函数专题04 函数零点问题讲义-2026届高三数学一轮复习

函数专题04 函数零点问题（练习版） 一、知识梳理 1.函数的零点 (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系: 2.函数零点存在定理 (1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线; ②f(a)·f(b)<0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 3.相关结论： （1）若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. （2）由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. （3）周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 二、考点分类 考点01 判断函数零点所在区间 1.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.方程log3x+x=2的根所在区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 4.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 5.已知函数f(x)=3x+x-6有一个零点x=x0,则x0∈(　　) A. 6.f(x)=ex-x-2必存在零点的区间是(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 7.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在区间为(　　) A. C. D.(1,2) 8.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(　　) A.-8 B.-7 C.-6 D.0 9.(多选题)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,它的部分函数值如表所示,则 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 -10.581 3.273 -10.733 -156.314 A.f(x)在区间(2,3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5,6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5,6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 10.(多选题)下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是(　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=-2 C.f(x)=2x-1-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 考点02　判断函数零点个数 1.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则方程f(x)=|log9x|的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 4.函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 5.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 6.函数f(x)=的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7.函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  8.已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(x+2)+f(x)=f(1),f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)在区间[-100,100]上的零点个数为　　　　.  9.已知函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则的取值范围是　　　　.  思维升华：求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 考点03　根据零点个数求参数范围 1.若函数f(x)=2x+a在(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是　　　　.  2.已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. C.(-∞,0) D. 3.设函数f(x)=x+(m∈R),则“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.a<- B.a<- C.-<a<- D.a<- 6.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 7.已知p:函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则p成立的一个必要不充分条件是 (　　) A.3≤a<18 B.3<a<18 C.a<18 D.a≥3 8.(多选题)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0) B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5) C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5 D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞) 思维升华：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 考点04　嵌套函数零点问题 1.函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.  2.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.8 3．已知函数 ，若方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 4.设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.用表示中较小的数，，则的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7. ，若有两个零点，则的取值范围是 . 8.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.3 9.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,3) B.(0,2) C.[1,2) D.(0,1) 10.已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 12.已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 思维升华：函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数专题04 函数零点问题（解析版） 一、知识梳理 1.函数的零点 (1)概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系: 2.函数零点存在定理 (1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线; ②f(a)·f(b)<0. (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解. 3.相关结论： （1）若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根. （2）由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. （3）周期函数如果有零点,则必有无穷多个零点. 二、考点分类 考点01 判断函数零点所在区间 1.函数f(x)=log2x+x-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(2)=1,则f(1)f(2)<0, 故f(x)的零点所在的区间为(1,2). 2.方程log3x+x=2的根所在区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B 【解析】设f(x)=log3x+x-2,则方程log3x+x=2的根所在的区间即为f(x)零点所在的区间. ∵y=log3x与y=x-2在(0,+∞)上均单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. 对于A,∵f(1)=log31+1-2=-1,∴当x∈(0,1)时,f(x)<-1,A错误;对于B,∵f(1)=-1<0,f(2)=log32+2-2=log32>0,即f(1)f(2)<0,∴∃x0∈(1,2),使得f(x0)=0,B正确;对于C,D,当x>2时,f(x)>f(2)>0, ∴f(x)在区间(2,3)和(3,4)上无零点,C错误,D错误. 3.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 【答案】A 【解析】函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a<b<c,则a-b<0,a-c<0,b-c<0,因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0. 所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点. 4.根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 【答案】C 【解析】设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),易知函数f(x)在(1,+∞)上的图象连续,由表格数据得f(1)>0,f(2)>0,f(3)=ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln 4-2=1.386-2<0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4). 5.已知函数f(x)=3x+x-6有一个零点x=x0,则x0∈(　　) A. 【答案】B 【解析】由题知f(x)在R上单调递增,∵f=-<0,f(1)=-2<0,f=-, 又33->0,∴f>0,由零点存在定理可知,在上存在x0使得f(x0)=0. 6.f(x)=ex-x-2必存在零点的区间是(　　) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【答案】C 【解析】令f(x)=ex-x-2=0,可得ex=x+2,可知f(x)的零点即为y=ex与y=x+2图象交点的横坐标, 在同一坐标系内作出y=ex与y=x+2的大致图象,如图所示. 又f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,f(3)=e3-5>0,可知y=ex与y=x+2的图象在(1,2)内有交点,在(-1,0),(0,1)和(2,3)内均无交点,所以f(x)在(1,2)内必存在零点. 7.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在区间为(　　) A. C. D.(1,2) 【答案】B 【解析】由题图得,点(-1,0),(0,-1)在函数f(x)的图象上,所以解得 所以g(x)=ln x+2x+,其定义域为(0,+∞). 因为y=ln x,y=2x+均在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)=ln x+2x+在(0,+∞)上单调递增. g=ln++=-<0,g=ln +1+=-ln 2>0,故gg<0, 又g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数g(x)只有1个零点且零点所在区间为. 8.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为(　　) A.-8 B.-7 C.-6 D.0 【答案】B 【解析】由题意知g(x)===2+,其图象关于点(-2,2)对称. 函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)的部分图象如图所示,由图可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0<t<1),则点A的横坐标为-4-t, 所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7. 9.(多选题)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,它的部分函数值如表所示,则 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 202.301 52.013 -10.581 3.273 -10.733 -156.314 A.f(x)在区间(2,3)上不一定单调 B.f(x)在区间(5,6)内可能存在零点 C.f(x)在区间(5,6)内一定不存在零点 D.f(x)至少有3个零点 【答案】ABD 【解析】由题表可知f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0, 因为函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)均存在零点, 即f(x)至少有3个零点,故D正确;对于A,由于只知道f(2),f(3)的函数值,故无法判断f(x)在区间(2,3)上的单调性,故A正确;对于B,C,虽然f(5)<0,f(6)<0,但是函数f(x)在(5,6)内的取值情况未知, 所以函数f(x)在(5,6)内可能存在零点,故B正确,C错误.故选ABD. 10.(多选题)下列函数在区间(-1,3)内存在唯一零点的是(　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=-2 C.f(x)=2x-1-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 【答案】BCD 【解析】对于A,∵x2-2x-8=0的解为x=-2,x=4,∴f(x)在区间(-1,3)内没有零点,故A错误; 对于B,∵f(x)=-2在[-1,+∞)上为增函数,且f(-1)=-2<0,f(3)=8-2=6>0, 即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故B正确;对于C,∵f(x)=-1在R上为增函数,且f(-1)=-<0,f(3)=3>0,即f(-1)f(3)<0,∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故C正确; ∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,即f(-1)f(3)<0, ∴f(x)在区间(-1,3)内存在唯一零点,故D正确. 考点02　判断函数零点个数 1.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】法一　∵f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,且函数在定义域上单调递增且连续, ∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 法二　设y1=2x,y2=2-x3,在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示, 在区间(0,1)内,两图象的交点个数即为f(x)的零点个数. 故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点. 2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则方程f(x)=|log9x|的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】由奇函数可知f(2-x)=f(x)=-f(-x),即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则f(x)是周期为4的周期函数,又由f(2-x)=f(x),得f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数y=|log9x|与函数y=f(x)的大致图象如图所示,结合图象可知,共有5个交点,即方程实根的个数为5. 3.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.7 D.0 【答案】B 【解析】由或解得x=-2或x=e,故f(x)有2个零点. 4.函数y=ex+x2+2x-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】函数y=ex+x2+2x-1的零点个数即函数f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象的交点个数, 在同一直角坐标系中,分别作出f(x)=ex与g(x)=-x2-2x+1的图象,如图所示, 由图可知,两图象有2个交点,故原函数有2个零点,故选C. 5.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时,f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B 【解析】令f(x)=x2-x=0,即x=0或x=1,所以f(0)=0,f(1)=0,因为函数的最小正周期为2, 所以f(2)=0,f(3)=0,f(-2)=0,f(-1)=0,f(-3)=0, 所以函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为7. 6.函数f(x)=的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】当x≤0时,令x2+2x-3=0,则(x-1)(x+3)=0,解得x=1(舍去)或x=-3. 当x>0时,令ex-2=0,解得x=ln 2,所以f(x)的零点个数为2. 7.函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  【答案】6 【解析】令36-x2≥0,解得-6≤x≤6,∴f(x)的定义域为[-6,6]. 令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0,由36-x2=0得x=±6,由cos x=0得x=+kπ,k∈Z, 又x∈[-6,6],∴x为-,-,,. 故f(x)共有6个零点. 8.已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(x+2)+f(x)=f(1),f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)在区间[-100,100]上的零点个数为　　　　.  【答案】100 【解析】令x=-1,得f(1)+f(-1)=f(1),即f(-1)=0,因为f(x)为偶函数,所以f(1)=0,则f(x+2)+f(x)=f(1)=0,则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数. 因为f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)在[-2,0]上单调递减,所以f(x)在一个周期内有两个零点, 故f(x)在区间[-100,100]上的零点个数为50×2=100. 9.已知函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则的取值范围是　　　　.  【答案】(-1,0] 【解析】作出函数y=f(x)=的图象如图所示. 由x+=3可得x=,由-|x|+3=2可得x=-1(正值舍去),则-1<x1≤0,≤x2<1,1<x3≤. 由3+x1=x2+=x3+=a,可得x3=,x1=x2+-3,可得==x2+-3=a-3, 由图可得2<a≤3,则-1<a-3≤0,故所求取值范围为(-1,0]. 思维升华：求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x)有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 考点03　根据零点个数求参数范围 1.若函数f(x)=2x+a在(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是　　　　.  【答案】(-2,2) 【解析】由题意得f(-1)f(1)=(-2+a)(2+a)<0,解得 -2<a<2. 2.已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(　　) A. C.(-∞,0) D. 【答案】B 【解析】由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1), 由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域. 由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增. 当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=, 又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为. 因此,实数a的取值范围是. 3.设函数f(x)=x+(m∈R),则“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】法一　由函数f(x)=x+(m∈R)的定义域为(-1,2),显然m=0时,函数在区间(-1,2)内有且仅有一个零点.令f(x)=0,可得x+=0,即x2-2x+m=0,且曲线y=x2-2x+m是开口向上的抛物线, 其图象关于直线x=1对称.设g(x)=x2-2x+m,x∈(-1,2),要使得函数y=g(x)在区间(-1,2)上只有一个零点,则满足Δ=(-2)2-4m=0或 解得m=1或-3<m<0, 即函数y=f(x)在区间(-1,2)上只有一个零点时,m∈(-3,0]∪{1}, 所以“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件. 法二　令f(x)=0,则x+=0,即m=-x(x-2),x∈(-1,2).f(x)在(-1,2)内有且仅有一个零点,即直线y=m与函数y=-x(x-2),x∈(-1,2)的图象有且仅有一个交点. 画出函数y=-x(x-2),x∈(-1,2)的大致图象,如图所示. 由图象可知,-3<m≤0或m=1,所以“-3<m≤0”是“f(x)在区间(-1,2)内有且仅有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 4.已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】令f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)=0,得m=-x2+4x或m=-1. 作出g(x)=-x2+4x,h(x)=-1的图象,如图所示. 这两个函数图象的交点坐标为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,即整数m的取值个数为2. 5.函数f(x)=2alog2x+a·4x+3在区间上有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.a<- B.a<- C.-<a<- D.a<- 【答案】D 【解析】当a=0时,f(x)=3,不符合题意;当a>0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递增, 此时函数f(x)在上单调递增;当a<0时,由于函数y=2alog2x,y=a·4x+3在上均单调递减, 此时函数f(x)在上单调递减. 因为函数f(x)在区间上有零点,所以f f(1)<0,即3(4a+3)<0,解得a<-. 6.已知函数f(x)=g(x)=f(x)-x-a.若g(x)有2个零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 【答案】D 【解析】x>0时,f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,f(1)=0. 令g(x)=0可得f(x)=x+a,作出函数y=f(x)与函数y=x+a的大致图象如图所示. 由图可知,当a≥1时,函数y=f(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,此时,函数y=g(x)有2个零点. 因此,实数a的取值范围是[1,+∞). 7.已知p:函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则p成立的一个必要不充分条件是 (　　) A.3≤a<18 B.3<a<18 C.a<18 D.a≥3 【答案】D 【解析】函数f(x)=2x3+x-a在R上单调递增,由函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点, 得解得3<a≤18,即p成立的充要条件是3<a≤18, 结合选项知,p成立的一个必要不充分条件是a≥3. 8.(多选题)已知函数f(x)=|x2+3x+1|-a|x|,则下列结论正确的是(　　) A.若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0) B.若f(x)恰有2个零点,则a∈(1,5) C.若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5 D.若f(x)恰有4个零点,则a∈(5,+∞) 【答案】AC 【解析】当x=0时,f(0)=1≠0,所以x=0不是函数f(x)的零点; 当x≠0时,由f(x)=0,即|x2+3x+1|-a|x|=0, 得a=,则f(x)的零点个数等于直线y=a与函数y=的图象的交点个数. 当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,所以当x>0时,y=≥5; 当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立, 所以当x<0时,y=x++3≤1,作出函数y=的大致图象(如图). 由图可知,若f(x)没有零点,则a∈(-∞,0),故A正确; 若f(x)恰有2个零点,则a∈{0}∪(1,5),故B不正确; 若f(x)恰有3个零点,则a=1或a=5,故C正确; 若f(x)恰有4个零点,则a∈(0,1)∪(5,+∞),故D不正确. 思维升华：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解. 考点04　嵌套函数零点问题 1.函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.  【答案】[-1,+∞) 【解析】设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点. 设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1. 当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解. 综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点. 2.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.8 【答案】B 【解析】依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0根的个数, 令f(x)-1=t,则f(t)=0,当t>0时,ln t-=0,令h(t)=ln t-,t>0, 因为函数y=ln t,y=-均在(0,+∞)上单调递增,所以函数h(t)在(0,+∞)上单调递增, 又h(1)=-1<0,h(e)=1->0,则存在t1∈(1,e),使得h(t1)=0. 当t≤0时,令-|t+1|+1=0,解得t=0或t=-2,作出函数f(x)=的大致图象,如图. 又f(x)-1=t,则f(x)=t+1. 当t=0时,f(x)=1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有2个根; 当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有2个根; 当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1∈(2,e+1),由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有1个根. 综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5. 3．已知函数 ，若方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，，，， 令，解得或，又在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 由图象观察可知与有个交点，不妨设为且， 则，当时，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根，由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根，综上的实根个数为． 故选：C 4.设，函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，的对称轴为，当即时，的图象如图1，此时令，可得，观察图象可解得或，即方程有两个根，则此时只有两个零点，不合题意；    当即时，的图象如图2，此时令，可得或， 因为和均为的根，所以要使函数恰有三个零点则需满足只有一个根，且,当时，． 当时，的对称轴为，则，解得， 故．    综上，的取值范围为． 故选：A. 5.已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设,易知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，,当时， 令，因为，所以，所以，则， 令，，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时. 所以函数的值域为，即的取值范围是. 故选：A. 6.用表示中较小的数，，则的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】画出的图象，先由求得，然后由判断出正确答案. 【详解】由解得，设，画出的图象如下图所示，由解得； 由解得或；令，则或或或； 由图象可知，有个解，分别有个解， 没有解，且上述个解互不相同，所以的解的个数为个. 故选：D 7. ，若有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】易知函数在R上增函数，函数在上减函数，所以，当时，，当时，，于是函数的值域为，又函数的在上单调递增，在上单调递减，函数图象如图所示： 设，由可知，，则. 因为有两个零点，所以，即，于是，则方程，即有两个零点，所以，由的图象可知，使方程有两个零点， 则满足，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 8.已知函数f(x)=其中e为自然对数的底数,则函数g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.3 【答案】A 【解析】当x≥0时,f(x)=4x3-6x2+1的导数为f'(x)=12x2-12x,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,可得f(x)在x=1处取得最小值,最小值为-1,且f(0)=1, 作出函数f(x)的图象,g(x)=3[f(x)]2-10f(x)+3,可令g(t)=0,t=f(x),可得3t2-10t+3=0, 解得t=3或,当t=,即f(x)=时,g(x)有三个零点; 当t=3时,可得f(x)=3有一个实根,即g(x)有一个零点,综上,g(x)共有四个零点. 9.已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+(m-4)f(x)+2(2-m)=0有五个不同的实数根,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,3) B.(0,2) C.[1,2) D.(0,1) 【答案】C 【解析】设h(x)=x-,x>0,则h'(x)=1+>0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,h(1)=0, 作出f(x)的大致图象如图所示. 令t=f(x),则t2+(m-4)t+2(2-m)=0,则t1=2,t2=2-m. 由图可知,直线y=2与f(x)的图象有2个交点, 所以直线y=2-m与f(x)的图象必须有3个交点,则0<2-m≤1,解得1≤m<2. 10.已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，此时，则时，单调递减；时，单调递增，所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象，函数有5个不同的零点，则方程，即有5个不相等实数根，也即是和共有5个不相等实数根，其中有唯一实数根， 只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知，即实数的取值范围为. 故选：C. 11.已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根，故方程的实根个数为11. 故选：C. 12.已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示． 由，得，解得或． 由图象易知，直线与的图象有3个交点，所以方程有3个不同的实数根， 因为方程有7个不同的实数根， 所以直线与的图象有4个交点，故，解得，故实数的取值范围是． 故答案为： 思维升华：函数的零点是命题的热点,常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $