12.2 第5课时 分段函数及其应用 - 【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(沪科版2024)安徽专版

12.2 一次函数 第5课时 分段函数及其应用 课题 分段函数及其应用 课型 新授课 教学内容 教科书第42-44页的内容 教学目标 1.理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象. 2.在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数． 3.通过画函数的图象，借助图象研究函数的性质. 教学重难点 教学重点：理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象. 教学难点：通过画函数的图象，借助图象研究函数的性质. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 某城市的出租车收费标准如下： 起步价：行驶距离不超过3 km时，一律收费11元； 基本里程费：超过3 km但不超过15 km的部分，按2.5元/km计价； 远程空驶费：超过15 km的部分，按3.5元/km计价（即加收长途返空费）； 低速等待费：因拥堵或乘客要求停车等待时，按每分钟0.6元计价. 假设乘客乘坐出租车行驶了x km，途中因拥堵等待了5 min.那么这位乘客所需付多少乘车费？ 【师生活动】教师引导学生分析问题，提醒学生对x分情况讨论，小组内交流讨论，讨论结束后教师暂时不给出答案，顺势引出本节课题，探究完以后本题留作检验，学生独立解决. 2.类比探究，学习新知 【探究】阅读教科书第42页例5. 【师生活动】教师预留时间，鼓励学生独立解决，遇到问题可小组内讨论交流.然后教师带领学生一起分析问题，最后以提问的形式，循序渐进解决问题. 分析：用水量以16 m3为界，分成两段，收费标准不一样：当0≤x≤16时，每立方米收费(1.3+1.2)元；当x＞16时，超过部分每立方米收费(2.0+1.2)元. 【问题1】求y与x之间的函数表达式.（提问学生黑板演示步骤） 当0≤x≤16时，y=(1.3+1.2)x=2.5x； 当x＞16时，y=(1.3+1.2)×16+(2.0+1.2)(x-16)=3.2x-11.2. 所以y与x之间的函数表达式为： 【问题2】画出上述函数的图象. （鼓励学生独立作图，提醒学生注意x的取值范围） x 8 16 y=3.2x-11.2 10.4 32 分析：列表： x 0 8 y=2.5x 0 10.4 描点、连线，画出函数图象如图12-15，发现函数图象是一段折线. 【问题3】当两户某月用水量为分别为10 m3和20 m3时，求这两户该月应缴的水费. 分析：先确定要求值的自变量属于哪一段范围，然后代入该段的解析式求值. 当x=10 时，y=2.5×10=25； 当x=20时，y=3.2×20-11.2=52.8. 答：这两户该月应缴的水费分别为25元、52.8元. 【问题4】某一户某月缴水费59.2元，求该户这个月用水量. 分析：把对应y的值代入函数解析式. 因为59.2＞2.5×16 ，所以该户这个月用水量超过16 m3. 因此，3.2x-11.2=59.2，解方程，得x=22. 答：该户这个月的用水量为22 m3. 【归纳】在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数. 注意：（1）书写解析式时要用大括号将几个式子括起来； （2）每个式子后面标明自变量的取值范围； （3）临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内. 3.学以致用，应用新知 考点 分段函数 【例】电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月电量分段收费的办法，已知某户居民每月应缴电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图），根据图象解答下列问题： （1）当该用户某月用电50度，则应缴费 元； （2）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）当0≤x≤100时， 每度电的价格为65÷100=0.65（元）， 用电50度，则应缴费 0.65×50=32.5（元）. （2）由（1）可知，当0≤x≤100时，y=0.65x； 当x＞100时，设电费y（元）关于用电量x（度）的函数关系式是y=ax+b,解得即当x＞100时，电费y（元）关于用电量x（度）的函数关系式是y=0.8x-15. 由上可得，电费y（元）关于用电量x（度）的函数关系式是y= 4.随堂训练，巩固新知 （1）参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表． 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 500～1 000元的部分 60 1 000～3 000元的部分 80 … … 某人住院治疗后得到保险公司的报销金额是1 100元，那么此人住院的医疗费是（　　） A．1 000元 B．1 500元 C．1 625元 D．2 000元 答案：D （2）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (min)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示： ①月通话为100 min时，应交话费 元； ②当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； ③月通话为280 min时，应交话费多少元？ 解：(1)40 (2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 由图可知：x=100时，y=40；x=200时，y=60. 则有解得 所以y=x+20. (3)把x=280代入y=x+20，得y=76， 即当月通话为280 min时，应交话费76元. 5.课堂小结，自我完善 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）什么是分段函数？ （2）书写分段函数的解析式时应注意哪些点？ 6.布置作业 教科书第43页练习第1-2题，第47页习题12.2第10题． 用日常生活场景中的问题带领学生进入分段函数的研究. 以例题的形式进入本节课题，让学生在解决实际问题的过程中了解分段函数. 以生活中实际问题为背景，激发学生探究的兴趣. 引导学生总结分段函数的定义及书写分段函数的解析式时需要注意的点.锻炼学生的归纳能力和总结能力. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，会用分段函数解决问题. （1）利用“单价=总价÷数量”可得0≤x≤100时的单价，进而得出用电50度的电费； （2）利用待定系数法解答即可． 首先依据表格，列出y与x的函数关系式（分为x≤500、500＜x≤1 000、1 000＜x≤3 000三种情况）；接下来，依据保险公司的报销金额是1 100元，确定出y与x所符合的关系式，然后将y=1 100代入求得x的值即可． ①根据函数图形可以得到当x取100时y的值，指出来即可； ②从x的取值范围中找到直线经过的两点，用待定系数法求出函数的解析式即可； ③将x的值代入上题求得的函数解析式即可求出应缴话费． 让学生自己梳理本节课的知识框架，并说出自己的认识. 加深认识，深化提高. 板书设计 1.分段函数的定义. 2.书写分段函数时需要注意的点. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 分段函数的出现是实际生活中的一种需要，对自变量的不同取值，用不同的表达式表示同一个函数关系，所以分段函数是一个函数而不是几个函数.在教学中可以让学生举出大量实例加以说明，并写出分段函数的表达式. 教后反思，累积经验. 1 学科网（北京）股份有限公司 $