第2章 一元二次方程（知识清单）数学湘教版九年级上册

第二章 一元二次方程 知识点1 一元二次方程的概念 1.等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2的方程，叫作一元二次方程. 2.一元二次方程的三要素：整式方程、一个未知数，未知数的做高次数为2 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的一般形式是：,其中是二次项，a是二次项的系数，是一次项，b是一次项的系数，c是常数项. 4.化一元二次方程的一般形式的步骤：去分母 ,去括号 ,移项 ,合并同类项 知识点3 一元二次方程的根 5..使等号两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 6.判断一个数是不是一元二次方程的根，只需要将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根 知识点4 解一元二次方程的方法 7.解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 8.通过开平方的运算解一元二次方程的方法叫作直接开平方法 9.直接开平方法的一般形式：, 10.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法 11.配方法一般步骤：移项 ,二次项系数化1 ,配方 ,写成完全平方的形式, 开方 12.配方的目的是降次，依据是完全平方公式 13.一元二次方程的求根公式： 14.因式分解是把一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于0的形式 15.因式分解法12字口诀：右化零，左分解，两因式 ,各求解 知识点5 一元二次方程根的判别式 16.①当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根 ②当 时，一元二次方程有两个一个相等的实数根 ③当 时，一元二次方程没有实数根 知识点6.一元二次方程根与系数的关系 17.如果有两个实数根，，那么+=,= 知识点7 运用一元二次方程模型解决实际问题 18.列方程解应用题的一般步骤为：审, 设 ,列, 解, 验 ,答 一、一元二次方程的定义 1.忽略一元二次方程概念中的条件而致错 错误：忽视一元二次方程的一般形式 中 a≠0这个隐含条件. 注意：注意二次项系数不能为0 例1:若方程是关于的一元二次方程，则 ． 解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 变式1：若是关于的一元二次方程，则 ． 解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 变式2：当 时，关于的方程是一元二次方程 解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 变式3：若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 解：是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 2.确定一元二次方程各项系数时，忘记化为一般形式或漏写符号 错误：忘记化为一般形式或漏写符号 注意：在确定一元二次方程的各项系数及常数项时，必须先将方程化为一般形式，写各项系数时注意符号，特别注意不要遗漏“一”号 例2.一元二次方程：，当二次系数为时，一次项系数是 ． 解：先将化成一般形式，得， ∴一次项系数是． 故答案为：． 变式1：方程的一次项系数是 解：方程的一次项系数是． 故答案为：． 变式2：一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 解：， 一元二次方程 化为一般形式为：，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，3，，． 二、一元二次方程的解法 3.用“因式分解法”时忽视右边为0或除以含未知数的相同因式 错误：当方程两边都有某个含未知数的相同因式时，忽略因式不为0这个条件 注意：当方程两边都有某个含未知数的相同因式时，如果没有条件保证这个因式不为0，就不能在方程两边同除以这个因式，否则就会失根.正确做法是移项后提取公因式，用因式分解法解方程 例3.解方程： 解：将方程整理可得：， ∴， ∴或， ∴，． 变式1:解下列一元二次方程： (1) (2) （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 变式2: 解：， ， 或 解得：． 4.用“配方法”时未能恒等变形 错误：用配方法进行变形时，忽略恒等变形 注意：即等号两边同加(或等号一侧先加后减)一次项系数一半的平方 例4.用配方法解方程： 解： ∴， 即， ， ， ，． 变式1：用配方法解下列方程： 解： ∴ 则 ∴ 开平方得到， ∴， 三、一元二次方程的判别式 5.应用根的判别式时忽视，二次项系数不为0这一条件 错误：不考虑二次项系数的不为0的条件 注意：如果二次项系数中含有字母，要注意二次项系数不为0这个限制条件 例5.已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 解：（1）证明：方程化简为：， 根据判别式： ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵这个方程的一个根为3， ∴；解得：，则 把带入方程得：； ∴；解得：或； ∴方程得另外一根为：. 变式1：已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 解：（1）证明：方程化简为：， 根据判别式： ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵这个方程的一个根为3， ∴；解得：，则 把带入方程得：； ∴；解得：或； ∴方程得另外一根为：. 变式2：已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 解：当且时，方程有实数根， 解得且， 即的取值范围为且． 变式3：关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ，，，方程有两个不相等的实数根， ， ． 又二次项系数不为0， ∴且． 四、一元二次方程根与系数的关系 6.忽略使用根与系数的关系的前提条件 错误：在研究一元二次方程的根与系数的关系时，盲目下结论 注意：在研究一元二次方程的根与系数的关系时，先要判断方程有没有实数根 例6.已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围． 解：（1）， ， 或， 所以； （2）∵关于的一元二次方程的两个实数根， ， ． 又两根异号， ， ． 综上，． 变式1：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． （1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 变式2：已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值 （1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根； （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 变式3：已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． （1）解：根据题意得， 解得m， 所以m的取值范围为； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴m的值为2． 五、一元二次方程的应用 7.忽略实际问题对方程根的限制 错误：列一元二次方程解决实际问题时，没有对解出的方程的根进行取舍 注意：列一元二次方程解决实际问题时，需要对解出的方程的根进行取舍，要求所得结果必须满足两个条件：(1)是原方程的解；(2)符合实际问题的要求，或能使实际问题有意义. 例7：杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 解：（1）设玩偶套装的进价是元， 根据题意有：， 解得：， 即玩偶套装的进价是60元； （2）设第二天降价元，则第二天的销量为套，售价为元， 根据题意有：， 解得：或不符合题意舍去， 则第二天销量为（套）， 第二天销售后，剩余的数量为：（套）， 答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装． 变式1：水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 解;（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤； 故答案为：． （2）解：设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， 当时，每天的销售量是斤，符合题意； 当时，每天的销售量是斤，不符合题意，舍去； ． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 变式2：某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 【详解】（1）商场经营该商品原来一天可获利润为：（元）； （2）①依题意得： 即 解得： 经检验：都是方程的解，且符合题意． 故商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元． （2）依题意得： ， 结合①并观察图象可得： 当时，， 当时，商场所获利润不少于2160元． 变式3：大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： (1)填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； (2)要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 【详解】（1）由题意可得：每千克水产品获利元，月销售量减少千克； 故答案为：，； （2）由题意可列方程：， 化为：， 解得：， 因为又要“薄利多销”， 所以不符合题意，舍去． 答：销售单价应涨价元． 重难点01 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 ，是决定方程为一元二次方程的必备条件.只有满足a≠0才是一元二次方程.判断某些值是否为一元二次方程的根，只需将它们代入方程中，看方程左右两边的值是否相等.若左右两边的值相等，则这个值是一元二次方程的根；若不相等，则这个值不是一元二次方程的根. 【典例1】已知关于x的方程 mx-1=0 是一元二次方程,求 m的值. 解：根据题意，得 解得m=5. 变式1：已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 变式2．已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 重难点02 一元二次方程的解法 解一元二次方程是本章的基础，它的解法共有四种，即直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.这四种解法各有所长，解题时要根据题目的特点，选择适当的方法求解.当一元二次方程等号右边是0，且等号左边易于分解因式时，可用因式分解法.总之，一元二次方程的四种解法中，选取的优先顺序为直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法. 【典例2】选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x-2)(x+3)=66; 解：(1)将原方程化为一般形式，得 把方程左边分解因式， 得(x+9)(x-8)=0.所以x+9=0或x-8=0.所以 (2)将原方程化为一般形式，得把方程左边分解因式，得 所以 或 所以 (3)将原方程化为一般形式，得 所以 所以 变式1．用适合的方法解下列方程： (1)；(2) 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 变式2．用适当的方法解下列方程： （1）； (2)； （3） 【详解】（1）解： ， ， 或， ∴，． （2）解： ， ， ∴， ∴，． （3） ∴，． 重难点03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 根的判别式 描述 △>0⇔方程有两个不相等的实数根； △=0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根 作用 不解方程即可判断方程有无实根；在解含未知系数的一元二次方程中起限制作用，即未知系数的取值要保证方程有实根 前提 方程为一元二次方程，即一定要保证二次项系数a≠0 根与系数的关系 描述 作用 不解方程，通过系数就能反映两根特征 前提 【典例3】已知关于x的一元二次方程 6x+(2m+1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且 求m 的取值范围. 解：(1)根据题意，得 1)≥0,解得m≤4. (2)根据题意，得 2m+1,而 所以2(2m+1)+6≥20,解得m≥3.又因为m≤4,所以3≤m≤4. 变式1：已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的一个根是2， ∴代入方程得： 即， 解得：或， ∵， ∴． 变式2：关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）解：， ， 或， 方程有一个根为非负数， ， ． 重难点04 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题是本章的重难点，常见的题目类型有面积问题、平均增长率问题以及商品利润等问题，也有一些与其他知识综合的题目.解决此类问题的关键是认真审题，合理地设未知数，分析隐含的等量关系，然后列出适当的方程.另外还要检验方程的解是否符合实际问题的要求，即检验解的合理性. 【典例4】某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同. （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300 元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于 3 120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件.第2章 解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%. 依题意，得 解得 (舍去). 答：该种商品每次降价的百分率 (2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100-m)件. 第一次降价后的单件利润为 400×(1-10%)-300=60(元); 第二次降价后的单件利润为324-300=24(元). 依题意,得 60m+24×(100-m)=36m+2400≥3120, 解得m≥20. 答：为使两次降价销售的总利润不少于3 120元，第一次降价后至少要售出该种商品20件. 变式1：中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：或（舍去） 答：参观人数的月平均增长率为． 变式2：为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 【详解】解：设折叠进去的宽度为， 则， 整理得， 或（不合题意，舍去）， 答：折叠进去的宽度为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程 知识点1 一元二次方程的概念 1.等号两边都是______,只含有_________（一元），并且未知数的最高次数为___的方程，叫作一元二次方程. 2.一元二次方程的三要素：________、________，__________ 知识点2 一元二次方程的一般形式 3.一元二次方程的一般形式是:______________,其中是________，a是_________，是______，b是_____，c是_______. 4.化一元二次方程的一般形式的步骤：_______________________. 知识点3 一元二次方程的根 5. .使等号两边相等的_________就是这个一元二次方程的解，也叫做_______________ 6.判断一个数是不是一元二次方程的根，只需要将____代入这个一元二次方程的_____，看是否___，若相等，则是方程的根 知识点4 解一元二次方程的方法 7.解一元二次方程的方法有：_________________________________ 8.通过_______的运算解一元二次方程的方法叫作_____________ 9.直接开平方法的一般形式：____________________ 10.通过配成__________形式来解一元二次方程的方法，叫作_______________ 11.配方法一般步骤：______ ,二次项系数化1 ,______ ,写成完全平方的形式, ________ 12.配方的目的是______，依据是完全平方公式 13.一元二次方程的求根公式：______________________ 14.因式分解是把一元二次方程转化为两个一次因式的_____________的形式 15.因式分解法12字口诀：_______________________ 知识点5 一元二次方程根的判别式 16.①当 时，一元二次方程有_______________ ②当 时，一元二次方程有________________ ③当 时，一元二次方程__________________ 知识点6.一元二次方程根与系数的关系 17.如果有两个实数根，，那么________________ 知识点7 运用一元二次方程模型解决实际问题 18.列方程解应用题的一般步骤为：_______________________ 一、一元二次方程的定义 1.忽略一元二次方程概念中的条件而致错 错误：忽视一元二次方程的一般形式 中 a≠0这个隐含条件. 注意：注意二次项系数不能为0 例1:若方程是关于的一元二次方程，则 ． 变式1：若是关于的一元二次方程，则 ． 变式2：当 时，关于的方程是一元二次方程 变式3：若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 2.确定一元二次方程各项系数时，忘记化为一般形式或漏写符号 错误：忘记化为一般形式或漏写符号 注意：在确定一元二次方程的各项系数及常数项时，必须先将方程化为一般形式，写各项系数时注意符号，特别注意不要遗漏“一”号 例2.一元二次方程：，当二次系数为时，一次项系数是 ． 变式1：方程的一次项系数是 变式2：一元二次方程 化为一般形式为： ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 二、一元二次方程的解法 3.用“因式分解法”时忽视右边为0或除以含未知数的相同因式 错误：当方程两边都有某个含未知数的相同因式时，忽略因式不为0这个条件 注意：当方程两边都有某个含未知数的相同因式时，如果没有条件保证这个因式不为0，就不能在方程两边同除以这个因式，否则就会失根.正确做法是移项后提取公因式，用因式分解法解方程 例3.解方程： 变式1:解下列一元二次方程： (1) (2) 变式2: 4.用“配方法”时未能恒等变形 错误：用配方法进行变形时，忽略恒等变形 注意：即等号两边同加(或等号一侧先加后减)一次项系数一半的平方 例4.用配方法解方程： 变式4：用配方法解下列方程： 三、一元二次方程的判别式 5.应用根的判别式时忽视，二次项系数不为0这一条件 错误：不考虑二次项系数的不为0的条件 注意：如果二次项系数中含有字母，要注意二次项系数不为0这个限制条件 例5.已知：关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 变式1：已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 变式2：已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 变式3：关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围 四、一元二次方程根与系数的关系 6.忽略使用根与系数的关系的前提条件 错误：在研究一元二次方程的根与系数的关系时，盲目下结论 注意：在研究一元二次方程的根与系数的关系时，先要判断方程有没有实数根 例6.已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围． 变式1：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 变式2：已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值 变式3：已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 五、一元二次方程的应用 7.忽略实际问题对方程根的限制 错误：列一元二次方程解决实际问题时，没有对解出的方程的根进行取舍 注意：列一元二次方程解决实际问题时，需要对解出的方程的根进行取舍，要求所得结果必须满足两个条件：(1)是原方程的解；(2)符合实际问题的要求，或能使实际问题有意义. 例7：杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元． (1)求玩偶套装的进价是多少元？ (2)该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，当天卖出的玩偶获利2000元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？ 变式1：水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 变式2：某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． (1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ (2)设后来该商品每件降价元，商场一天可获利润元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出与之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当取何值时，商场获利润不少于2160元？ 变式3：大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克，经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： (1)填空：每千克水产品获利_______元，月销售量减少_______千克； (2)要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ 一元二次方程的一般形式是 ，是决定方程为一元二次方程的必备条件.只有满足a≠0才是一元二次方程.判断某些值是否为一元二次方程的根，只需将它们代入方程中，看方程左右两边的值是否相等.若左右两边的值相等，则这个值是一元二次方程的根；若不相等，则这个值不是一元二次方程的根. 【典例1】已知关于x的方程 mx-1=0 是一元二次方程,求 m的值. 变式1：已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 变式2．已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 重难点02 一元二次方程的解法 解一元二次方程是本章的基础，它的解法共有四种，即直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.这四种解法各有所长，解题时要根据题目的特点，选择适当的方法求解.当一元二次方程等号右边是0，且等号左边易于分解因式时，可用因式分解法.总之，一元二次方程的四种解法中，选取的优先顺序为直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法. 【典例2】选择适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x-2)(x+3)=66; 变式1．用适合的方法解下列方程： (1)；(2) 变式2．用适当的方法解下列方程： （1）； (2)； （3） 重难点03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 根的判别式 描述 △>0⇔方程有两个不相等的实数根； △=0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根 作用 不解方程即可判断方程有无实根；在解含未知系数的一元二次方程中起限制作用，即未知系数的取值要保证方程有实根 前提 方程为一元二次方程，即一定要保证二次项系数a≠0 根与系数的关系 描述 作用 不解方程，通过系数就能反映两根特征 前提 【典例3】已知关于x的一元二次方程 6x+(2m+1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且 求m 的取值范围. 变式1：已知关于x的方程，有两个不相等的实数根： (1)求k的取值范围； (2)若这个方程有一个根为2，求k的值． 变式2：关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 重难点04 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题是本章的重难点，常见的题目类型有面积问题、平均增长率问题以及商品利润等问题，也有一些与其他知识综合的题目.解决此类问题的关键是认真审题，合理地设未知数，分析隐含的等量关系，然后列出适当的方程.另外还要检验方程的解是否符合实际问题的要求，即检验解的合理性. 【典例4】某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同. （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为300 元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于 3 120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件.第2章 变式1：中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心1月份的参观人数为10万人，3月份的参观人数增加到14.4万人．求参观人数的月平均增长率． 变式2：为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $