12.1 第1课时 函数及其相关概念- 【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(沪科版2024)安徽专版

12.1 函 数 第1课时 函数及其相关概念 课题 函数及其相关概念 课型 新授课 教学内容 教科书第24-26页的内容 教学目标 1.了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量. 2.初步了解自变量与函数的意义，能写出简单的函数表达式． 3.通过观察、分析生活中两个变量的运动变化过程，引导学生探索实际问题中的数量关系，培养学生利用函数的观点. 教学重难点 教学重点：学会分析某一变化过程中的常量与变量，并能分辨出哪个量是自变量.了解函数的基本概念. 教学难点：了解函数的意义，识别函数关系中，哪个变量是自变量. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 我们生活在一个变化的世界中，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化.如热气球上升后到达的海拔高度随着上升时间的变化而变化，汽车行驶的路程随时间的变化而变化…… 如何刻画两个变量之间的关系呢？ 2.观察感知，理解概念 【问题1】阅读教科书第24页问题1，分小组讨论交流，回答问题. 【师生活动】教师带领学生仔细观察，并提出以下几个问题引导学生理解： （1）计时一开始，热气球的高度是多少？ （学生回答：1 800 m） （2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？（学生回答：有，每过1 min热气球就升高30 m) （3）（教师根据（2）的回答继续追问）同学们回答的很对，我们常把这叫作热气球在升空过程中上升的平均速度.你能总结出h与t的关系吗？ 教师点拨：既然大家说1 min上升了30 m，那么2 min呢？（30 m×2） 3 min，4 min，…，（30 m×3，30 m×4，…)， 那么t min呢？（30t m） 继续追问：这是热气球所在的海拔高度吗? （不是，这是热气球上升的高度，热气球所在海拔高度应加上先前所在的海拔高度1 800 m） 【师生活动】提问学生回答教科书P24问题1中的（1）~（3）. （1）涉及的量：热气球刚开始时所在的高度是1 800 m、热气球升空的时间t、升空的高度h. （2）30 m. （3）上升后3 min时热气球到达的海拔高度为1 890 m； 上升后6 min时热气球到达的海拔高度为1 980 m. 【追问1】想一想刚才热气球在升空过程中哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ 学生回答：热气球刚开始时所在的高度1800 m和上升的平均速度30 m/min没有发生变化；升空的高度h和升空的时间t发生了变化. 师生共同归纳总结：我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量. 【追问2】你知道如何判断常量和变量吗？（小组内交流讨论） 教师总结：常量和变量必须存在于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需这两个方面： （1）看它是否在同一个变化过程中； （2）看它在这个变化过程中的取值是否改变. 【问题2】阅读教科书第24页问题2，分小组讨论交流，回答问题. 【师生活动】学生回答教科书上的问题（1），教师继续提问：这个问题中，哪个量是常量，哪些量是变量？（是常量，s，v是变量） 【师生活动】教师引导学生计算教科书上的问题（2），鼓励学生独立计算，然后提问：通过计算发现了什么？ 学生回答：发现代入一个v值，就得到一个确定的s值. 师生共同猜想：对于车速v的每一个值，相应的制动距离s的值都是唯一确定的.（带着这个猜想继续探究） 【问题3】阅读教科书第25页问题3，回答问题. 【师生活动】在前面问题1、2的基础上，教师鼓励学生先独立思考解决问题，提醒学生仔细观察图象.教师巡视，观察学生给出的答案，及时给予帮助和点评.观察学生都完成解答后教师继续提问：本题所涉及的量中，哪个是变量？（时间t、用电负荷y） 设计思路：通过这个问题，以图象的形式，让学生更加形象地认识对于横轴上时间t的每一个值，纵轴上用电负荷y的值都是唯一确定的.进一步证实问题2中的猜想. 教师提问：在以上3个问题中，发现都有两个变量，两个变量之间的对应关系（教师课件展示如下），你有什么发现？小组内交流讨论. 问题1：热气球升空的高度h与时间t， t=3时，h=1 890；t=6时，h=1 980. 问题2：制动距离s与车速v， v=40时，s=6.25；v=80时，s=25. 问题3：用电负荷y与时间t, t=4.5时，y=10；t=20时，y=16. 提问各小组学生代表回答后，师生共同总结：发现当其中某个变量取定一个值时，根据此对应关系就唯一确定另一个变量的值. 【归纳】一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值的范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x是自变量.当x=a时，y=b，则b叫作当自变量的值为a时的函数值. 3.学以致用，应用新知 考点1 常量与变量 【例1】我们知道，圆的周长公式是C=2πr,那么在这个公式中，变量是 （　　） A．C，π，r B．π，r C．C，r D．r 答案：C 考点2 函数的概念 【例2】下列曲线中不能表示y是x的函数的是 （　　） A B C D 答案：C 考点3 函数关系 【例3】小红到文具店买彩笔，每盒彩笔是12支，售价8元，那么购买彩笔所需的钱数y（元）与购买彩笔的支数x（支）之间有怎样的关系？指出其中的常量与变量，以及哪个变量是自变量？ 解：由题意可知，每支彩笔的价格是8÷12=（元），所以y=x. 其中是常量，x，y是变量，其中购买彩笔的支数x是自变量. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列各图能表示y是x的函数的是（　　） A B C D 答案：C （2）要画一个面积为30cm2长方形，其长为x cm，宽为y cm，在这一变化过程中，常量与变量分别为（　　） A．常量为30，变量为x，y B．常量为30，y,变量为x C．常量为30，x,变量为y D．常量为x，y,变量为30 答案：A （3）一石激起千层浪，一枚石子投入水中，会在水面上激起一圈圆圆形涟漪，如图所示（这些圆的圆心相同）． ①当圆的半径为1 cm时，圆的面积为 cm²；面积随 的变化而变化，当半径由2cm增加到5cm时，面积增加了 cm²； ②在这个变化过程中，自变量是 ， 是半径的函数． 答案：①π 半径 21π ②半径 面积 5.课堂小结，自我完善 师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题： （1）你能分清一个问题中的变量与常量吗？ （2）你能分清一个问题中的自变量吗？ 6.布置作业 教科书第26页练习第1-3题，第33页习题12.1第1题． 选取学生熟悉的生活情境，让学生感受其中的变化，从这些感受中逐渐领悟知识. 挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题，让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程，直接获得探索变量关系的体验. 让学生初步感知如何用表达式来表示两个变量之间的关系,为后面学习列函数表达式做铺垫. 让学生明确如何判断常量和变量. 以表格、公式、图象的方式，循序渐进，让学生从不同问题中认识变量与常量，为接下来认识函数做铺垫. 让学生在自主探究的过程中进一步理解“对于x在它允许取值的范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应”. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，突破难点. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容. 板书设计 1.变量与常量的概念 2.判断变量与常量的方法 3.自变量、函数、函数值的概念 提纲挈领，重点突出. 教后反思 在简单实际问题中，常常只涉及两个变量共同变化下的相依关系，函数关系就是在某一范围内，知道了一个变量的值后，就能唯一确定另一变量的值的那种确定的对应关系.函数的概念的表述方法很多，初中主要是借助变量给出的，所以本节在具体的问题情境中让学生体会常量、变量和函数的意义. 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 1 学科网（北京）股份有限公司 $