1.3.2空间向量运算的坐标表示 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学组 1.3.2空间向量运算的坐标表示 1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题． 2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．（重点） 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题． （难点） 学习目标 导 新知探究 思考：你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量的坐标运算吗？ 平面向量的坐标运算 类 比 空间向量的坐标运算 学 【例1】 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1）， （1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2）.若p＝ ，q＝ ， 求下列各式的值：（1）p＋2q；（2）3p－q；（3）（p－q）·（p＋q）. 3p－q＝（4，3，15）. （p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2 ＝（22＋12＋32）－[22＋02＋（－6）2]＝－26. p＝ ＝（2，1，3），q＝ ＝（2，0，－6）. p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）. 展+评 训练1　（1）已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且 ＝ 2a，则点B的坐标为（　D　） A. （－7，10，24） B. （7，－10，－24） C. （－6，8，24） D. （－5，6，24） D （2）已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），则适合条件 ＝ （ － ） 的点P的坐标为 ⁠. （5， ，0） 展+评 新知探究 思考：我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 类 比 空间向量坐标运算 设 设 当 时， 当 时， 学 新知探究 思考：我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 类 比 空间向量坐标运算 设 则 设 则 空间两点间的距离公式 学 新知探究 空间中点坐标公式和重心坐标公式 在空间直角坐标系中，点 和点 的中点坐标为: 在空间直角坐标系中，已知点 ，点 ， 点 ，则△ABC的重心坐标为: 学 训练2　（1）已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）， 且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝（　　） A. 1 B. C. D. √ ka＋b＝（k－1，k，2），2a－b＝（3，2，－2）， （ka＋b）·（2a－b）＝3（k－1）＋2k－4＝0，解得k＝ . 展+评 【例3】（链接教材P21例3）如图所示，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底 面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝ ，AA'＝2，点N是A'A的中点. （1）求｜ ｜； （2）求 cos ＜ ， ＞的值. 展+评 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意，得B（0，1，0），N（1，0，1）. 则 ＝（1，－1，1）， ｜ ｜＝ ＝ . （1）求｜ ｜； 展+评 （2）求 cos ＜ ， ＞的值. 解：B（0，1，0），C（0，0，0），A'（1，0，2），B'（0，1，2）. 因为 ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2）， 所以｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ ， · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3， cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 展+评 训练3　在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1， AD＝2. （1）求BP的长； （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 展+评 解：如图，建立空间直角坐标系. ∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2， ∴A（2，0，0），C（0，1，0），B（2，4，0）. 由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的 角， ∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2 . ∴P（0，0，2 ）. ∴BP＝ ＝4 . （1）求BP的长； 展+评 （2）求异面直线PA与BC所成角的余弦值. 解：由（1）得， ＝（2，0，－2 ）， ＝（－2，－3，0）， = -4 ， |=4，||= ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝－ ， ∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为 . 展+评 1. 〔多选〕已知向量a＝（1，－2，－2），b＝（6，－3，2），则下列 结论正确的是（　　） A. a＋b＝（7，－5，0） B. a－b＝（5，－1，4） C. a·b＝8 D. ｜a｜＝ √ √ 练 2. 〔多选〕已知a＝（2，3，－1），b＝（2，0，4），c＝（－4，－ 6，2），则下列结论不正确的是（　　） A. b∥c B. a∥b C. a⊥b D. a⊥c √ √ √ 练 3. 已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则向量 与 的夹角为 ⁠. ​ 练 4. 如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB， BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角 坐标系Oxyz. （1）写出点E，F的坐标； （2）求证：A1F⊥C1E. 解：E（a，x，0），F（a－x，a，0）. 解：证明：∵A1（a，0，a），C1（0，a，a）， ∴ ＝（－x，a，－a）， ＝（a，x－a，－a）， ∴ · ＝－ax＋a（x－a）＋a2＝0， ∴ ⊥ ，∴A1F⊥C1E. 练 课堂小结 1.理清单 （1）空间向量的坐标运算； （2）空间向量平行、垂直的坐标表示； （3）空间向量夹角、模的坐标表示. 2.应体会 （1）在探究空间向量运算的坐标表示时，运用了类比联想的数学思想； （2）在证平行与垂直、求长度及夹角时要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 （1）两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； （2）讨论向量夹角时，易忽略向量共线的情况； （3）要注意异面直线所成的角与向量夹角的区别. 结 课后作业 三维设计、小黄本 结 $