专题03 一元二次函数、方程和不等式13类真题狂练大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题03 一元二次函数、方程和不等式13类真题狂练大突破 目录 真题狂练一：等式与不等式性质 1 真题狂练二：基本不等式内容辨析 2 真题狂练三：利用基本不等式求积、和最值 3 真题狂练四：二次与二次（一次）商式的最值 5 真题狂练五：“1”的妙用 7 真题狂练六：条件等式求最值 8 真题狂练七：基本不等式的恒成立问题 8 真题狂练八：对钩函数求最值 10 真题狂练九：解不含参的一元二次不等式 10 真题狂练十：解含参的一元二次不等式 12 真题狂练十一：由一元二次不等式的解确定参数 13 真题狂练十二：一元二次不等式的恒成立问题 14 真题狂练十三：一元二次不等式的能成立问题 16 真题狂练一：等式与不等式性质 1．（24-25高一上·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 4．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 7．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 10．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 真题狂练二：基本不等式内容辨析 1．（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 2．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 4．（多选）（23-24高二上·云南昆明·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．的最小值为 C．若，则 D．存在，使得成立 5．（多选）（23-24高一上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 真题狂练三：利用基本不等式求积、和最值 1．（多选）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 2．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值为 . 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 5．（24-25高一上·河南郑州·期中）设，，且，则的最大值． 6．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 7．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 真题狂练四：二次与二次（一次）商式的最值 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 3．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 真题狂练五：“1”的妙用 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 3．（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的取值范围 (2)若，求的最小值 (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围 5．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 真题狂练六：条件等式求最值 1．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 2．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（24-25高一上·安徽·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 5．（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期中）若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 6．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 8．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 真题狂练七：基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 2．（23-24高一上·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 5．（24-25高一上·辽宁·期中）若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为 . 6．（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 . 7．（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 9．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 真题狂练八：对钩函数求最值 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题狂练九：解不含参的一元二次不等式 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 6．（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) (3) 真题狂练十：解含参的一元二次不等式 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 3．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 4．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 真题狂练十一：由一元二次不等式的解确定参数 1．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 4．（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 真题狂练十二：一元二次不等式的恒成立问题 1．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 8．（24-25高一上·天津西青·期中）已知关于x的不等式 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 9．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 10．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 真题狂练十三：一元二次不等式的能成立问题 1．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 3．（24-25高一上·河北张家口·期中）已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 6．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次函数、方程和不等式13类真题狂练大突破 目录 真题狂练一：等式与不等式性质 1 真题狂练二：基本不等式内容辨析 6 真题狂练三：利用基本不等式求积、和最值 9 真题狂练四：二次与二次（一次）商式的最值 14 真题狂练五：“1”的妙用 18 真题狂练六：条件等式求最值 21 真题狂练七：基本不等式的恒成立问题 25 真题狂练八：对钩函数求最值 31 真题狂练九：解不含参的一元二次不等式 32 真题狂练十：解含参的一元二次不等式 35 真题狂练十一：由一元二次不等式的解确定参数 40 真题狂练十二：一元二次不等式的恒成立问题 43 真题狂练十三：一元二次不等式的能成立问题 47 真题狂练一：等式与不等式性质 1．（24-25高一上·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 3．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 4．（24-25高一下·广西·期中）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及充分不必要条件定义判断求解. 【详解】因为，所以，所以“”是“”的充分条件； 当，满足，但是不符合，所以“”是“”的不必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件； 故选：B. 5．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过举反例可判断A、C、D是假命题；利用作差法比较大小可判断B正确. 【详解】对于A，当时，，故A是假命题； 对于B，若，则， 由于不同时为0，所以，故B是真命题； 对于C，当时，，故C是假命题； 对于D，当时，不成立，故D是假命题； 故选：B 6．（24-25高一下·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 7．（23-24高一上·广东韶关·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 8．（多选）（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 9．（多选）（24-25高一下·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质可得AB正确；举反例或者作差分析可得C错误；举例可得D错误. 【详解】对于A：因为，， 因为，两边同乘以，不等号的方向不变，得， 所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以， ，两边同乘以并化简得， 所以，故B正确； 对于C： 方法一：若，此时分母无意义，不能比较，故C错误. 方法二：时不等式左边无意义，不能比较. 当时做如下分析： ， 符号不确定，故结论不确定，故C错误; 对于D： 若，则，故D错误. 故选：AB 10．（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 真题狂练二：基本不等式内容辨析 1．（24-25高一上·安徽·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；取、均为负数，可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 2．（24-25高一上·河北石家庄·期中）下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 3．（多选）（23-24高一上·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 4．（多选）（23-24高二上·云南昆明·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．的最小值为 C．若，则 D．存在，使得成立 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质及基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值不为，故B错误； 对于C，例如满足，但，故C错误； 对于D，存在，使得成立，故D正确. 故选：AD. 5．（多选）（23-24高一上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 真题狂练三：利用基本不等式求积、和最值 1．（多选）（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【答案】ACD 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 2．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 5．（24-25高一上·河南郑州·期中）设，，且，则的最大值． 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】由，可得，． 由基本不等式可得：， 因为，所以， 即．当且仅当即，时，等号成立． 故xy的最大值为． 6．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，且. (1)求的最小值； (2)求的取值范围； 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用基本不等式求出最小值. （2）根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得范围. 【详解】（1）由，得，当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得，所以的最小值为16. （2）由，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的取值范围为. 7．（24-25高一上·四川眉山·期中）求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 真题狂练四：二次与二次（一次）商式的最值 1．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 3．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 4．（24-25高一上·安徽六安·期中）（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 真题狂练五：“1”的妙用 1．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）设，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， （当且仅当即时取“”）. 故选：C 2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，且，的最小值为 . 【答案】35 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 3．（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由乘“1”法，将和相乘，展开后，利用基本不等式即可求解； 【详解】由可得： ， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 4．（24-25高一上·福建福州·期中）回答下列问题 (1)已知，求的取值范围 (2)若，求的最小值 (3)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用不等式的性质求解取值范围即可. （2）对原式合理变形，利用基本不等式求最值即可. （3）对原式合理变形，将其变为，再利用基本不等式得到最值，进而求解参数范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 得到，则. （2）由题意得， ， 而，由基本不等式得， 当且仅当，此时解得， 则，故，得到的最小值是. （3）因为，所以， 得到，即， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而 此时解得，， 则， 而恒成立，得到. 5．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知，，且. (1)证明：； (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用基本不等式证得不等式成立. （2）利用“1的代换”的方法，结合基本不等式来求得最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. （2）因为，所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，故，即的最小值是2. 真题狂练六：条件等式求最值 1．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 2．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】算式中的2改写为，得，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 3．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 4．（24-25高一上·安徽·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：A. 5．（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期中）若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 【答案】ABD 【分析】对于A，B，D利用重要不等式判断即可；对于C，运用“万能k法”判断方程是否有解即可. 【详解】对于A，当时，，解得， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确； 对于C，当时，， 设，则化为， 即， 因为关于的方程有解， 所以，解得， 所以没有最大值，选项C错误； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确． 故选：ABD． 6．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若两个正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数，满足，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 8．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 真题狂练七：基本不等式的恒成立问题 1．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 2．（23-24高一上·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求得的最小值，进而可得，求解即可. 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 3．（24-25高一上·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）当，时，，则实数的最大值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．1 【答案】A 【分析】分析可得，利用基本不等式运算求解最值即可. 【详解】因为当，时，，可得， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的最大值为9. 故选：A. 5．（24-25高一上·辽宁·期中）若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先对一切正数x，y恒成立，进一步恒成立且不妨让，从而只需求出的最大值即可. 【详解】不等式对一切正数x，y恒成立当且仅当不等式对一切正数x，y恒成立， 令，所以恒成立， 所以不妨让， 则 ，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，有最大值1， 所以的取值范围为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，不等式恒成立，即， ，当且仅当时等号成立，故. 故答案为： 7．（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【详解】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 9．（23-24高一上·河南信阳·期中）已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)时，的最小值为9 (2) 【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 真题狂练八：对钩函数求最值 1．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而，恒成立.分离常数，结合对勾函数的单调性求最值即可. 【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立， ，令，则，， 所以， 根据对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，， ∴. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 3．（23-24高一上·山东·期中）不等式对于，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分离参数得对于，恒成立，通过换元求最值即可求出的取值范围. 【详解】因为不等式对于，恒成立， 所以不等式对于，恒成立， 令， 由对勾函数的性质，函数在上单调递减， 所以，所以，. 故选：A 真题狂练九：解不含参的一元二次不等式 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式得到答案. 【详解】由得，解得或， 故选：B. 2．（23-24高一上·甘肃白银·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解一元二次不等式，判断. 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 4．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的求解方法判断即得. 【详解】不等式化为：，而， 所以的不等式无解，即解集为. 故选：B 5．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 6．（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) (3) 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解. （3）化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 真题狂练十：解含参的一元二次不等式 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 2．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 3．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 4．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案； （2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． （2）不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 真题狂练十一：由一元二次不等式的解确定参数 1．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的解集，得到，，，进而可求解； 【详解】∵不等式的解集为或， 可得,是方程的两根， 由韦达定理可得： ，，且， 所以的解集，即， 所以解集为， 故选：A. 2．（24-25高一上·云南文山·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 3．（多选）（24-25高一上·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选）（24-25高一上·海南儋州·期中）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由题意知，和是方程的两个实数根，则， 故且，解得，， 故选：AC. 5．（多选）（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 真题狂练十二：一元二次不等式的恒成立问题 1．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 2．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）对于任意的，，定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知不等式可化为得，结合条件及二次函数性质可得，解不等式可得结论. 【详解】由已知得对任意实数恒成立， 所以，解得. 故选：B. 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 5．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，且在上恒成立，讨论、、求实数x的取值范围. 【详解】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 6．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 7．（24-25高一上·河南·期中）已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题． 因为， 所以， 只需，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·天津西青·期中）已知关于x的不等式 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类讨论，并结合判别式求解出范围. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以k的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一上·四川泸州·期中）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 真题狂练十三：一元二次不等式的能成立问题 1．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·北京·期中）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】问题化为为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可. 【详解】由题设，为假命题，故为真命题， 又在上递增，则，只需即可， 所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25高一上·河北张家口·期中）已知，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】先由基本不等式求出，从而根据不等式有解得到，求出答案. 【详解】由题， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式有解，所以，即， 解得或，即实数的取值范围是 故答案为： 4．（23-24高一上·四川泸州·期中）若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得在上有解，然后求出的最小值即可. 【详解】因为函数，使不等式成立， 所以在上有解，所以 ， 因为，所以， 所以当时，取得最小值， 所以，即实数a的取值范围为， 故答案为：. 5．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解. 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 故答案为： 6．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案. （2）变换得到，计算函数的最小值得到答案. 【详解】（1）当时，有解， 即在上有解， 又，于是等价于， 故，又， 当且仅当即，即时等号成立，所以 所以实数的取值范围是 （2）当时，恒成立． 因为，且当时有最大值为， 所以等价于． 在区间上的最小值为，故只需即可， 所以实数的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $