第4章平面直角坐标系　单元练习　2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

第4章平面直角坐标系

 

4.1点的位置与坐标表示

第1课时 认识平面直角坐标系

目标要求：①能结合实例用有序数对表示物体的位置 ② 在给定的平面直角坐标系中，能根据点的坐标找出点的位置，由点的位置写出点的坐标 ③ 理解平面直角坐标系中的点与有序实数对是一一对应的，掌握各个象限内和坐标轴上点坐标的符号规律

基础过关提优            

1 (教材 P115 练习 1 变式)(2024·广西)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 P 的坐标为(2,1),则点 Q 的坐标为

(    )

A. (3,0) B. (0,2)

C. (3,2) D. (1,2)

2.新素养 几何直观八(2)班教室里的座位共有 7 排6列，其中小明的座位在第 4 排第3列，记为(4，3).若小华坐在第 3 排第2列，则下列四个座位中，与小华座位相邻的是              (    )

A. (1,3) B. (3,4)

C. (4,2) D. (2,4)

3.(2024·四川甘孜)如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在 A，B，C三点处有目标出现.若按某种规则，A，B两点的位置可以分别表示为(1,90°),(2,240°),则点 C 的位置可以表示为         .

4. (2024·甘肃甘南)若点 P(3m+1,2-m)在x 轴上，则点 P 的坐标是        .

 

5. 已知点 P(a,a-5)到 x 轴的距离为m₁,到 y轴的距离为m₂.

(1) 若 求点 P 的坐标；

(2)若点 P 在第四象限，且 10(k 为常数),求 k 的值.

 

 

 

 

 

能力拓展提优            

6. 若点 P(x,y)的坐标满足 xy=0,则点 P的位置 (    )

A.在x 轴上 B.在 y 轴上

C.在坐标轴上 D.在坐标原点处

7. (2023·黑龙江大庆)已知a+b>0, ab>0.在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是

A. (a,b) B. (-a,b)

C.(-a,-b) D. (a,-b)

8.亮点原创·已知点 P(x，y)在第四象限，且 y≥2x-8,x,y 均为整数,则符合要求的点 P 有              (   )

A. 12 个 B. 14 个

C. 16 个 D.无数个

 

9.如图，字母K 对应的有序数对为(4，2).若有一个英文单词的字母对应图中的有序数对依次为(5,3),(6,3),(1,3),(4,3),(4，4)，则这个英文单词是  .

V	W	X	Y	Z
O	P	Q	R	S	T	U
H	I	J	K	L	M	N
A	B	C	D	E	F	G

1 2 3 4 5 6 7

 

10.新趋势开放探究如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置分别用(2，2)，(4，3)来表示.现在要在小方格的顶点上确定一点 C,连接 AB、AC 和 BC 组成△ABC,且△ABC 的面积为 2,则符合条件的点 C 的位置用数对表示为                    .(写出4个即可)

11.如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E 的坐标为(2,3),则点 F 的坐标为  .

12. 已知当实数m,n 满足 2m=8+n 时,称 为“开心点”.

(1) 判断A(5,3)和 B(4,10)是否为“开心点”，并说明理由；

(2) 若M(a,2a-1)是“开心点”,则点 M在第几象限?并说明理由.

 

延伸探究提优            

13. 如果m 是任意实数,那么点 P(m+2 024,m—2025)一定不在 (    )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

14.新素养 应用意识在平面直角坐标系中，A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点间的距离 特别地，如果A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点所在的直线与坐标轴重合或平行于某一坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为 或

(1)在平面直角坐标系中有 P(4,6),Q(2,-3)两点,求 P,Q 两点间的距离；

(2)已知 K，L两点在平行于x 轴的同一条直线上，点K 的横坐标为5，点L 的横坐标为-1,求 K,L 两点间的距离；

(3)已知△MNH 的顶点坐标分别为M(0,4),N(-1,2),H(4,2),你能判断△MNH 的形状吗?请说明理由.

 

 

第 2 课时 建立合适的平面直角坐标系

 

目标要求：①会建立适当的平面直角坐标系，并能正确描述物体的位置  ② 将实际问题数学化，并能运用平面直角坐标系解答

 

3.观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用(1,3)表示, “炮”所在的位置用(6,4)表示，则“帅”所在的位置可表示为        .

4.已知△ABC 的两个顶点的坐标分别为A(-4,0),B(2,0),且边 AB 上的高为4,第三个顶点的横坐标为-1.

(1)建立适当的平面直角坐标系，并求顶点 C 的坐标；

(2) 求△ABC 的面积.

 

 

 

能力拓展提优

5.如图是某城市部分区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育馆的坐标分别是(3,1),(4,-2),则下列各地点中,离原点最近的是              (    )

A.超市 B.医院

C.体育馆 D.学校

6.亮点原创·如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中,m∥y 轴,n∥x 轴,点 A 的坐标为(-2,-1),点 B 的坐标为(2,4),则

 

 

限内的格点上找点C(点C 的横坐标大于-3)，使点C 与线段AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形，求点 C的坐标与△ABC 的面积.

 

 

 

 

 延伸探究提优             

10.新素养应用意识在平原上有一条笔直的公路，在公路同侧有 A，B两个村庄.如图，以公路所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，且1个单位长度代表1 km.已知A，B两个村庄的坐标分别为(2，2)，(7，4)，一辆汽车(看成点 P)在公路(x轴)上行驶.

(1)汽车行驶过程中到 A，B两村距离之和最小为多少?

(2)汽车行驶过程中到 A，B两村距离之差最大为多少?

 

 

4.2图形变换与坐标变化

第1课时 平移与坐标变化

目标要求：掌握平移与点的坐标变化之间的关系，并能熟练运用

 

能力拓展提优

6.(2024·山东威海)定义新运算：① 在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，先沿着x 轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个单位长度,再沿着 y 轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如：动点从原点出发，先沿着x 轴负方向平移2个单位长度，再沿着 y轴正方向平移1个单位长度，记作{-2，1}；② 加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,d 均为实数.若{3,5}+{m,n}={-1,2},则m，n的值分别为              (    )

A. 2,7 B. - 4,-3

C. 4,3 D. - 4,3

7.亮点原创·在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(-3,2),点 B 的坐标为(2,—1).若将线段 AB 平移至 A'B'的位置,且点 A'的坐标为(m,-1),点B'的坐标为(6,n),则4m-3n的平方根为 (    )

A. ±4 B. - 4 C. 4 D. ±2

8.在平面直角坐标系中，将点 A(m²，1)氵沿着x轴的正方向平移( 个单位长度后得到点 B.有下列四个点： 1).其中一定在线段AB 上的是  ()

A. 点 M B. 点 N C. 点 P D. 点 Q

9.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(m+2,2m+1).若将点 A 向左平移3个单位长度后刚好落在 y 轴上，则m 的值为        .

 

 

再向上平移2个单位长度，得到点 A₂(-1，3)；把点 A₂ 先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点 A₃(-4，0)；把点 A₃ 先向右平移4个单位长度，再向下平移4 个单位长度，得到点 A₄(0，—4)……按此做法进行下去，则点 A₁₀ 的坐标为       .

14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-2,1),B(-3,-2),C(1,-2),且点 A'的坐标为(0,4).现将△ABC 平移,使点 A 与点 A'重合，B'，C'两点分别是 B，C两点的对应点.

(1) 画出△A'B'C',写出B',C'两点的坐标,并说明△A'B'C'是由△ABC 怎样平移得到的；

(2) 求△ABC 的面积;

(3) 若点 P 在 y 轴上,且△BCP 与△ABC的面积相等，求点 P 的坐标.

 

 

第2 课时 轴对称与坐标变化

 

目标要求：①掌握轴对称与点的坐标变化之间的关系，并解决相关问题 ② 掌握旋转与点的坐标变化之间的关系，并解决相关问题

 

绕点O按逆时针方向旋转得到△OM'N'.若点 M'恰好落在x 轴的负方向上，则点 N'的坐标为        .

6. 已知点A 的坐标为(2a-b,5+a),点 B的坐标为(2b-1,-a+b).

(1) 若 A,B 两点关于 x 轴对称,求 a,b的值；

(2) 若A,B 两点关于y轴对称,求(4a+b)²⁰²⁵ 的值.

 

 

 

 

 

能力拓展提优               

7.(2023·浙江金华改编)如图，两个灯笼的位置A,B 的坐标分别是(-3,3),(1,2),将点 B 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点 B'，则关于 A，B'两点的位置描述正确的是              (   )

A.关于x 轴对称 B.关于 y 轴对称

C.关于原点O 对称 D. A,B'两点重合

 

 

(3) 记点 P(a,b)经过 n 次“R 变换”后的对应点为 Pn，则点 Pn 的坐标为              (n为正整数).

 

延伸探究提优              

12.如图，在平面直角坐标系中,∠A=90°,OA=2,OB 平分∠AOx,则点 B(a-1,a-2)关于x 轴的对称点坐标是

A. (-2,1) B.(3,-2)

C.(2,-1) D.(3,-1)

13.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 过点M(3,0),且平行于 y 轴.

(1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC 关于 y 轴 的对称图形是△A₁B₁C₁,△A₁B₁C₁ 关于直线 l的 对 称 图 形 是 △A₂B₂C₂,写 出△A₂B₂C₂三个顶点的坐标;

(2) 如果点 P 的坐标是(-a,0),其中a>0,点 P 关于 y 轴的对称点是P₁，点 P₁ 关于直线 l 的对称点是P₂,求 PP₂的长.

 

 

 

第3课时 点的运动规律与坐标变化

 

目标要求：能根据点的坐标找出相应的规律，并能在平面直角坐标系中找出它们的位置

 

a—1)在第四象限，且点 M 到x 轴的距离为2，则点 M 的坐标为 (    )

A. (1,-2) B. (5,2)

C. (2,-1) D. (-2,-3)

7. 已知点 B(1,0)与点 B'关于 y 轴对称,直线 m 过点 B 且与y 轴平行,点 C(4,2)与点 C'关于直线m 对称，则B'C'的长为

(    )

A. 3 B. 5 C.   

8. 已知点 P(2m+4,3m—8)到 y 轴的距离是它到x 轴距离的2倍，则m 的值为        .

9.已知在平面直角坐标系中，点P(a，b)在第一象限的角平分线上，且a，b满足2a+b=9,则点 P 的坐标为         ,

10.已知在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(m-1,2m+3).

(1)m 为何值时,点 P 到x 轴的距离为1?

(2)m 为何值时,点 P 到 y 轴的距离为2?

(3)点P 可能在第一象限角平分线上吗?若可能，求出 m 的值；若不可能，请说明理由.

 

 

 

 

 

延伸探究提优

11.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点,点 P 的坐标为(0,1),∠QPO=150°,且点 P 到点 Q 的距离为 2，则点 Q 的坐标为              .

高频考点培优

 

点 D 的坐标为        .

8.(2024·黑龙江龙东地区改编)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2).

(1) 画出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标；

(2)画出△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转90°后得到的△AB₂C₂,并写出点 B₂的坐标.

考点3新定义下的坐标变换

9.在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过变换τ得到点P'(x',y'),该变换记作τ(x，y)=(x',y'),其中 (a,b 为常数).例如:当a=1,b=1时,τ(-2,3)=(1×(-2)+1×3,1×(-2)-1×3)=(1，—5).根据提供的信息，解答下列问题：

(1) 当a=1,b=-2时,τ(0,1)=       ;

(2) 若τ(1,2)=(0,-2),则a=          ,b=          ;

(3) 设点 P 的坐标为(x,y),且y=2x,点P 经过变换τ 得到点P'(x',y').若点 P 与点 P'关于原点对称，求a 和b的值.

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7.如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为第一、三象限的角平分线，点P 关于 y 轴的对称点称为点 P 的一次反射点，记作点P₁；点 P₁关于直线 l 的对称点称为点 P的二次反射点，记作点 P₂.例如：点(-2，5)的一次反射点为(2，5)，二次反射点为(5，2).根据定义，解答下列问题：

(1) 点(3,4)的一次反射点为        ,二次反射点为        ；

(2) 当点 A 在第三象限时,M(一4,1),N(3,-1),Q(-1,-5)三点中可以是点 A 的二次反射点的是        ；

(3)若点 A 在第二象限,A₁,A₂两点分别是 点 A 的 一 次、二次 反 射 点, 求射线OA 与x 轴所夹锐角的度数.

 

 

 

4.1点的位置与坐标表示

第1课时 认识平面直角坐标系

1. C 2. C 3. (3,30°) 4. (7,0)

5. (1) 因为 所以|a|+|a-5|=7.分类讨论如下:①当a<0时,-a-a+5=7,解得a=-1.所以点 P 的坐标为(-1,-6);② 当0≤a≤5时,a-a+5=5≠7,舍去;③ 当a>5时,a+a-5=7,解得a=6.所以点 P 的坐标为(6,1).综上,点 P 的坐标为(-1,-6)或(6,1).

(2) 因为点 P 在第四象限,所以a>0,a-5<0.所以 因为 所以22(5-a)+ ka=10,即(k-2)a=0. 所以 k-2=0,解得 k=2.则 k 的值为2.

6. C

7. D

 

14. (1) 由题意,得 .所以 P，Q两点间的距离为

(2)因为 K，L两点在平行于x轴的同一条直线上，所以它们的纵坐标相等.所以 KL=|5-(-1)|=6.所以 K,L 两点间的距离为6.

(3)△MNH 是直角三角形.理由如下：由题意，得 所以 即 所以△MNH 是直角三角形.

第 2 课时 建立合适的平面直角坐标系

 

1. A 2. D 3. (4,1)

4.(1)建立如图所示的平面直角坐标系.因为边AB 上的高为4，所以点 C 的纵坐标为±4.又点C 的横坐标为-1，所以点 C 的坐标为(-1，4)或(-1,-4).

(2)由题意，得 (-4)]×4=12.

5. A 6. B 7. (-1,1) 8. (2,4,2)

9. (1) 如图所示:

 

 

5. 由题意,得点 N 的坐标为(m+3,2m+3),

(1)因为点 N 的纵坐标比横坐标大3，所以2m+3-(m+3)=3,解得 m=3.则点 M 的坐标为(6,5).

(2)因为点 M 到x 轴的距离为2，且在第四象限,所以2m-1=-2,解得 则点 N 的坐标为

6. B 7. A 8. C 9. 1 10. (3,-2)

11. (1,3)   解析:设 AE 交 y 轴于点 C,连接OE.由题意,得 AE=OD,AE⊥y 轴,S△OAB=S△DEF·又平行四边形 AEFB 的面积为 6,S平行四边形AEFB+S△OAB=S△AOE +S△ODE+S△DEF,所以S△AOE +S△ODE =6.又 O( 所以 即 AE·OC=6.又点 A 的坐标为(-1,3),所以AC=1,OC=3,即3AE=6,解得 AE=2.所以 CE=AE-AC=1.又点 E 在第一象限，所以点 E 的坐标为(1，3).

12. (1) 6

(2) 因为点 P 的坐标为(a,b),且点 P 在x 轴上,所以b=0.又2a-3m+1=0,3b-2m-16=0,所以 则点 P 的坐标为 又点 P'的坐标为(a+15,b+4),所以点 P′的坐标为(( ,₄).

(3) 因为2a-3m+1=0,3b-2m-16=0,所以 又a≤4<b,所以 解得-2<m≤3,则 m 的最小整数值为-1，

13. (-1,11) 解析:由题意,得把点 A₄ 先向右平

 

 

称，所以 解得 则 a,b的值分别为-8,-5.

(2) 因为点 A 的坐标为(2a-b,5+a),点 B 的坐标为(2b-1,-a+b),A,B 两点关于y轴对称，所以 解得 所以4a+b=-1.所以(

7. B 8. C   10. (4,-1)

11. (1) 由题意,得点 A₁ 的坐标为(-4,3),点B₁ 的坐标为(-1,0),点 C₁的坐标为(-6,0),连接 A₁B₁,A₁C₁,B₁C₁,即可得△A₁B₁C₁.图略.

(2)(-4,-1)

 

12. C  解析:过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C,则∠OCB = 90°. 又 ∠A = 90°, 所 以 ∠A =∠OCB. 又 OB 平分∠AOx,所以∠AOB =∠COB.又 OB =OB,所以△AOB≌△COB(AAS).所以OA=OC.又OA=2,所以OC=2.又点 B 的坐标为(a-1,a-2),所以a-1=2,即a=3.所以点 B 的坐标为(2,1),即点 B关于x 轴的对称点的坐标是(2，-1).

13. (1)△A₂B₂C₂三个顶点的坐标分别是 A₂(4,0),B₂(5,0),C₂(5,2).

(2) 因为点 M 的坐标是(3,0),所以OM=3.分类讨论如下：如图①，如果0<a≤3，那么点P₁在线段 OM 上.所以 ；如图②,如果a>3,那么点 P₁ 在点 M 的右边.所以 . 综上,PP₂ 的长是6.

 

 

6. 等边三角形 7. (3,3)

8. (1) △A₁B₁C₁如图所示,点 B₁ 的坐标为(2,3).

(2) △AB₂C₂如图所示,点 B₂ 的坐标为(-3,0).

9. (1) (-2,2)

 

(3)因为点 P(x，y)经过变换τ得到的对应点P'(x',y')与点 P 关于原点对称，所以τ(x，y)=(-x,-y).由题意，得点 P 的坐标为(x，2x),所以τ(x,2x)=(-x,-2x). 所以 即 因为x 为任 意 实数，所以 解得 则 a 的值为 ，b 的值为

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1. C

2. A 解析:由题意,得点 A₂ 的坐标为(-b+1,a+1),点 A₃的坐标为(-a,-b+2),点 A₄ 的坐标为(b-1,-a+1),点A₅ 的坐标为(a,b),点A₆的坐标为(-b+1,a+1)……则点 An(n为正整数)的坐标按(a,b),(-b+1,a+1),(-a,-b+2),(b-1,-a+1)依次循环.又2025÷4=506……1,所以点 A₂o₂₅的坐标为(a,b).

3. (-2,1) 4. (1,-1)

5. (1,0)或(2,0)或(( ,0)或   解析：过点 A 作AB⊥x轴于点 B.因为点 A 的坐标为