专题05 函数的基本性质15类真题狂练大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题05 函数的基本性质15类真题狂练大突破 目录 真题狂练一：定义法证明函数的单调性 1 真题狂练二：根据函数的单调性求参数 6 真题狂练三：利用函数的单调性求值域或最值 10 真题狂练四：根据函数的最值求参数 14 真题狂练五：根据函数的单调性解不等式 20 真题狂练六：函数不等式恒成立问题 24 真题狂练七：函数不等式能成立问题 30 真题狂练八：函数图形识别 35 真题狂练九：分段函数单调性问题 37 真题狂练十一：由奇偶性求解析式 46 真题狂练十二：由奇偶性求参数 49 真题狂练十三：奇偶性+单调性解不等式 51 真题狂练十四：奇偶性+对称性的应用 60 真题狂练十五：抽象函数 64 真题狂练一：定义法证明函数的单调性 1．（24-25高一上·广东江门·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求，的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. 【详解】（1）因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. （2）证明：因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）当时，； 当时，，则，所以. 综上，. 2．（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)是上的增函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）由求得，再由求得，并检验； （2）根据单调性定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解． 【详解】（1）因为函数定义在上的奇函数，所以，， 所以，，所以， ，满足题意； 所以； （2）是上的增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，从而，而， 所以，即， 所以是上的增函数； （3）由题意是上的递增的奇函数， 由得， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1)（） (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数为奇函数和求出，即可得解； （2）利用作差法求解即可. 【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得，所以，定义域为， 且，所以（）； （2）在区间上为严格增函数， 证明如下：设任意， 则， 由，得， 即，，， 所以，即，故在区间上为严格增函数. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案； （2）根据题意，设，由作差法分析可得结论； （3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，解得， 又由，则有，解得，则， 所以，满足条件，所以； （2）由（1）知， 证明：设， 则， 又由，所以、、 则，，，， 则， 则函数在上为增函数； （3）根据题意，即 ，即 ， 即，解得：， 即不等式的解集为． 5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明； 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由求出，再由求出，最后再检验. （2）设，对进行适当变形判断符号即可得出函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有，且，则，解得， 则函数的解析式：， 经检验，，故是奇函数． 所以． （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即， 所以在上单调递增． 真题狂练二：根据函数的单调性求参数 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 3．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 6．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求的值域； (3)若在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接代入运算求解即可； （2）根据函数单调性，分别分析在和内的值域，再取并集； （3）根据分段函数单调性列式求解即可，注意端点值的大小关系. 【详解】（1）因为， 则，解得. （2）因为，且， 可知在内单调递增，则， 所以在内的值域为； 且在内单调递增，则， 所以在内的值域为； 注意到， 所以在内的值域为. （3）若在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 真题狂练三：利用函数的单调性求值域或最值 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数．若对，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数变形，求出它的值域，再求出函数的值域，根据题干中条件求解即可. 【详解】，令， 则令， m在上单调递减，上单调递增，所以，则， 易知在区间上单调递增，则， 又，使得， 所以,解得：， 故选：A 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 4．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． 5．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为：，单调减区间为； (2)最大值为13，最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法、二次函数的单调性进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 由可得：， 根据：，可得： 整理得：，可得：，解得， 可得为的解析式． 因为可得：对称轴为 且二次项系数为， 可知：函数的单调递增区间为：，单调减区间为； （2）由二次项系数为，和函数的单调性可得，函数在处最小值，即． 当时，，当时，． 因此函数的最大值为13，最小值为． 真题狂练四：根据函数的最值求参数 1．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，计算可得，再结合图象即可求出答案. 【详解】设，则， 则， 在同一坐标系内作出函数的大致图象，得的图象， 函数的最小值为0，结合图象，或，解得， 所以. 故选：C 2．（多选）（24-25高一上·贵州·期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 【答案】AC 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得（舍）或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或. 故选：AC 3．（24-25高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. （2）因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得：对任意的，，结合二次函数分析求解； （2）由题意可知，不等式对任意的，令，由参变量分离法可得，利用对勾函数的单调性求出函数在上的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围； （3）令，可得的最小值是，分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）若函数的定义域为，则对任意的，， 由于函数为开口向上的二次函数， 故只需要，解得， 所以实数的取值范围是. （2）任意，恒成立，则， 可得， 令，则，所以，， 可得， 令，其中，则函数在上为减函数， 所以，，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）因为， 令，则， 则为开口向上，对称轴为的二次函数， 当，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，不符合要求，舍去； 当，即时，则在上单调递增， 此时，解得或（舍去）； 综上所述：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 5．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 6．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数 (1)若，求的值； (2)若的定义域为，求的取值范围： (3)若的最小值为0，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，即可得结果； （2）换元令，可得对任意恒成立，结合二次函数运算求解； （3）等价转化为有解，同（2）换元转化为有解，进而求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）由题意可知：对任意恒成立， 令，则，可得， 整理可得对任意恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. （3）因为， 的最小值为0，等价于有解， 同（2）中转化为有解， 由（2）知的值域为， 所以的取值范围为. 真题狂练五：根据函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件可得的单调性，再把不等式构造成函数的单调性来求解即可. 【详解】对任意,当时，恒成立， 则有在上是减函数， 而不等式可变形为， 又因为，所以有， 即有， 根据有在上是减函数， 所以，解得， 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数关于直线对称，进而分析单调性和符号，根据符号解不等式即可. 【详解】因为，可知函数关于直线对称， 又因为在上单调递减，， 则在上单调递增，， 可知当时，；当时，； 若，可得或，解得或， 所以的解集是. 故选：D. 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【详解】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法直接求解即可； （2）转化不等式，根据函数单调性直接求解. 【详解】（1）由题知，是定义在区间上的增函数， 且， 令，则，， 令，则， 即，. （2）因为是定义在区间上的增函数， 且，， 所以，等价于， 所以，解得， 即该不等式解集为. 6．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 真题狂练六：函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 2．（23-24高一上·广东惠州·期中）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性求区间最值，进而确定值域； （2）问题化为，由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设， 则在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 故上函数的值域为； （2）由，其开口向上且对称轴为， 又对任意的，都有，即， 当时，，可得，不符合前提； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，不符合前提； 综上，. 3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用分类讨论解一元二次不等式求解集即可； （2）问题化为上恒成立，应用换元法及基本不等式求右侧函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为或； 当，即时，，解集为； （2）由题设，时恒成立， 所以，又， 所以上恒成立， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知函数，其中． (1)当时，求的值域； (2)函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由； (3)在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)能， (3) 【分析】（1）当时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域； （2）对分类讨论，根据段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围； （3）由在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围. 【详解】（1）当时，， 当时，， 函数在单调递减，所以； 当时，在上单调递减，所以， 则的值域为； （2）若函数在定义域上单调， 当时，因在上函数单减，则单调递减， 则满足，解得， 当时，函数无单调性，不符合题意， 当时，因在上函数单增，则单调递增， 则满足，解得， 综上所述，若使函数为定义域上的单调函数，实数a的范围为; （3）由在其定义域上恒成立，即， 化简得恒成立， 当时，由， 令， 由对勾函数单调性知，函数在时，取最大值，则， 当时，满足，即， 综上所述，在其定义域上恒成立，实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离后求函数的最值解决问题．如（3）参变分离得，求出右边函数的最值即可. 5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据函数所过的点列方程求参数，即可得解析式； （2）利用单调性定义证明函数单调性即可； （3）问题化为任意，使得恒成立，求出右侧表达式的最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，解得，则. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且，则， ，且， ，，则， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）因为任意，使得恒成立， 即任意，使得恒成立， 由（2）知，函数在上单调递减， 当时，，所以， 所以实数a的取值范围． 6．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【详解】（1）因为，代入得：即， 解得：. （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. （3）对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 真题狂练七：函数不等式能成立问题 1．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据一次函数的单调性求得，从而对恒成立，分离参数，利用二次函数性质求解即可. 【详解】，使得成立，， 又由在上单调递增，， 即对恒成立，， 即对恒成立，， 又由在上单调递增， 时，时，， . 故选：B． 3．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)解关于的不等式： (3)对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)或. 【分析】（1）根据二次函数对称轴分类讨论求解； （2）化简后根据的大小关系，分类讨论即可； （3）转化为对任意恒成立，再转化为或有解问题，分离参数后求最值即可得解. 【详解】（1）对称轴， ①当时，即，在上单调递增， 所以； ②当时，即，在上单调递减， 所以； ③当时，即，在上单调递减， 在上单调递增， 所以； 综上， （2）由题意知，即， ①，解得， ②，解得， ③，解得， 综上，不等式的解集为①，， ②，， ③，， （3）令，则，， 则对任意，存在，使得， 令，则恒成立， 即恒成立， ， ，即或， 存在，使得或， 或， 由，当且仅当时等号成立，知； 由在上单调递增知，当时，， 所以， 综上，或. 【点睛】关键点点睛：对于含有两个参数的问题，解题时要做到主次分明，首先以其中一个为主元，问题转化为关于主元的恒成立问题，转化后再注意分析次元的问题是恒成立还是存在性问题，继续进行合适的转化. 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）解不等式可得答案； （2），然后讨论与1的大小关系可得答案； （3）由可得，求出即可得答案. 【详解】（1）时，， 故不等式解集为：； （2）. 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3）, 则，因，则. 故，要使在区间上有解， 则，其中. 令，则. 因函数在上递减，在上递增. 又，则. 故实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，，. (1)求的单调区间和最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间，递增区间，最小值 (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴和开口方向分析单调区间和最小值； （2）先将问题转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，根据对勾函数性质分析出的值域，再对进行分类讨论求解出的范围. 【详解】（1）因为的对称轴为且开口向上， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 由单调性可知. （2）因为对于任意，总存在，使得成立， 所以在上的值域是在上的值域的子集； 因为， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递减， 所以， 所以，所以的值域为； 又因为， 当时，显然，此时的值域不可能是的子集，不符合； 当时，显然，此时的值域不可能是的子集，不符合； 当时，对称轴且，此时，若要满足条件只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 6．（24-25高一上·安徽·期中）若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. (1)求函数的的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，且，根据求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由参变量分离法可知，存在，使得，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于直线对称，最小值为. 则，根据二次函数的顶点式可知，， 因为函数的图象过原点，则，解得， 所以，. （2）由题意知，存在，使得，即， 即， 令，其中，则函数在上为增函数， 所以，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 真题狂练八：函数图形识别 1．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除. 【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应D中图象， 当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应C中图象， 当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应B中图象， 综上只有A不可能， 故选：A 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性与单调性，排除法即可得. 【详解】由可得定义域为， 又，故为偶函数，故可排除B， 当时，，则在上单调递增， 故可排除C、D. 故选：A. 真题狂练九：分段函数单调性问题 1．（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】分，两种情况讨论，并根据解析式直接判断即可． 【详解】函数的定义域为， 当时，单调递减， 当时，，在单调递减，在单调递增， 故的单调减区间为和. 故选：C. 2．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可； 【详解】由是上的增函数， 需满足：解得， 故选：D. 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质确定递减区间. 【详解】当时，， 所以，在上函数单调递增，在上函数单调递减， 当时，，即在上函数单调递增， 综上，函数的单调减区间为. 故答案为： 4．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若；求的取值范围. 【答案】(1) (2)作图见解析，单调减区间为，单调增区间为 (3) 【分析】（1）结合分段函数解析式先求，再求的值， （2）结合一次函数图象和指数函数特点作函数的图象，观察图象写出单调区间； （3）讨论，化简不等式，求其解集. 【详解】（1）由已知可得，， 所以，， （2）如图，作出函数的图象 由图象可知，函数的单调减区间为，单调增区间为， （3）当时，由可得，，解得，所以； 当时，由可得，，根据指数函数的性质解得，所以 综上所得，的取值范围. 6．（24-25高一上·福建泉州·期中），用表示的较小者，记为，已知，    (1)画出函数的图象，并写出单调递减区间． (2)求不等式的解集． 【答案】(1)图象见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）通过不等式和的解确定函数的取值，从而得函数图象； （2）按相应方程根的小分类讨论求解． 【详解】（1）因为， 所以令得，令得或， 所以， 作出函数图象如下    由图象知函数的单调递减区间为 （2）不等式等价于， 即，所以， 当即时，有或， 当即时，有或， 当即时，有，即， 综上所述，当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，等的解为或． 7．（24-25高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【答案】(1)图象见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分析得到时，，为二次函数，开口向下，时，为一次函数，结合特殊点函数值，画出图象； （2）数形结合得到函数单调区间和函数单调性. 【详解】（1）当时，，为二次函数，开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，，为一次函数，当时，， 当时，， 画出图象如下： （2）由图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 故在上单调递增，在上单调递减. 真题狂练十：分段函数值域问题 1．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先得到在的值域为，根据的值域为，可知需满足在上恒成立，即，解不等式可得结果. 【详解】当时，； 又函数的值域为，所以在上恒成立，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 3．（23-24高一上·云南昭通·期中）设，则函数的最小值为 . 【答案】0 【分析】由，求出解集，确定函数解析式，即可判断； 【详解】令，解得， 当或，， 所以， . 故答案为：0 4．（24-25高一上·四川成都·期中）定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】在上的最大值为5， 所以由，解得或， 所以时，， 所以要使函数最大值为4，则根据定义可知， 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意； 当时，的图象必须经过点， 即时，，此时解得，符合题意。 综上所述，或. 故答案为：.    5．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意画出的图象，由图象可知当时，函数有最小值求解即可. 【详解】由题意画出的图象： 由图象可知当时，. 故答案为：. 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对表示与中的较小者，记为，画函数的图象，并求函数的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． 【答案】(1)图象见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据解析式直接作出解析式即可； （2）根据的定义可得解析式和图象，结合图象可得单调区间和值域. 【详解】（1）图象如下图所示， （2）令，即， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，；当时，；当时，； ； 图象法表示如下： 由图象可知：的单调递增区间为和；单调递减区间为和，值域为. 真题狂练十一：由奇偶性求解析式 1．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 2．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当，则代入利用偶函数的性质可求解. 【详解】当，则，所以， 根据偶函数性质可知. 故选：C 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数的定义计算即可. 【详解】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合奇函数的定义求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 当时，， 所以当时，，则， 即. 故选：B. 5．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】利用奇函数性质求函数解析式. 【详解】令，则，故， 又，即时. 故答案为： 6．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 真题狂练十二：由奇偶性求参数 1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，进而计算即可. 【详解】是定义在上的偶函数， 所以其定义域关于原点对称，即，所以， 因为，所以， 所以恒成立，则， 所以， 故选：C． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 3．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，得到对于恒成立，即可求解. 【详解】由题意得，，即， 整理得，即对恒成立， ∴，∴，. 故选：D. 4．（24-25高三上·广东·期中）若为偶函数，则（   ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 【答案】D 【分析】列出的表达式并化简，根据为偶函数的定义即可求出的值. 【详解】， 则， 由于函数是偶函数，有， 故， 所以，从而得到，解得. 故选：D. 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴，即，解得， 经检验符合题意，所以. 故选：A. 6．（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义，分别对和的情况进行分析，从而求出和的值. 【详解】已知时，. 当时，，根据函数表达式，.   因为是奇函数，所以. 当时，. 由可得. 对于，等式两边对应项系数相等. 对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.   故，. 故选：D. 真题狂练十三：奇偶性+单调性解不等式 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2)在上是增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）利用定义法证明函数单调性； （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数， 则有，解得，所以， 则， 由，得，则. （2）是上的增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. （3）令，即， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 又，则， 由，即可转化为， 因为是上的偶函数，即求， 由（2）知是上的增函数，则， 解得或， 故实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)利用单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)（i）判断在区间上的单调性（直接给出答案，无需证明）； （ii）若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）在区间上单调递减；（ii） 【分析】（1）由单调性的定义证明即可； （2）（i）用偶函数性质判断即可；（ii）由函数的奇偶性与单调性求解即可 【详解】（1）证明：，，且， ， 因为，所以， 所以，，即， 所以在区间上单调递增. （2）（i）函数为定义在上的偶函数，偶函数在对称区间上的单调性相反， 所以在区间上单调递减. （ii）由得， ，，在区间上单调递减， ， 所以，解得， 所以的取值范围是． 3．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求，； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)，； (2)在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）结合奇函数性质与计算即可得解； （2）结合函数单调性定义，令，得到的正负即可得； （3）结合奇函数与单调性定义计算即可得解. 【详解】（1）函数是定义在区间上的奇函数， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以， 当，有， 所以是定义在区间上的奇函数，符合要求， 所以，； （2）在区间上单调递增，证明如下： 由（1）得，令， 则 ， 由，所以，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递增； （3）由得， 由在区间上单调递增， 所以，解得， 所以. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，定义域为，且． (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，证明见详解. (3) 【分析】（1）构造函数，利用函数的奇偶性和已知条件列方程，求解即可； （2）先判断，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据题意，结合（1）可得，利用函数的奇偶性，单调性化简不等式，求解即可. 【详解】（1）设，， 由，得，即， 所以函数是定义在上的奇函数； 由，得，即，解得； 则，由，得，即，解得， 因此，. （2）函数在区间上单调递减，证明如下： 取，且， 则 因为，所以，， 则，即， 因此，函数在区间上单调递减. （3）由（1）可知，， 由，得，即，则， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 由函数在区间上单调递减，可得函数在区间上单调递减， 则，解得， 因此，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数为上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性和题设条件求出的值，再由奇偶性求出时的函数解析式； （2）根据（1）求得的函数解析式，判断函数在上的单调性和对称性，得到与等价的不等式组解之即得. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数，且当时，， 因，即，解得， 所以当时，. 当时，则，，则. 故有. （2）由（1）已得： 可得在上单调递减，在上单调递增. 又，所以 由① 得：；由② 得：；由③ 得：. 故的取值范围是. 6．（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，. (1)求； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由定义域关于原点对称可得； （2）由已知得单调性，再利用偶函数性质和单调性解不等式． 【详解】（1）依题意，，解得：； （2）对任意，当时，， 即时，， 所以函数在上单调递增，又是偶函数， 故等价于，解得：， 所以不等式的解集为． 7．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数为奇函数，且其定义域为． (1)求出的值，并利用单调性的定义证明：在上单调递减； (2)解不等式. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的性质求，再根据单调性的定义，即可证明； （2）根据奇函数的定义，以及单调性的性质，不等式转化为，即可求解不等式. 【详解】（1）根据奇函数的性质可知，，即， 当时，，满足，所以， 设， 则， 当时，，，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）， 因为函数是奇函数，且在区间上单调递减，， 所以函数在区间上单调递减， 所以，解得：， 所以不等式的解集为. 8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)用定义法证明在上单调递增； (2)求使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，利用赋值法可得函数解析式，再利用定义法可证明函数单调性； （2）根据函数的奇偶性与单调性可得不等式，结合函数定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以，，此时定义域关于原点对称， 且， 故是定义在上的奇函数，满足题意，所以，． 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，，，所以， 所以，即， 因此在上单调递增； （2）由（1）可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即； 故实数的取值范围为. 真题狂练十四：奇偶性+对称性的应用 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是奇函数，则的最大值与最小值互为相反数，可求. 【详解】， 设，， ，则是上的奇函数， 的最大值为，最小值为，则有， 所以. 故选：B 3．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值. 【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称， 故又，，则， 由，则， 所以，故， 所以，即， 则， 综上，是周期为16的奇函数， 所以，而， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题设得到是周期为16的奇函数为关键. 4．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1)3； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 真题狂练十五：抽象函数 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. (1)判断函数的奇偶性，并证明之； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1)是定义在的偶函数；证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令得，再令可得出，结合偶函数的定义可证得结论成立； （2）分别令、可得出，结合偶函数的性质得出，进而推导出，结合函数周期性的定义可证得结论成立； （3）利用赋值法可得出的值，，，，结合函数周期性可求得所求代数式的值. 【详解】（1）因为是定义在上的函数， 对、都有 令得，可得， 再令得，所以是定义在的偶函数. （2）令得， 再令得， 两式相加得，这里不恒为零， 故，即， 又因为函数为偶函数，则， 所以，所以函数是周期为的周期函数. （3）由（2）知，，，，， 所以，， 令得； 令，得，又， 得到； 令得， 所以 . 2．（23-24高一上·湖北鄂州·期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； （3）由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 3．（23-24高一上·广西玉林·期中）定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为． (1)求和的值； (2)试判断的奇偶性，并加以证明； (3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1)， (2)为偶函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）令可求得的值，令可取得的值； （2）令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （3）根据偶函数的性质可得出，结合函数在上的单调性可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】（1）令，得，所以，， 令，得，解得. （2）为偶函数，证明如下： 令，由得，             因为，所以，， 又不恒为，函数为偶函数. （3）由知，                       又因为函数为偶函数，则， 所以，，                又因为函数在上为增函数，所以，，解得，                             故的取值范围为. 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明； （2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 令，得，即， 令，可得，即， 所以在上为奇函数. （2），理由如下： 因为在上为奇函数， 则， 当时，，即， 所以. 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性； （2）任取，令，结合已知等式和在上的正负即可得到结论； （3）记在上的值域为在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果． 【详解】（1）是偶函数； 证明：令，则； 令，则； 取，则； 为定义在上的偶函数． （2）任取， 令，则，即； ， 又当时，，即， 在上单调递减． （3）由（1）（2）知：在上单调递减且，又， 当时，，记； 对任意，总存在，使得， 记在上的值域为； ①当，即时， 当时，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， 则，，即， 由得：，又，解得：； ②当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， ，即， 由得：，又，解得：； ③当，即时， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 时，，， 由得：，又，解得：； ④当，即时， 当时，在上单调递减， ，即， 的图象关于点中心对称， 当时，，即， 当时，， 则，，即， 由得：，又，解得：， 综上所述：实数的取值范围为． 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求及的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据，利用赋值法即可求值； （2）根据，令，结合奇函数的定义即可证明奇偶性；再利用单调性的定义证明单调性即可. （3）根据，结合第（2）问中已经证明的函数的奇偶性和单调性化简不等式，可得，根据二次函数的图象与性质分类讨论可解不等式. 【详解】（1）令，得， 令，，得，得， 令，得； 令，得. （2）由（1）知， 令，得，所以， 则是奇函数. 任取，且，则， 则. 因为当时，， 所以，即， 所以在上为增函数. （3）由得， 由为奇函数，且，则， ∴不等式可化为， ∵是上的增函数， ∴，即……①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数的基本性质15类真题狂练大突破 目录 真题狂练一：定义法证明函数的单调性 1 真题狂练二：根据函数的单调性求参数 4 真题狂练三：利用函数的单调性求值域或最值 6 真题狂练四：根据函数的最值求参数 7 真题狂练五：根据函数的单调性解不等式 9 真题狂练六：函数不等式恒成立问题 10 真题狂练七：函数不等式能成立问题 12 真题狂练八：函数图形识别 15 真题狂练九：分段函数单调性问题 16 真题狂练十：分段函数值域问题 18 真题狂练十一：由奇偶性求解析式 19 真题狂练十二：由奇偶性求参数 20 真题狂练十三：奇偶性+单调性解不等式 21 真题狂练十四：奇偶性+对称性的应用 24 真题狂练十五：抽象函数 26 真题狂练一：定义法证明函数的单调性 1．（24-25高一上·广东江门·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求，的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 2．（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 5．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明； 真题狂练二：根据函数的单调性求参数 1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知在上是减函数，则的取值范围是 . 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 6．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 7．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求的值域； (3)若在上单调递减，求实数的取值范围． 真题狂练三：利用函数的单调性求值域或最值 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数．若对，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 4．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 真题狂练四：根据函数的最值求参数 1．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·贵州·期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 3．（24-25高一上·北京·期中）已知函数． (1)若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； (2)若函数在上的最大值为1，求实数的值． 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，函数的最小值是，求实数的值. 5．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 6．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数 (1)若，求的值； (2)若的定义域为，求的取值范围： (3)若的最小值为0，求的取值范围. 真题狂练五：根据函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数满足，在上单调递减，，则的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足． (1)求和的值 (2)解关于的不等式． 6．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 真题狂练六：函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一上·广东惠州·期中）设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围. 4．（24-25高一上·河南·期中）已知函数，其中． (1)当时，求的值域； (2)函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由； (3)在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围． 5．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围． 6．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数，且. (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围. 真题狂练七：函数不等式能成立问题 1．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)解关于的不等式： (3)对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）若函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集； (3)若在区间上有解，求实数的取值范围． 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，，. (1)求的单调区间和最小值； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围. 6．（24-25高一上·安徽·期中）若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. (1)求函数的的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 真题狂练八：函数图形识别 1．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期中）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 真题狂练九：分段函数单调性问题 1．（24-25高一上·海南·期中）函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C．和 D． 2．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ． 4．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一上·北京丰台·期中）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间； (3)若；求的取值范围. 6．（24-25高一上·福建泉州·期中），用表示的较小者，记为，已知，    (1)画出函数的图象，并写出单调递减区间． (2)求不等式的解集． 7．（24-25高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 真题狂练十：分段函数值域问题 1．（24-25高一下·广东广州·期中）已知函数的值域为，则的取值范围是 ． 2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·云南昭通·期中）设，则函数的最小值为 . 4．（24-25高一上·四川成都·期中）定义一种运算，设（t为常数，且）.若函数的最大值为4，则t的取值集合为 .   5．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 6．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数． (1)在同一坐标系中画出函数的图象； (2)定义：对表示与中的较小者，记为，画函数的图象，并求函数的解析式，写出的单调区间和值域（不需要证明）． 真题狂练十一：由奇偶性求解析式 1．（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知函数为偶函数，当时，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东珠海·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 6．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 真题狂练十二：由奇偶性求参数 1．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．， C．， D．， 4．（24-25高三上·广东·期中）若为偶函数，则（   ） A．－4 B．－2 C．0 D．2 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 6．（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（   ） A．1，1 B．， C．，1 D．1， 真题狂练十三：奇偶性+单调性解不等式 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数为上的偶函数. (1)求实数a，b的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数m的取值范围. 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)利用单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)（i）判断在区间上的单调性（直接给出答案，无需证明）； （ii）若，求的取值范围． 3．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，且. (1)求，； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，定义域为，且． (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式． 5．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数为上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 6．（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，当时，. (1)求； (2)求不等式的解集. 7．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数为奇函数，且其定义域为． (1)求出的值，并利用单调性的定义证明：在上单调递减； (2)解不等式. 8．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)用定义法证明在上单调递增； (2)求使成立的实数的取值范围． 真题狂练十四：奇偶性+对称性的应用 1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 2．（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 4．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 5．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证：函数为奇函数； (3)求的值. 真题狂练十五：抽象函数 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. (1)判断函数的奇偶性，并证明之； (2)证明：； (3)求的值. 2．（23-24高一上·湖北鄂州·期中）已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 3．（23-24高一上·广西玉林·期中）定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为． (1)求和的值； (2)试判断的奇偶性，并加以证明； (3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围． 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：是奇函数； (2)判断的正负，并说明理由. 5．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，． (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递减； (3)若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求及的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)若，解关于的不等式. 学科网（北京）股份有限公司 $