15.1.1轴对称及其性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版八年级数学上册大单元教学分层优化练

2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 15.1.1轴对称及其性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 轴对称图形及对称轴 1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 2.判断一个图形是否轴对称图形可利用轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，看是否能够完全重合，若完全重合，则这个图形就是轴对称图形。否则不是轴对称图形。 要点诠释： （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 题型1轴对称图形的识别 例1．下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列四幅图是奥林匹克运动会会徽，其图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列四幅图中，是轴对称图形的是（     ） A．     B．   C．   D．   【变式1-3】．“传承弘扬中华体育精神，凝聚强国复兴体育力量”，通过体育桥梁向世界展现大国形象，推动中国文化走向世界．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 要点诠释： 1.两个图形之间的特殊位置关系 2.两个图形成轴对称时，对称轴是唯一的 题型2 成轴对称图形的识别 例2．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B．C． D． 【变式2-1】．下列两个电子数字成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．下面图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 要点诠释： 轴对称图形 ：沿对称轴折叠后两部分重合，对称轴可能唯一（如等腰三角形）或无数（如圆）。 两个图形成轴对称 ：通过平移、旋转等操作可视为一个整体轴对称图形，其对称轴由对应点连线垂直平分确定 题型3 利用轴对称特征进行判断 例3．下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 【变式3-1】．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】．如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 题型4 利用轴对称性质求解 例4．如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上，若，，，则线段的长为(　　) A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，在中，，点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 题型5 轴对称与实际问题 例5．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-2】．光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【变式5-3】．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    题型6 折叠中的轴对称 例6．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ． 【变式6-1】．在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 【变式6-2】．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在，的位置上，与交于G点，若，则 ． 【变式6-3】．如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 题型7 跨学科中的轴对称 例7．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为 ．      【变式7-1】．汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【变式7-2】．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，． （1）ED的长为 ． （2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为 ． 【变式7-3】．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 例8．如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 【变式8-1】．翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题： (1)如图1，在中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P． ①若，，求的度数； ②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）． 【变式8-2】．在中，，，在的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点． (1)如图1，①若，，求的周长；②若，求的度数； (2)如图2，当时，作于点，若，，求的长． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．在下列山西剪纸图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 4．剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个简易的飞机模型示意图，机翼和关于机身对称，交于点，已知．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形关于直线l对称，有如下结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 7．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 10．观察下列图形，其中是轴对称图形的是 （填序号） 11．如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 12．如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 13．如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到点，，，在平面直角坐标系中顺次连接这些点，画出得到的图形，这个图形与有什么位置关系？ 15．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 16．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点_____，的对应角是_____； (2)已知，，求的长． 17．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 18．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 19．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，分别在边上，分别以为折痕进行折叠并压平，点的对应点分别是点和点．甲同学的操作如图、其中 ；乙同学的操作如图、落在所在直线上；丙同学的操作如图，落在上，落在上． (1)图中的度数为 ； (2)求出图中的度数； (3)图中的度数为 ． 20．综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． B 抓核心 二大题型提升练 C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版八年级数学大单元教学分层优化练 15.1.1轴对称及其性质（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 轴对称图形及对称轴 1.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 2.判断一个图形是否轴对称图形可利用轴对称图形的定义，将图形沿一条直线折叠，看是否能够完全重合，若完全重合，则这个图形就是轴对称图形。否则不是轴对称图形。 要点诠释： （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 题型1轴对称图形的识别 例1．下列图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】．下列四幅图是奥林匹克运动会会徽，其图案为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选A． 【变式1-2】．下列四幅图中，是轴对称图形的是（     ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【变式1-3】．“传承弘扬中华体育精神，凝聚强国复兴体育力量”，通过体育桥梁向世界展现大国形象，推动中国文化走向世界．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断四个选项中的图标是否沿某条直线对折后能完全重合，从而确定答案． 轴对称图形的定义为：一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图标沿任意直线对折后，两部分无法完全重合，不是轴对称图形； B、该图标沿中间竖直直线对折后，左右两部分能完全重合，是轴对称图形； C、该图标沿任意直线对折后，两部分无法完全重合，不是轴对称图形； D、该图标沿任意直线对折后，两部分无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：B． 知识点2 两个图形成轴对称 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 要点诠释： 1.两个图形之间的特殊位置关系 2.两个图形成轴对称时，对称轴是唯一的 题型2 成轴对称图形的识别 例2．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式2-1】．下列两个电子数字成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：选项A，B，C的两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称， 选项D中两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 【变式2-2】．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【变式2-3】．下面图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成轴对称的两个图形的识别 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，理解基本定义是解题关键． 知识点3 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 要点诠释： 轴对称图形 ：沿对称轴折叠后两部分重合，对称轴可能唯一（如等腰三角形）或无数（如圆）。 两个图形成轴对称 ：通过平移、旋转等操作可视为一个整体轴对称图形，其对称轴由对应点连线垂直平分确定 题型3 利用轴对称特征进行判断 例3．下列说法中错误的是（    ） A．关于某直线成轴对称的两个图形全等 B．面积相等的两个三角形成轴对称 C．两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 D．成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的相关概念． 根据轴对称的相关概念逐一判断即可． 【详解】解：A．关于某直线成轴对称的两个图形全等，原说法正确； B． 面积相等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误； C． 两个成轴对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴，原说法正确； D． 成轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后能完全重合，原说法正确； 故选：B 【变式3-1】．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段．根据轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， A．，则此项正确，不符合题意； B．，则此项正确，不符合题意； C．，则此项正确，不符合题意； D．不一定正确，则此项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 【变式3-3】．如图1是山西博物院主馆，整体外观造型“如斗似鼎”．小明绘制了从正面看到的主馆图（图2），该图形是一个轴对称图形，直线是它的对称轴，则下列说法错误的是（   ） A． B．线段被直线垂直平分 C． D． 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查的是轴对称图形，熟知关于轴对称图形的相关性质是解题的关键，利用性质逐一对选项进行判断． 【详解】A选项，轴对称图形对应角相等A选项，所以，故A正确； B选项，轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分，因为，是对应点，所以线段被直线垂直平分，故B正确； C选项，由图可知，和为一组对应角，所以，故C错误； D选项，轴对称图形对应线段相等，所以，故D正确． 故答案选：C． 题型4 利用轴对称性质求解 例4．如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上，若，，，则线段的长为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段的和与差、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，再进一步求解可得答案． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，， ，，， ，， 即， 则线段的长为：． 故选：B． 【变式4-1】．如图，在中，，点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积及等积变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 连接并延长交于，记与交于，连接，，依据，，，可得，进而得出再根据，可得，进而得到． 【详解】解：如图，连接并延长交于，记与交于，连接，， ∵点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为， ∴，，，， ， ∴，，， ∴， ∴, ∴， ∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得 ∴， ∴， ∴， ∴与的面积之比为， 故选：B． 【变式4-2】．如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式4-3】．如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接根据轴对称的性质，得出即可．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】解：由轴对称性质可知：． 故选：D． 题型5 轴对称与实际问题 例5．如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞人袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】台球桌面上的轴对称问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、轴对称的性质：如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．先根据三角形的内角和定理求得，再根据反射角等于入射角得到，进而可得答案． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-1】．如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】轴对称中的光线反射问题、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，，， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】．光线照射到平面镜上时会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线(垂直于平面镜的直线叫法线)的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，且，在上有一点，从点射出一束光线(入射光线)，经平面镜点处反射后，反射光线刚好与平行，则的度数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称中的光线反射问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是作出辅助线，在直角三角形中解决问题．过点作交于点．根据题意知，是的角平分线，故；然后又由两直线推知内错角；最后由三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，如图，过点作交于点． 入射角等于反射角， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， 故选：B． 【变式5-3】．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是 .    【答案】 【知识点】台球桌面上的轴对称问题、点坐标规律探索 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 题型6 折叠中的轴对称 例6．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则 ． 【答案】/度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】．在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则 °． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则 °． 【答案】 45 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数、对顶角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 【变式6-2】．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，D、C分别落在，的位置上，与交于G点，若，则 ． 【答案】/68度 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质求得的度数，再根据折叠求得的度数，最后根据平角的定义计算的大小． 【详解】解：∵为长方形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】．如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 【答案】/度 【知识点】折叠问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型7 跨学科中的轴对称 例7．已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面与水平面的夹角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板 的夹角，反射光束为，则反射光束与平面镜的夹角的度数为 ．      【答案】/度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形求解是解题关键．过点D作，根据平行线的性质得出，，结合图形求解即可． 【详解】解：过点D作， 根据题意得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】．汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域的成就，下图是古人利用光的反射定律改变光路的方法．在综合实践课上，小明固定镜面，将镜面绕点逆时针转动（），在光源处发出的一束光射到水平镜面后沿反射到镜面上，随后沿反射出去．已知，当反射光线所在直线与镜面所在直线的夹角为时， 度．（入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角即，） 【答案】或或 【知识点】轴对称中的光线反射问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和角的计算，熟知反射角等于入射角以及分类讨论是解题的关键．根据的变化可知反射光线所在直线与镜面所在直线得交点可能在或延长线上，分类讨论，然后利用入射角等于反射角，即可求解． 【详解】解：①如图所示，， ， ， ， ， ， 在中，； ②如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ＝， 设，则， 在中，， ， 解得， ； ③如图所示，当是钝角时，此时设反射光线所在直线与镜面所在直线交点为点，且， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，或或； 综上所述，或或 故答案为：或或． 【变式7-2】．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，． （1）ED的长为 ． （2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为 ． 【答案】 13 【知识点】轴对称中的光线反射问题、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意，证明△ABP∽△EDP，根据相似三角形的性质，即可求出ED的长度； （2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x,在Rt△BDN中，由勾股定理D′B，可证△ABH∽△BD′D∽△E′D′F,，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′．△AHP′∽△E′FP′，，解得x=1.5． 【详解】解：（1）由题意， ∵， ∴， ∵从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E． ∴， ∴△ABP∽△EDP， ∴， 即， ∴； 故答案为：13． （2）过A作AH⊥BN交NB延长线于H，过E′作E′F⊥BN于F，设E′D=x,E′D′=5+x, 在Rt△BDN中， ∵BD=12，DD′=5， 由勾股定理D′B=， ∵∠AHB=∠ABD=∠E′FN=∠BDD′=90°， ∴∠ABH+∠DBD′=∠DBD′+∠DD′B=+∠E′D′F, ∴∠ABH=∠BD′D=∠E′D′F, ∴△ABH∽△BD′D∽△E′D′F, ∴，， ∴,， ∴， ∵从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上形成一个光点E′． ∴， ∴△AHP′∽△E′FP′，HP′=HB+BP=2.5+4=6.5，P′D′=BD′-BP′=13-4=9， P′F= P′D′-FD′=9-， ∴即， 解得x=1.5， 经检验x=1.5是方程的解， EE′=DE-DE′=13-1.5=11.5=． 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，掌握相似三角形性质与判定，勾股定理，光束经平面镜P性质，利用相似三角形的性质构造方程是解题关键． 【变式7-3】．【问题初探】数学课上，老师和学生做数学书39页的做一做的内容 如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． （1）若，则； （2）的余角是_________； 【学科融合】 物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律（rfectionlaw）． 【数学推理】 （3）如图1，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：．在这样的条件下，求证：． 【尝试探究】 （4）两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图2，光线与相交于点，则_________；（用含有字母的式子表示） 【答案】（1）30；（2）的余角是：；（3）见解析（4）； 【知识点】同旁内角互补两直线平行、台球桌面上的轴对称问题、求一个角的余角、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据轴对称性质求解即可； （2）根据余角的定义求解即可； （3）根据反射定律得，，又，得出，由平行线的判定即可得出结论； （4）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴． （2）证明：∵ ∴，， ∵ ∴ ∴的余角是，． （3）， ∴， ∴， 由反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； （4），，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了余角的定义，平行线的判定，轴对称的性质，反射定律，三角形内角和定理，熟练掌握余角的定义：两角的和等于90度，这两角互为余角，平行线的判定定理是解题的关键． 例8．如图，在中，点D，E分别在，边上，连接，交于点F，且垂直平分，连接． (1)若的周长为22，的周长为8，求的长． (2)若，，求∠CDE的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，求出，再根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点A与点E关于对称， ∴， ∵的周长为22，的周长为8， ∴， ∴， ∴． （2）解：在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质、三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式8-1】．翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题： (1)如图1，在中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P． ①若，，求的度数； ②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)①；②，理由见解析； (2)． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识． （1）①利用角平分线的定义结合三角形的外角性质求解即可；②由外角定理和角平分线的定义，得，求得，同理求得，结合轴对称性质，得； （2）作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接，当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小，据此利用轴对称的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； ②猜想． 证明如下： 是的外角， ， 同理可证：， 分别平分， ， ， ∵平分，平分， ∴， ∴ ． 又由轴对称性质知：， ∴； （2）解：如图，作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接， ∵点是定点， ∴点也是定点， ∴当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小， 由轴对称性质可得：， ∴，， ∴， 由轴对称性质可得：， ∴， ∴． 【变式8-2】．在中，，，在的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点． (1)如图1，①若，，求的周长；②若，求的度数； (2)如图2，当时，作于点，若，，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】角平分线的性质定理、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）①由对称可得，，然后求出，然后根据三角形周长公式求解即可； ②由对称可得，，求出，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，过点A作于点G，首先利用三线合一得到，得到，证明出，得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①由对称可得，， ∴， ∵， ∴的周长； ②∵， 由对称可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作于点G， ∵， 由对称可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．在下列山西剪纸图案中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 2．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 3．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 4．剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【详解】 解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A． 5．如图是一个简易的飞机模型示意图，机翼和关于机身对称，交于点，已知．下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质，分析每个选项是否正确．轴对称图形中，对应线段相等，对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分．本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形对应线段相等、对应角相等，对应点所连线段被对称轴垂直平分是解题的关键． 【详解】解：∵ 机翼和关于机身对称， ∴ ，，． 又∵ ， ∴ ． ，故项正确，不符合题意． 题目中未给出关于长度的任何条件，无法得出，故项错误，符合题意． ，故项正确，不符合题意． ，故项正确，不符合题意． 故选：． 6．如图，四边形关于直线l对称，有如下结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 根据轴对称图形的性质依次判断即可． 【详解】解：四边形关于直线l对称， ∴垂直平分， ∴， 故②④正确； 只有当时，，，故①③错误． 故正确的结论有②④． 故选：D． 7．无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、轴对称中的光线反射问题 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 8．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，先根据角平分线的性质得到相应角度，再多次运用平行线的性质即可得到答案； 【详解】解：如图，由折叠的性质可知：， ∵, ∴， ∵, ∴, ∵ ∴. 故选：D 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，把长方形沿折叠后，点D，C分别落在，的位置，若，则 ． 【答案】/度 【知识点】两直线平行内错角相等、折叠问题 【分析】根据平行线的性质可得，根据邻补角的性质可得，即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质和邻补角的性质是 解题的关键． 【详解】解：∵长方形中，， ， 由∵ ． 故答案为：． 10．观察下列图形，其中是轴对称图形的是 （填序号） 【答案】①②③④⑥ 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，牢记轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合的图形即为所求． 【详解】解：①②③④⑥沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，都是轴对称图形． 故答案为：①②③④⑥． 11．如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 【详解】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 12．如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，理解折叠性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形的内角和定理和外角性质求得，由折叠性质和平角定义求得，然后利用三角形的内角和定理求得，进而利用平角定义求解即可． 【详解】解：∵分别是、平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠使点A落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题，：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H，则有，，即可得到当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长，然后根据等边对等角和三角形的内角和解答即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H， ∵， ∴，， ∴的周长为 根据两点间线段最短可得，当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长， 这时，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的； (2)的三个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到点，，，在平面直角坐标系中顺次连接这些点，画出得到的图形，这个图形与有什么位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，关于轴对称 【知识点】轴对称图形的识别、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与轴对称变换， （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，与关于轴对称 15．如图，与关于直线对称，与的交点在直线上． (1)指出图中的两对对称点； (2)指出图中相等的线段； (3)指出图中其他关于直线对称的三角形． 【答案】(1)和和和和（任写两对即可）． (2)． (3)和，和． 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称，掌握轴对称的知识点是解题的关键． （1）根据轴对称的定义，即可解答； （2）根据轴对称的定义，即可解答； （3）根据轴对称的定义，即可解答． 【详解】（1）解：对称点：和和和和（任写两对即可） （2）解：相等的线段：． （3）解：和，和都关于直线对称． 16．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点_____，的对应角是_____； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)E， (2) 【知识点】全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称角； （2）利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 17．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 18．综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、轴对称中的光线反射问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 19．综合与实践课上，同学们动手折叠一张正方形纸片，如图，其中点在边上，分别在边上，分别以为折痕进行折叠并压平，点的对应点分别是点和点．甲同学的操作如图、其中 ；乙同学的操作如图、落在所在直线上；丙同学的操作如图，落在上，落在上． (1)图中的度数为 ； (2)求出图中的度数； (3)图中的度数为 ． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，角度的和差，找出角度之间的数量关系是解题的关键． （）由折叠性质可知，，可得，故有，最后通过平角定义即可求解； （）由折叠性质可知，，，又落在所在直线上，则，最后通过平角定义即可求解； （）由折叠性质可知，，，得，由，从而求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠性质可知，，， ∵落在所在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20．综合与探究： 问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．    特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由； 拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由； （3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，再由可得； （2）同理可证明，则，；过点A作于H，证明，得到；由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长上两种情况， 通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论． 【详解】解：（1），理由如下： 由轴对称的性质可得， ∵直线，即， ∴； （2），理由如下： 同理可证明， ∴，， 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴； 由轴对称的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴；    （3）如图所示，当点D在线段上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在线段的延长上时，    同理可证明，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． C 抓拓展 能力强化拓展练 达标检测 B 抓核心 二大题型提升练 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $