,… （1）求①,②,③,④的值; 解:①原式 ; ②原式 ; ③原式 ; ④原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）仿照①,②,③,④,写出第⑤个二次根式; 解:第⑤个二次根式为 . （3）仿照①,②,③,④,⑤,写出第 个二次根式,并化简. 解:第个二次根式为 . . 分层训练 构建学科思维 12 $第3章 二次根式 3.3 二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加法和减法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的加法和减法 1.下列二次根式中，化简后能与 合并的是( ) A A. B. C. D. 2.计算 的结果是( ) C A.2 B.3 C. D. 3.（包头中考） 的计算结果是( ) C A.5 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 4.计算： （1）（2024·淄博） ____； （2）（杭州中考） ______； （3） _____． 分层训练 构建学科思维 4 5.计算： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 5 （3） 解：原式 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 二次根式的加减混合运算 6.计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 7.计算： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 8 （3） 解：原式 分层训练 构建学科思维 9 知识点3 二次根式加法和减法的应用 8.一个长方形纸片的长为，宽为 ，则这个长方形 纸片的周长为______ 9.已知三角形的三边长分别是，，，其中 ， ，若周长是，求 的长度. 解： 答：的长度是 分层训练 构建学科思维 10 10.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 11.计算 的结果是( ) C A.1 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 12.若最简二次根式和可以合并，则 的值是 ( ) B A. B.2 C.7 D. 13.计算： ___. 14.若，为有理数，且，则 ___. 2 分层训练 构建学科思维 12 15.计算： （1） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 13 （3） ； 解：原式 （4） 解：原式 分层训练 构建学科思维 14 16.如图，面积为 的正方形，四个角是面积 为 的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个 无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边 长和高分别是多少？（结果保留根号） 解：根据题意，得这个长方体的底面边长是 ，这个长方体盒子的高是 分层训练 构建学科思维 15 17.已知，，求 的值. 解：由，得， 同号. 又由，得， 原式 当，时，原式 分层训练 构建学科思维 16 $第3章 二次根式 全国视野+核心素养专练 1 1.【跨学科融合】【运算能力、应用意识】 （聊城中考）射击 时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中 为子弹的加速度，为枪筒的长.如果 ， ，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示） 为( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.【运算能力、创新意识】若使算式○ 的运算结果最小， 则○表示的运算符号是( ) B A. B.- C.× D. 分层训练 构建学科思维 3 3.【运算能力、推理能力】指出下列运算过程中的错误，并说明 理由. ，可以写成 两边开平方，得 . 所以，即 . 分层训练 构建学科思维 4 解：错误过程：两边开平方，得 . 所以，即 . 理由： . 分层训练 构建学科思维 5 4.【应用意识、创新意识】 （1）写出一个二次根式，使它与 的积是有理数； 解：因为 ， 所以这个二次根式可以为 .（答案不唯一） （2）写出一个含有二次根式的式子，使它与 的积不含有 二次根式. 解：因为 ， 所以这个二次根式可以为 .（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 6 5.【跨学科融合】【运算能力、应用意识】物 体从静止状态自由下落的高度 与所需的 时间满足关系式，取 的值为 ，这个关系式可以写成 .如果4 个苹果分别从离地面，，， 处落下，求它们 落到地面所用时间的总和. 分层训练 构建学科思维 7 解：因为 ， 所以当分别为,,, ，落在地上的时间总和为 . 6.【运算能力、创新意识】已知是 的小数部分，求 的值. 分层训练 构建学科思维 8 解：因为为的小数部分，所以 . 则原式 . 分层训练 构建学科思维 9 $第3章 二次根式 综合与实践 1 【阅读理解】材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的 式子可以写成另一个式子的平方，如 .善于 思考的小明进行了以下探索： 设（其中，，， 均为整数），则有 .所以， .这 样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法， 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 分层训练 构建学科思维 2 【实践探究】 （1）当，，，均为正整数时，若 ， 用含，的式子分别表示，，得__________， ______； 分层训练 构建学科思维 3 【拓展延伸】 （2）利用所探索的结论，若我们限定的取值范围是 ， 写出所有的正整数，，， 组合，使得 成立； 分层训练 构建学科思维 4 解：由（1）得，， . 因为， 为正整数， 所以 或3或4. 又因为， 是正整数， 所以 或4. 当时，，则，故 ； 当时，，则，或， ，故 或 . 综上，，，或，， ， 或，，， . 分层训练 构建学科思维 5 （3）若，且，，均为正整数，求 的 值. 解：因为 ， 所以， . 又因为， 为正整数， 所以，或， . 所以或 . 分层训练 构建学科思维 6 $第3章 二次根式 专题训练（六） 二次根式的运算 1 1.计算: （1） ___; （2） __; （3） ___; （4） ___. 3 0 5 分层训练 构建学科思维 2 2.化简: （1） _____; （2） ___; （3） _ __; （4） ____. 分层训练 构建学科思维 3 3.计算: （1） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 4 （2） ; 解:原式 . （3） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （4） ; 解:原式 . （5） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 6 4.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （3） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 8 5.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 9 （3）（益阳中考） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 10 （4） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 11 $第3章 二次根式 3.2 二次根式的乘法和除法 第1课时 二次根式的乘法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的乘法 1.（衡阳中考）对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ．该运算法则成立的条件是( ) D A.， B.， C.， D.， 2.（2024·南通）计算 的结果是( ) B A.9 B.3 C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.下列各数中与 相乘的结果为有理数的是( ) B A. B. C.2 D. 4.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 5.计算: （1）（2024·贵州） ____; （2）（益阳中考） ____; （3）（恩施州中考） ___. 10 6 分层训练 构建学科思维 5 6.（教材P70例1变式）计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . （3） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 6 （4） ; 解:原式 . （5） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 7 （6） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 8 知识点2 二次根式乘法的应用 7.在如图所示的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘 都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______. 2 1 3 8.一个长方形的长为,宽为 ,则这个长方形的面积为 _____ . 分层训练 构建学科思维 9 9.已知一个长方体的长、宽、高分别是,, ,求该长方体的体积. 解:根据题意,得该长方体的体积是 . 答:该长方体的体积是8. 分层训练 构建学科思维 10 10.计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 11.如果 ,那么( ) C A. B. C. D. 为一切实数 分层训练 构建学科思维 11 12.（益阳中考）若计算的结果为正整数,则无理数 的值 可以是__________________.（写出一个符合条件的即可） 13.若规定,则 ___. （答案不唯一） 3 分层训练 构建学科思维 12 14.计算: （1） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 13 （2） ; 解:原式 . （3） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 14 （4） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 15 15.（教材P74习题 变式）如图,从大正方形中剪 下两个面积分别为和 的小正方形. 求剩下部分的面积. 解:因为面积为， 的正方形的边长 分别为, ,则根据题意，得剩下部分的面积为 . 答:剩下部分的面积为 . 分层训练 构建学科思维 16 $第3章 二次根式 3.1 二次根式的概念及性质 第2课时 二次根式的化简 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 积的算术平方根的性质 1.化简二次根式: （1）____________×____ _____; （2）______________×____ _____. 2.化简二次根式 得( ) C A.6 B.18 C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.化简 的结果为( ) D A. B. C.5 D. 4.下列等式正确的是( ) C A. B. C. D. 5.若成立,则 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 6.（教材P67例4变式）化简下列二次根式: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 5 （3） ; 解:原式 . （4） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 最简二次根式 7.下列根式中,是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 8.把 化成最简二次根式是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 9.（教材P69习题 变式）化简下列二次根式: （1） ; 解:原式 . （2） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 8 10.下列计算错误的是( ) C A. B. C. D. 11.若,,请用含,的式子表示 是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 12.（易错题）若,化简 的结果是( ) B A. B. C. D. 13.若一个三角形两条边长分别为和 ,且这两条边长 的平方和恰好等于第三边长的平方，则这个三角形第三条边的长 是( ) B A. B. C. D. 14.（孝感中考）请写出一个正整数的值使得是整数： ___________________________. 2（答案不唯一，合理即可） 分层训练 构建学科思维 10 15.化简下列二次根式: （1） ; 解:原式 . （2） ； 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 11 （3） ； 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 12 （4） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 13 16.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是 2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框 中三个位置上的数按如下方式计算： ， ， 不难发现，结果都是7. 分层训练 构建学科思维 14 图1 图2 图3 分层训练 构建学科思维 15 （1）请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，则图2 计算结果为___；图3计算结果为___； 8 6 （2）请你类比上述材料，用含 的式子表示图2的规律，并给出 计算过程. 解： .过程如下： . 分层训练 构建学科思维 16 $第3章 二次根式 3.1 二次根式的概念及性质 第1课时 二次根式 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 1.下列各式中,一定是二次根式的是( ) C A. B. C. D. 2.（2024·徐州）若有意义，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（苏州中考）使在实数范围内有意义的 的取值范围是 ______. 4.（广元中考）若式子有意义，则实数 的取值范围是______． 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 5.计算 的结果是( ) B A.6 B.12 C.18 D.36 分层训练 构建学科思维 5 6.计算: （1）（连云港中考） ___; （2） ____; （3） ____; （4） __. 5 1.7 28 分层训练 构建学科思维 6 7.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . （3） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 7 ▶ 知识点3 8.（泰州中考）计算 等于( ) B A. B.2 C.4 D. 9.等式 成立的条件是( ) C A. B. C. D. 10.下列各式中,正确的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 8 11.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . （3） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 9 12.若,则 的值为( ) D A.2 B. C. D. 13.等式 成立的条件是( ) B A. B. C. D. 是非负数 分层训练 构建学科思维 10 14.若在实数范围内有意义,则 的取值范围在数轴上表示正确 的是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 11 15.（丹东中考）若代数式在实数范围内有意义，则实数 的 取值范围是_______________. 16.化简: ______. 且 分层训练 构建学科思维 12 17.（教材P65例1变式）当 是怎样的实数时,下列各式在实数范围 内有意义? （1） ; 解:由,解得 . 因此,当时, 在实数范围内有意义. （2） ; 解:由,得 取全体实数. 因此,当取全体实数时, 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 13 （3） . 解:由且,解得 . 因此,当时, 在实数范围内有意义. 分层训练 构建学科思维 14 18.计算: （1） ; 解:原式 . （2） ; 解:原式 . （3） ; 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 15 （4） . 解:原式 . 分层训练 构建学科思维 16 19.（教材P69习题变式）已知是整数，求自然数 所有 可能的值. 解：因为，且 ， 所以 . 又因为 是整数， 所以 的值可以为0或1或4或9或16. 所以自然数 所有可能的值为20或19或16或11或4. 分层训练 构建学科思维 17 20.已知实数满足 ,求代数式 的值. 解:由题意，得 , 所以原式可化为 , 即 . 两边同时平方并移项，得 , 所以 . 分层训练 构建学科思维 18 $第3章 二次根式 3.3 二次根式的加法和减法 第2课时 二次根式的混合运算 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 知识点1 二次根式的混合运算 1.（朝阳中考）计算 的结果是( ) B A.0 B. C. D. 2.（青岛中考）下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 3 3.（聊城中考）计算： ___. 3 4.（南京中考）计算 的结果是_____. 5.（2024·天津）计算 的结果为____. 10 分层训练 构建学科思维 4 6.计算： （1）（2024·甘肃） ； 解：原式 （2） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 5 （3） ； 解：原式 （4） 解：原式 分层训练 构建学科思维 6 知识点2 分母有理化 7.已知，，则与 的关系为( ) A A. B. C. D. 8. 的倒数是_________. 分层训练 构建学科思维 7 9.计算： （1） ； 解：原式 分层训练 构建学科思维 8 （2） 解：原式 分层训练 构建学科思维 9 10.化简 ，甲、乙两同学的解法如下： 甲： 乙： 对于他们的解法，下列判断正确的是( ) 分层训练 构建学科思维 10 A.甲、乙的解法都正确 B.甲的解法正确，乙的解法不正确 C.乙的解法正确，甲的解法不正确 D.甲、乙的解法都不正确 √ 分层训练 构建学科思维 11 11.（潍坊中考）从，， 中任意选择两个数，分别填在 算式里面的“”与“ ”中，计算该算式的结果是 _ __________________________________．（只需写出一种结果） （或或） 分层训练 构建学科思维 12 12.计算： （1）（金昌中考） ； 解：原式 （2） 解：原式 分层训练 构建学科思维 13 13.（教材80习题（2）变式）若， ，请计算 的值. 解：当， 时， 原式 分层训练 构建学科思维 14 14.阅读与思考 请你阅读下列材料，并完成相应的任务. 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中 的具体应用.具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新 组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.我们以往的学 习中已经接触过分数裂项求和.例如： 分层训练 构建学科思维 15 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项.例如： ， #1.1.2 分层训练 构建学科思维 （1）模仿材料中的计算方法，化简： __________； （2）观察上面的计算过程，直接写出式子 __________ _______； 分层训练 构建学科思维 17 （3）利用根式裂项求解： 解：原式 分层训练 构建学科思维 18 $第3章 二次根式 易错易混专练 1 易错点1 考虑不全造成答案不完整 1.（绥化中考）若式子在实数范围内有意义，则 的 取值范围是( ) C A. B. C.且 D.且 分层训练 构建学科思维 2 易错点2 运用时，忽略 的情况 2.已知二次根式的值为3，那么 的值是( ) D A.3 B.9 C. D.3或 分层训练 构建学科思维 3 易错点3 忽略二次根式有意义的条件而致错 3.下列计算正确的有( ) ； ； ； . A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 分层训练 构建学科思维 4 易错点4 错用运算法则进行运算 4.嘉淇计算 时，想起分配律，于是她按分配律完 成了下列计算： 解：原式 . 她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程. 分层训练 构建学科思维 5 解：不正确.正确的解答过程如下： 原式 . 分层训练 构建学科思维 6 易错点5 运用时，忽略 5.计算： ________. 分层训练 构建学科思维 7 易错点6 忽视二次根式的被开方数为非负数 6.小东在学习了后，认为 也成立，因此他认为一 个化简过程 是正确的.你认为他的 化简正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程. 解：不正确 . 正确解答过程： . 分层训练 构建学科思维 8 $