15.1.2 线段的垂直平分线的性质 课件 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

15.1.2 线段的垂直平分线的性质 第十五章 轴对称 第3课时 作轴对称图象的对称轴 15.1. 图形的轴对称 复习回顾：线段垂直平分线的有关性质. 1.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 符号语言表达为： ∵直线PC是线段AB的垂直平分线 ∴PA=PB 一、新课导入 复习回顾：线段垂直平分线的判定方法 符号语言表达为： 2.到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上. ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 二、探究新知 问题1 有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的. 问题2 不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 问题3 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 连结AB，作出线段AB的垂直平分线 如何作出线段AB的垂直平分线呢? 分析： 因为线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 所以要作出线段AB的垂直平分线，只要找到两个到A、B距离相等的点，点C和点D，再由两点确定一直线就可知直线CD就是线段AB的垂直平分线了. 如何找到点C和点D呢？ 思 考 如何作出线段的垂直平分线? 分析： 连结CA、CB、DA、DB， 则CA=CB，DA=DB. 为了方便，我们使作点C和作点D时所取的半径相等，这样作一次弧就可以同时得到点C和点D了.再由两点确定一直线可知:直线CD就是所求作的线段AB的垂直平分线了. 因为CA=CB，所以分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交就可以找到点C了.同样的方法可以找到点D. 思 考 知识点1 作出线段的垂直平分线 作法: (2)作直线CD. (1)分别以点A和点B为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于C，D两点; ∴ 直线CD就是所求作的直线. O 这个作法就是线段垂直平分线的尺规作图法. 三、典例精析 【例1】 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是. 公共汽车站 教材71页10题 四、巩固练习 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B O N M A B P 教材71页12题 想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B 作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB． （2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴． l 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 三、典例精析 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，就能得此图形的对称轴. 利用垂直平分线的作法画对称轴的“三字诀” (1)找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对 称图形的对称轴，其关键都是找出图形中的任意一组对应点； (2)连：连接这组对应点； (3)作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是成轴对 称的两个图形或这个轴对称图形的一条对称轴． 如图，△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，请你作出它们的对称轴. 解：(1)连接BB′; (2)分别以B，B′为圆心，以大于 BB′ 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点. (3)连接DE，则直线DE即为所求. 四、巩固练习 三、典例精析 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. A B C D E K 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁. （2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E. （4）作直线CF. 直线CF就是所求作的垂线. （3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. F 问题2 如果点C在直线AB上， 那么过点C怎样作出AB的垂线？ 问题1 根据上面作法中的步骤,想一想,为什么直线CF就是所求作的垂线? 四、巩固练习 已知：直线AB和AB上一点C（如图） 若点C在直线AB上，那么过点C怎样作出AB的垂线？ 分析： 同样找到例题中的线段DE就可以了. D E 求作：AB的垂线，使它经过点C. 这时以点C为圆心，任意长为半径 作弧，交AB于点D和点E，就可以得到 例题中的线段DE了. 已知：直线AB和AB上一点C（如图） 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法: (1)以点C为圆心，任意长为半径作弧， 交AB于点D和点E； ∴ 直线CF即为所求作的垂线. (3)作直线CF. D (2)分别以点D和点E为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧交于点F. 若点C在直线AB上，那么过点C怎样作出AB的垂线？ 五、课堂小结 线段的垂直 平分线的 有关作图 尺规作图 作对称轴的常见方法 属于基本作图之一，必须熟熟练掌握 (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线 六、课后拓展 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. A B C A ′ B ′ C ′ l 方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上. 解：延长BC、B'C'交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l. P Q 教材71页11题 $