重庆市万州沙河中学2025-2026学年高一上学期数学练习题（一）

万州沙河中学高2028届高一数学练习题（一） 参考答案 一、选择题(共8题) 1．已知集合A={0，1，2}，则下列结论正确的是（　　） A. 3∈A B. 1∈A C. 2∉A D. 0∉A 【答案】B 2．下列元素与集合的关系中，正确的是（　　） A. B. π∈Q C. 0∉N* D. -1∈N 【答案】C 3．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁UA）∪B=（　　） A. {4} B. {2，3} C. {0，2，3，4} D. {1，2，3，4} 【答案】C 4．已知全集U=R，集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A. {x|x≤0或x≥1} B. {x|x≤-1或x≥2} C. {x|0＜x＜1} D. {x|x-1＜x＜2} 【答案】B 5．设集合A={0，1}，B={1，a-2，a-1}，若A⊆B，则a=（　　） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1或2 【答案】C 6．已知集合，则下列结论正确的是（　　） A. M=N B. M⊂N C. N⊆M D. N∩M=∅ 【答案】B 7．若集合A={x|a＜x＜2a-1}，B={x|1＜x＜3}，且A⊆B，则a的取值范围是（　　） A. a≤1 B. a＜2 C. 1＜a＜2 D. a≤2 【答案】D 8．已知集合A={x|x＜-1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　） A. {a|-≤a＜1} B. {a|-≤a≤1} C. {a|a＜1或a≥0} D. {a|-≤a＜0或0＜a＜1} 【答案】A 二、多选题(共3题) 9．下列说法中错误的是（　　） A. 2024年高考数学成绩好的考生可构成集合 B. 集合{1，2，3}与{3，2，1}是两个相同的集合 C. 方程（x-1）2（x-2）=0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2} D. 集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示 【答案】ACD 10．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足：A∩B={3，5}，（∁UA）∩（∁UB）={2，4}，则下列说法正确的为（　　） A. 4∈A B. 6∈A∪B C. 集合A可能是{1，3，5，6} D. （∁UA）∪（∁UB）={1，2，4，6} 【答案】BCD 11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F，且满足E∪F=Q，E∩F=∅，E中的每个元素都小于F中的每个元素，称（E，F）为戴德金分割．下列结论正确的是（　　） A. E={x∈Q|x＜1}，F={x∈Q|x＞1}是一个戴德金分割 B. 存在一个戴德金分割（E，F），使得E有一个最大元素，F没有最小元素 C. 存在一个戴德金分割（E，F），使得E有一个最大元素，F有一个最小元素 D. 存在一个戴德金分割（E，F），使得E没有最大元素，F也没有最小元素 【答案】BD 三、填空题(共3题) 12．已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={2，4，6}，则A∩B= _____． 【答案】{2} 【解析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 解：集合A={x|x2-5x+6=0}={2}，B={2，4，6}， 则A∩B={2}． 故答案为：{2}． 13．若集合A={x|ax2-3x+1=0}的子集只有两个，则实数a= _____． 【答案】0或 【解析】根据题意知道A有一个元素，然后讨论a是否为0，然后得出a的值即可． 解：∵A的子集只有两个， ∴A有一个元素， ①a=0时，，满足题意； ②a≠0时，Δ=9-4a=0，解得， ∴a=0或． 故答案为：0或． 14．已知M是同时满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M，②若x,y∈M，则x-y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． 下列结论中正确的是_____． （1）∈M； （2）-1∉M； （3）若x,y∈M，则x+y∈M； （4）若x,y∈M，则xy∈M． 【答案】（1）（3）（4） 【解析】根据条件①②可知-1∈M所以（2）错误，．由-1∈M、1∈M由条件②③可推出∈M所以（1）成立．由0-y∈M可知-y∈M，由条件②可推出x-（-y）=x+y∈M所以（3）成立．由1∈M、x∈M得x-1∈M，由条件③可知∈M、可得+=∈M、-=∈M，由条件③得∈M、x-x2∈M可知x2∈M，若y∈M，则y2∈M、x+y∈M，所以（x+y）2∈M、x2+y2∈M，所以∈M、∈M，所以-=xy∈M所以（4）成立． 解：∵0∈M，1∈M，∴0-1=-1∈M．故（2）不成立． ∵1∈M，-1∈M，∴1-（-1）=2∈M，∴2-（-1）=3∈M，∴∈M．故（1）成立． ∵y∈M，∴-y∈M，又∵x∈M，∴x-（-y）=x+y∈M．故（3）成立． ∵x∈M，∴x-1∈M，∴∈M、∈M，∴+=∈M、-=∈M ∴∈M、x-x2∈M，∴x2∈M，∴∈M，同理∈M，∴∈M，∈M ∴，当x=0时，xy=0符合，当x=1时，xy=y也符合，故（4）成立． 故答案为：（1）（3）（4）． 四、解答题(共5题) 15．已知全集U={-4，-1，0，1，2，4}，M={x∈Z|0≤x＜3}，N={x|x2-x-2=0}． （1）求M∪N，∁U（M∩N）； （2）求（∁UM）∩（∁UN）． 【解析】（1）求出集合M、N，再求M∪N，∁U（M∩N）； （2）求出∁UM、∁UN，再求（∁UM）∩（∁UN）． 解：（1）N={x|x2-x-2=0}={-1，2}，M={x∈Z|0≤x＜3}={0，1，2}， 所以 M∪N={-1，0，1，2}． 因为M∩N={2}，所以∁U（M∩N）={-4，-1，0，1，4}； （2）因为∁UM={-4，-1，4}，∁UN={-4，0，1，4}， 所以（∁UM）∩（∁UN）={-4，4}． 16．已知集合A={x|x2+px+6=0}，B={x|x2+mx-n=0}，A∩B={3}，A∪B={2，3，5}，求： （1）p的值； （2）集合A和集合B； （3）m,n的值． 【解析】（1）由题设有3∈A，代入集合中方程求参数即可； （2）由（1）所得参数，即可求集合A，再根据交并运算结果确定集合B； （3）由（2）3，5∈B，代入集合B中方程求参数． 解：（1）由题设3∈A，集合A={x|x2+px+6=0}， 故9+3p+6=0，则p=-5． （2）由（1）知：A={x|x2-5x+6=0}={2，3}， 又A∩B={3}，A∪B={2，3，5}，所以B={3，5}； （3）由（2）知3，5∈B，B={x|x2+mx-n=0}， 则，可得． 17．已知集合A={x|-3≤x＜4}，B={x|2m-1≤x≤m+1}． （1）当m=1时，求A∩（∁RB）； （2）若A∩B=B，求实数m的取值范围． 【解析】（1）先计算∁RB，再计算A∩（∁RB）； （2）由A∩B=B得B⊆A，再分类讨论． 解：（1）当m=1时，B={x|2m-1≤x≤m+1}． 则B={x|1≤x≤2}，则∁RB={x|x＜1或x＞2}， 集合A={x|-3≤x＜4}， 则A∩（∁RB）={x|-3≤x＜1或2＜x＜4}． （2）若A∩B=B，则B⊆A， 当B=∅时，2m-1＞m+1，即m＞2； 当B≠∅时，-3≤2m-1≤m+1＜4，得-1≤m≤2， 则实数m的取值范围为{m|m≥-1}． 18．已知集合A={x|mx2+x-2=0}，B={x|2x2-5x-12=0}． （1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； （2）若A∪B=B，求实数m的取值范围． 【解析】（1）分类讨论当m=0、m≠0时方程根的个数，即可求解； （2）求得集合B，分m=0、m≠0结合Δ=12-4×m×（-2）的情况讨论方程的解的情况，可求实数m的取值范围． 解：（1）若m=0，方程化为x-2=0，此时方程有且仅有一个根x=2； 若m≠0，则当且仅当方程的判别式Δ=12-4×m×（-2）=0， 即时，方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， 所以实数m的值为m=0或m=-； （2）， 因为A∪B=B，所以A⊆B， 由（1）知m=0时，A={2}，不符合A⊆B， 当m≠0时，若Δ=12-4×m×（-2）＜0， 解得，此时A=∅，符合A⊆B， 若Δ=12-4×m×（-2）=0，解得， 此时方程mx2+x-2=0的根为x=4，集合A={4}，符合A⊆B， 若Δ=12-4×m×（-2）＞0，由A⊆B，则可得， 此时有且，无解， 综上所述：实数m的取值范围为． 19．设集合A是至少有两个元素的实数集，集合B={z|z=xy,x,y∈A且x≠y}，称集合B为集合A的积集． （1）当A={1，3，7}时，写出集合A的积集B； （2）若A是由4个正实数构成的集合，求其积集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合A，使其积集B={2，3，5，6，10，12，18，24}，并说明理由． 【解析】（1）根据定义即可求解； （2）根据积集的定义即可求解； （3）根据A={a,b,c,d,e}，可得集合B中最大两个元素以及最小的两个元素，即可根据ab=2，ac=3，ce=18，de=24得矛盾求解． 解：（1）因为A={1，3，7}， 所以集合B中所有可能的元素有1×3，1×7，3×7，即3，7，21， 所以B={3，7，21}； （2）设A={a,b,c,d}，不妨设0＜a＜b＜c＜d, 因为ab＜ac＜ad＜bd＜cd, 所以B中元素个数大于等于5个， 又当A={21，22，23，24}时，B={23，24，25，26，27}，此时B中元素个数等于5个， 此时积集B中元素个数的最小值为5； （3）不存在，理由如下： 假设存在5个正实数构成的集合A={a,b,c,d,e}， 使其积集B={2，3，5，6，10，12，18，24}，不妨设0＜a＜b＜c＜d＜e, 则0＜ab＜ac＜ad＜ae＜be＜ce＜de.ac＜bc＜ce,bd＜ce, 所以ab=2，ac=3，ce=18，de=24， 设，则b=2x,c=3x,，d=4x, 所以，但集合B中不存在元素4，所以矛盾，假设不成立， 故不存在5个正实数构成的集合A，使其生成集B={2，3，5，6，10，12，18，24}． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 万州沙河中学高2028届高一数学练习题（一） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知集合A={0，1，2}，则下列结论正确的是（　　） A. 3∈A B. 1∈A C. 2∉A D. 0∉A 2．下列元素与集合的关系中，正确的是（　　） A. B. π∈Q C. 0∉N* D. -1∈N 3．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁UA）∪B=（　　） A. {4} B. {2，3} C. {0，2，3，4} D. {1，2，3，4} 4．若全集U=R，集合M={x|-1＜x＜1}，N={x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是（　　） A. {x|x≤0或x≥1} B. {x|x≤-1或x≥2} C. {x|0＜x＜1} D. {x|x-1＜x＜2} 5．设集合A={0，1}，B={1，a-2，a-1}，若A⊆B，则a=（　　） A. 2 B. 3 C. 1 D. 1或2 6．已知集合，则下列结论正确的是（　　） A. M=N B. M⊂N C. N⊆M D. N∩M=∅ 7．若集合A={x|a＜x＜2a-1}，B={x|1＜x＜3}，且A⊆B，则a的取值范围是（　　） A. a≤1 B. a＜2 C. 1＜a＜2 D. a≤2 8．已知集合A={x|x＜-1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（　　） A. {a|-≤a＜1} B. {a|-≤a≤1} C. {a|a＜1或a≥0} D. {a|-≤a＜0或0＜a＜1} 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的是（　 　） A. 2024年高考数学成绩好的考生可构成集合 B. 集合{1，2，3}与{3，2，1}是两个相同的集合 C. 方程（x-1）2（x-2）=0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2} D. 集合{x|4＜x＜5}可以用列举法表示 10. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足：A∩B={3，5}， （∁UA）∩（∁UB）={2，4}，则下列说法正确的为（　 　） A. 4∈A B. 6∈A∪B C. 集合A可能是{1，3，5，6} D. （∁UA）∪（∁UB）={1，2，4，6} 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F，且满足E∪F=Q，E∩F=∅，E中的每个元素都小于F中的每个元素，称（E，F）为戴德金分割．下列结论正确的是（　 　） A. E={x∈Q|x＜1}，F={x∈Q|x＞1}是一个戴德金分割 B. 存在一个戴德金分割（E，F），使得E有一个最大元素，F没有最小元素 C. 存在一个戴德金分割（E，F），使得E有一个最大元素，F有一个最小元素 D. 存在一个戴德金分割（E，F），使得E没有最大元素，F也没有最小元素 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={2，4，6}，则A∩B= ． 13. 若集合A={x|ax2-3x+1=0}的子集只有两个，则实数a= ． 14. 已知M是同时满足下列条件的集合： ①0∈M，1∈M，②若x,y∈M，则x-y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M． 下列结论中正确的是_____． （1）∈M；（2）-1∉M；（3）若x,y∈M，则x+y∈M；（4）若x,y∈M，则xy∈M． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分）已知全集U={-4，-1，0，1，2，4}，M={x∈Z|0≤x＜3}，N={x|x2-x-2=0}． （1）求M∪N，∁U（M∩N）； （2）求（∁UM）∩（∁UN）． 16. （15分）已知集合A={x|x2+px+6=0}，B={x|x2+mx-n=0}，A∩B={3}，A∪B={2，3，5}，求：（1）p的值； （2）集合A和集合B； （3）m,n的值． 17. （15分）已知集合A={x|-3≤x＜4}，B={x|2m-1≤x≤m+1}． （1）当m=1时，求A∩（∁RB）； （2）若A∩B=B，求实数m的取值范围． 18.（17分）已知集合A={x|mx2+x-2=0}，B={x|2x2-5x-12=0}． （1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； （2）若A∪B=B，求实数m的取值范围． 19. （17分）设集合A是至少有两个元素的实数集，集合B={z|z=xy,x,y∈A且x≠y}，称集合B为集合A的积集． （1）当A={1，3，7}时，写出集合A的积集B； （2）若A是由4个正实数构成的集合，求其积集B中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合A，使其积集B={2，3，5，6，10，12，18，24}，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $