2.2 课时2 基本不等式的应用 同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 课时2 基本不等式的应用 【基础巩固】 1．设，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】∵，，且， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为. 2．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】设此矩形面向河的一边的边长为，相邻的一边设为，由题意得， 设围栏总长为，则， 当且仅当，即时，等号成立. 此时围栏总长最小需要米. 3．已知正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵正数满足，∴， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为. 4．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为 （ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【解析】由题意可得，一年的总运费与总存储费用和为 万元， 当且仅当，即时，等号成立. 一年的总运费与总存储费用和最小为万元. 5．（多选）已知，，且，则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】B,C 【解析】∵，，且， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为，故A错误. ∵， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为，故B正确. ∵， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最大值为，故C正确. ∵， 当且仅当，即时，等号成立. 不符合，故D错误. 6．若，，，则的最大值为_________. 【答案】 【解析】∵，，， ∴. ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最大值为. 7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为.如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，则最低总造价为_________. 【答案】 【解析】设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为，，水池的总造价为元，根据题意，有 ∵容积为，∴，∴. ∵， ∴， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是元. 8．已知正数满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】∵，，，∴. ∴， 当且仅当，即时，等号成立. ∴的最小值为，. ∴实数的取值范围为. 【能力拓展】 9．由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【答案】B 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价： ，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价： ,因，则，故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选:B． 10．（多选）若，，，且恒成立，则的值可能为 （ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】∵，，， ∴. ∴ ， 当且仅当，即，时，等号成立. ∴最小值是，故. 11．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为______. 【答案】 【解析】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 所以当用电最少时，的长度为. 【素养提升】 12．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求的最小值时，小明给出的解法是： .当且仅当时，取到最小值. (1)请你模仿小明的解法，研究的最小值； (2)求出当时，的最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)∵， ∴， 当且仅当时，等号成立.∴的最小值为. (2)∵，， ∴ ， 当且仅当时，等号成立. ∴的最小值为. 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 课时2 基本不等式的应用 【基础巩固】 1．设，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D．不存在 2．某养鸭户需要在河边用围栏围起一个面积为的矩形鸭子活动场地，面向河的一边敞开不需要围栏，则围栏总长最小需要（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为 （ ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 5．（多选）已知，，且，则（ ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 6．若，，，则的最大值为_________. 7．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为.如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，则最低总造价为_________. 8．已知正数满足，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【能力拓展】 9．由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 10．（多选）若，，，且恒成立，则的值可能为 （ ） A． B． C． D． 11．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为__________. 【素养提升】 12．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求的最小值时，小明给出的解法是： .当且仅当时，取到最小值. (1)请你模仿小明的解法，研究的最小值； (2)求出当时，的最小值. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $