专题01 集合16类真题狂练大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合16类真题狂练大突破 目录 真题狂练一：判断元素能否构成集合 1 真题狂练二：判断元素与集合的关系 2 真题狂练三：根据元素与集合的关系求参数 3 真题狂练四：集合元素互异性 3 真题狂练五：集合的表示 3 真题狂练六：根据集合元素的个数求参数 4 真题狂练七：判断集合子集（真子集）个数 5 真题狂练八：求集合子集（真子集） 5 真题狂练九：判断两个集合包含关系 6 真题狂练十：根据集合包含关系求参数 7 真题狂练十一：根据两个集合相等求参数 8 真题狂练十二：并、交、补运算 8 真题狂练十三：根据集合的运算结果求参数 10 真题狂练十四：容斥原理 13 真题狂练十五：利用图求集合 14 真题狂练十六：集合新定义题 16 真题狂练一：判断元素能否构成集合 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 4．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 5．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 6．（23-24高一上·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 7．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 真题狂练二：判断元素与集合的关系 1．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 真题狂练三：根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 4．（24-25高一上·北京丰台·期中）设集合，若，则实数的值为 ． 5．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，且，则 . 真题狂练四：集合元素互异性 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 3．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·河北张家口·期中）已知集合，且，则 . 真题狂练五：集合的表示 1．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 4．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 真题狂练六：根据集合元素的个数求参数 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 真题狂练七：判断集合子集（真子集）个数 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 真题狂练八：求集合子集（真子集） 1．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 真题狂练九：判断两个集合包含关系 1．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知集合，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西汉中·期中）下列元素、集合间的关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 真题狂练十：根据集合包含关系求参数 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 3．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 4．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 5．（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 真题狂练十一：根据两个集合相等求参数 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 2．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 3．（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 4．（24-25高一上·甘肃武威·期中）若集合，集合，且，则实数 5．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知集合，，若，则集合 . 真题狂练十二：并、交、补运算 1．（24-25高二下·河北·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江温州·期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖南娄底·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 10．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 真题狂练十三：根据集合的运算结果求参数 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 6．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 7．（24-25高一上·四川泸州·期中）设集合，， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 8．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 9．（24-25高一上·河南开封·期中）设集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 真题狂练十四：容斥原理 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 2．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 3．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 4．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 5．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 6．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 7．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 8．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 9．（24-25高一上·江苏镇江·期中）某班有17人参加田径与球类比赛，其中参加田径的有8名同学，两项都参加的有3名同学，则参加球类比赛的人数是 . 真题狂练十五：利用图求集合 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高三上·福建·期中）图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 优秀 合格 合计 语文 20 28 48 英语 30 18 48 真题狂练十六：集合新定义题 1．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·期中）向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高二下·湖南·期中）如果对于正整数集，将集合拆分成16个三元子集（子集有三个元素），且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则的最大值为（    ） A．12 B．9 C．7 D．6 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 5．（24-25高一下·北京·期中）已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集． (1)判断是否为连续生成数集？说明理由； (2)数集是否为连续生成数集？说明理由； (3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值． 6．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，求和； (2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； (3)证明：“”的充要条件是“”. 9．（24-25高一上·福建泉州·期中）有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合16类真题狂练大突破 目录 真题狂练一：判断元素能否构成集合 1 真题狂练二：判断元素与集合的关系 4 真题狂练三：根据元素与集合的关系求参数 5 真题狂练四：集合元素互异性 7 真题狂练五：集合的表示 8 真题狂练六：根据集合元素的个数求参数 9 真题狂练七：判断集合子集（真子集）个数 11 真题狂练八：求集合子集（真子集） 13 真题狂练九：判断两个集合包含关系 14 真题狂练十：根据集合包含关系求参数 16 真题狂练十一：根据两个集合相等求参数 18 真题狂练十二：并、交、补运算 20 真题狂练十三：根据集合的运算结果求参数 23 真题狂练十四：容斥原理 28 真题狂练十五：利用图求集合 33 真题狂练十六：集合新定义题 36 真题狂练一：判断元素能否构成集合 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 2．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 3．（24-25高一上·广西南宁·期中）下列对象能组成集合的是（    ） A．非常接近0的数 B．身高很高的人 C．绝对值为5的数 D．著名的数学家 【答案】C 【分析】借助集合中元素的性质逐项判定即可得. 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误； 对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高一上·四川南充·期中）下列选项中，能够构成集合的是（    ） A．南充高中高2024级个子较高的学生 B．高中数学人教A版必修第一册中的难题 C．关于的方程的所有实根 D．无限接近于的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征即可求解. 【详解】对于A，个子较高，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故A错误， 对于B，难题，概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故B错误， 对于C，的根为，故集合为，C正确， 对于D, 无限接近于,概念模糊，不符合集合中的元素确定性，故D错误， 故选：C 5．（24-25高一上·湖北·期中）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．中国古代四大发明 B．所有无理数 C．2024年高考数学难题 D．小于的正整数 【答案】C 【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论. 【详解】对于A，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A能构成集合； 对于B，所有无理数定义明确，即B能构成集合; 对于C，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C构不成集合； 对于D，小于的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D能构成集合. 故选：C 6．（23-24高一上·广西南宁·期中）下列各组对象能构成集合的是（    ） A．充分接近的所有实数 B．所有的正方形 C．著名的数学家 D．1，2，3，3，4，4，4 【答案】B 【分析】根据构成集合元素的特征满足确定性、互异性判断各选项即可. 【详解】对于A，充分接近的所有实数不能满足集合元素的确定性，A不能； 对于B，所有的正方形可以构成一个集合，B能； 对于C，著名的数学家不能满足集合元素的确定性，C不能； 对于D，元素有重复，不满足集合元素的互异性，D不能. 故选：B 7．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 8．（23-24高一上·重庆·期中）下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 真题狂练二：判断元素与集合的关系 1．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果. 【详解】易知为有理数，可得，即A正确； 易知，即B错误； 而0不是正整数，所以，即C错误； 显然不是整数，即，可得D错误； 故选：A 3．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系判断. 【详解】A，2是自然数，故A正确；B，是无理数，不是有理数，故B错误； C，0是自然数，故C错误；D，是分数，不是整数，故D错误. 故选：A 4．（24-25高一上·天津南开·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 5．（24-25高一上·湖北·期中）下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案. 【详解】，①正确；，②正确； 为元素，为集合，两者不能用等号连接，应，③错误； ，④错误；，⑤错误；，⑥正确. 故选：A 真题狂练三：根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知集合，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素的包含关系求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，解得， 故选：D 2．（24-25高一上·四川·期中）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 4．（24-25高一上·北京丰台·期中）设集合，若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系，建立关于的方程，解方程及验证得解. 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ①当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ②当时，，满足题意，则实数的值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川成都·期中）已知集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及元素满足互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为集合，且，则或， 满足的不存在，满足的的值为. 故. 故答案为：. 真题狂练四：集合元素互异性 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 2．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 3．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·河北张家口·期中）已知集合，且，则 . 【答案】-1 【分析】分和两种情况，利用元素互异性排除不合要求的解，得到答案. 【详解】集合， 当时，解得或， 当时，，满足要求， 当时，不满足元素互异性，舍去， 当时，，不符合题意，所以. 故答案为：-1 真题狂练五：集合的表示 1．（24-25高一上·广西玉林·期中）集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，则 【答案】 【分析】根据集合描述，应用列举法表示集合即可. 【详解】因为或或，所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知，用列举法表示 ． 【答案】 【分析】利用列举法来求得正确答案. 【详解】依题意，，所以和都是自然数， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 真题狂练六：根据集合元素的个数求参数 1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 3．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，若中只有一个元素，则的值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意分情况讨论即可求得结果，当时，满足题意；时，只需让判别式等于零即可. 【详解】当时，解得，满足题意； 当时，此时，解得， 所以的值构成的集合为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 真题狂练七：判断集合子集（真子集）个数 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先用列举法写出集合，得出元素个数，再利用公式计算其子集个数. 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 2．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，则集合A的真子集个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据集合个数，结合集合真子集公式，即可求解. 【详解】集合，则集合的子集个数. 除去集合本身，还有个真子集. 故选：C. 3．（23-24高一上·甘肃白银·期中）已知集合，则集合真子集的个数（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据真子集个数计算公式即可得到答案. 【详解】由题意得集合真子集的个数为. 故选：C. 4．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 真题狂练八：求集合子集（真子集） 1．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 3．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，若，若集合是的子集且有两个元素，则 ． 【答案】或或 【分析】首先根据，求出参数的值；然后再根据子集的概念求解集合即可 【详解】由于，所以或， 解得：或； 当时，不满足元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意. 又因为集合是集合的子集且有两个元素， 所以或或. 故答案为：或或. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 真题狂练九：判断两个集合包含关系 1．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知集合，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为集合，， 可知，但，所以集合A不是的子集，故AB错误； 显然，故C错误， 且，故D正确； 故选：D. 2．（24-25高一上·陕西汉中·期中）下列元素、集合间的关系表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系以及集合与集合的关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】是无理数，所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：D 3．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系，对选项进行判断. 【详解】集合，由元素与集合的关系和集合与集合的关系， 有，，，，ABC选项错误，D选项正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）下列关系中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可. 【详解】空集是任何非空集合的真子集，所以，A正确； 有理数集的补集为无理数集，所以，B正确； 正整数集不包括元素0，所以，C错误； 表示自然数集，表示整数集，所以，D正确． 故选:C． 5．（24-25高一上·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 真题狂练十：根据集合包含关系求参数 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 2．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 3．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 4．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 5．（23-24高一上·重庆·期中）已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【分析】（1）根据题意分析可知2为方程的根，代入运算求解即可； （2）根据题意求集合，结合子集关系分析求解. 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 真题狂练十一：根据两个集合相等求参数 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【答案】1 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 2．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果. 【详解】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 故答案为： 3．（24-25高一上·河南新乡·期中）设a，，集合，，若，则 ． 【答案】 【分析】由，则集合中元素相同，列出方程组求出，再由集合中元素的互异性，排除不符合的情况，可得答案. 【详解】因为集合，，， 若则，或， 当时，，此时； 当时，，不符合集合元素的互异性． 若，则，不符合集合元素的互异性． 故答案为：. 4．（24-25高一上·甘肃武威·期中）若集合，集合，且，则实数 【答案】 【分析】根据集合的相等，可得是的两根，利用韦达定理，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，集合，且， 故是的两根， 故，满足题意. 故答案为： 5．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知集合，，若，则集合 . 【答案】 【分析】由集合相等的条件可得m的值，再结合集合中元素的互异性进行验证即可. 【详解】当时，； 当，即时，集合B中元素不满足互异性. 故答案为：. 真题狂练十二：并、交、补运算 1．（24-25高二下·河北·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】依题意得，，，所以． 故选：C. 2．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合运算直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以. 故选：D 3．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 4．（24-25高二下·浙江·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，再利用集合的交集运算即可. 【详解】由，， 可得. 故选：D 5．（24-25高二下·浙江温州·期中）设全集，集合，集合，集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集，并集和补集的概念进行求解，得到答案. 【详解】， ，故 故选：A 6．（24-25高二下·湖南娄底·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式化简集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】，解得，， 又，. 故选：B. 7．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值性质化简集合B，进而求并集. 【详解】由题意可得：集合， 且集合，所以. 故选：A. 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知根据交集的定义求解即可. 【详解】由已知当或时，，当时，无意义， 当时，，当时，， 所以. 故选：. 9．（24-25高一下·云南红河·期中）已知全集，则 . 【答案】 【分析】利用补集、并集的定义直接求解. 【详解】全集，则， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，，或或. 【分析】由题意，利用集合交并补的运算，可得答案. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 真题狂练十三：根据集合的运算结果求参数 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由得，根据集合的包含关系即可求解； （3）根据和分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据交集的概念计算即可； （2）根据集合的关系及补集运算，分类讨论计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 3．（24-25高一上·天津·期中）已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用集合的交补运算求集合； （2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解； （2）求出，根据并集结果得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 5．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 6．（24-25高一上·云南昭通·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求并集，再求补集即可； （2）由集合间的包含关系分集合是否为空集，当不为空集时，解不等式组即可； 【详解】（1）当时，，， 因此， 所以或. （2）由，得， 当时，则， 解得，满足，因此； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 7．（24-25高一上·四川泸州·期中）设集合，， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集、并集的运算可直接求解. （2）根据可得，再根据集合的包含关系，分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以，. （2）因为，所以. ①当时，，此时成立； ②当时，. 综上：. 故实数的取值范围为. 8．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，利用交集的定义直接求解. （2）利用补集的定义，结合交集的结果求出的范围. 【详解】（1）当时，，而， 所以. （2）由（1）知，显然，由， 得，解得， 所以a的取值范围是. 9．（24-25高一上·河南开封·期中）设集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）依题意可得，根据集合的包含关系，分类讨论求参数的取值范围. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即可. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得. （2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可； 【详解】（1）当时，又， 所以，； （2）当时，由，解得，满足，符合题意； 当时，可得或，解得或． 综上，实数的取值范围是或． 真题狂练十四：容斥原理 1．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 2．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 3．（24-25高一上·四川泸州·期中）某学校举办了多个课余活动，高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加，则这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有（   ） A．4名 B．6名 C．8名 D．10名 【答案】D 【分析】由集合的运算即可得出结果. 【详解】因为高一（1）班有40名同学，其中25名同学参加了体育活动，15名同学参加了科学活动，有10名同学这两个课余活动均没参加， 所以这个班既参加了体育活动，又参加了科学活动的同学有名． 故选：D. 4．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【分析】画出韦恩图求解即可. 【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 5．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 6．（多选）（24-25高一上·云南昆明·期中）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 7．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期中）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 8．（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 9．（24-25高一上·江苏镇江·期中）某班有17人参加田径与球类比赛，其中参加田径的有8名同学，两项都参加的有3名同学，则参加球类比赛的人数是 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得只参加田径的人数，从而得到结果. 【详解】由题意可知，只参加田径的有人， 所以参加球类比赛的人数是人. 故答案为： 真题狂练十五：利用图求集合 1．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 2．（23-24高三上·福建·期中）图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知，阴影部分为集合与的公共部分，且不在集合中，再用集合表示出. 【详解】由韦恩图知，阴影部分集合为与的交集，再与集合的补集的交集， 所以表示的集合为. 故选：D 3．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的集合，结合韦恩图阴影部分表示的集合求得结果. 【详解】由韦恩图得阴影部分表示的集合为， 而全集，集合，， 所以. 故选：B 4．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，图中阴影部分所表示的集合为，进而结合交集和补集的定义求解即可. 【详解】已知全集，集合，， 则， 图中阴影部分所表示的集合为 故选：C. 5．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的交并补运算，及韦恩图求阴影部分对应的集合. 【详解】由题设或，或， 所以，由图知，阴影部分为， 所以. 故选：D 6．（24-25高二上·广东汕头·期中）已知全集，集合，，则下面韦恩图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图可得图中阴影部分表示的集合为，进而结合补集和交集的定义求解即可. 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 因为，， 所以或，又， 所以. 故选：D. 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）某学校高一年级一班48名同学全部参加语文和英语书面表达写作比赛，根据作品质量评定为优秀和合格两个等级，结果如表所示：若在两项比赛中都评定为合格的学生最多为10人，则在两项比赛中都评定为优秀的同学最多为 人． 优秀 合格 合计 语文 20 28 48 英语 30 18 48 【答案】12 【分析】利用Venn图求解. 【详解】解：由题意得：设语文合格的为集合A，英语合格的为集合B， 由题意画出Venn图，如图所示： 则， 所以， 即两项比赛中都评定为优秀的同学最多为人， 故答案为：12 真题狂练十六：集合新定义题 1．（24-25高一下·湖南·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 2．（24-25高一下·北京·期中）向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定“凸集”的定义，结合集合的运算及利用举反例的方法推理判断各个命题即可 【详解】依题意，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”， 对于①，，若对于任意满足，则， 由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，为“凸集”，①正确； 对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中， 对于任意，，为“凸集”，②正确； 对于③，若，， 任取，， 则对于任意任意，，集合是“凸集”， 任取，， 则对于任意任意，，集合是“凸集”， 取，，但，不是“凸集”，③错误； 对于④，若都是“凸集”， 则对于任意， 任意，则，且， 则，也是“凸集”，④正确， 所以所有正确说法的个数为3. 故选：B 3．（24-25高二下·湖南·期中）如果对于正整数集，将集合拆分成16个三元子集（子集有三个元素），且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则的最大值为（    ） A．12 B．9 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据集合新定义结合、等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】因为有48个元素，可以拆成16个三元子集， 将这16个三元子集中最大的数依次记为， 则 . 又中所有元素和为， 所以由题意， 所以，解得，又所以. 当时，， 可拆为， ， ， ，所以的最大值是7， 故选：C. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 5．（24-25高一下·北京·期中）已知为自然数集的子集，将从小到大排序后依次记为，定义是由，，，为元素组成的集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数集． (1)判断是否为连续生成数集？说明理由； (2)数集是否为连续生成数集？说明理由； (3)若数集为连续生成数集，求正整数的最大值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)不是，理由见解析 (3)7 【分析】（1）根据连续生成数集的定义判断即可； （2）根据连续生成数集的定义判断即可； （3）先证是连续生成数集，进而，再证不是连续生成数集，即可求解正整数的最大值. 【详解】（1），， ∵，∴不是连续生成数集. （2）若为连续生成数集，则， 又中最多有10个元素， 则，从而， ∴， 即， ∵，∴为偶数， 而55为奇数，不能成立， ∴数组不是连续生成数集. （3）当时，，，，，，，，是连续生成数集，所以， ∵中至多有10个元素，∴， 假设是连续生成数集，不妨设 ， 当时，中至多有7个元素，不成立， 若，因为是中最小的元素，此时，不成立， 因此必有，为使，必有， 此时，，所以，， ∵中至多有10个元素，， ∴， ， 即不成立. ∴假设不成立，不是连续生成数集. 假设是连续生成数集，则是连续生成数集，矛盾， 所以假设不成立.结合（2）结论，可知的最大值为7. 6．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定． (1)若，，请写出集合和． (2)若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值31，最小值11，理由见解析 【分析】（1）根据、的定义来求得正确答案. （2）根据非空子集的个数确定最大值，利用特殊值法来确定最小值. 【详解】（1），， 所以， ，， ， 所以. （2）最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素． 可以构造如下集合：，这个集合的元素均为素数， 中最大的元素为，则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同， 从而集合由该数字的所有大于1的因数组成， 所以中元素个数的最大值为31． 最小值：不妨设，取，显然有， 则， 则至少有11个元素． 可以构造如下集合：， 此时，所以中元素个数的最小值为11． 综上所述，中元素个数的最大值为31，最小值为11. 【点睛】方法点睛： 对于根据新定义求集合的问题，关键是要准确理解定义中各个符号的含义和运算规则，然后按照规则对给定集合的相关情况进行逐一分析和计算. 求集合元素个数的最值问题，对于最大值，通常可以从集合的基本性质（如子集个数）出发进行分析，通过构造特殊集合来验证；对于最小值，需要根据题目条件（如元素的性质、大小关系等）进行推理，同样通过构造合适的集合来验证.在构造集合时，要充分考虑如何满足题目要求，使构造的集合能够清晰地说明最值的情况. 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. (1)若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； (2)若集合是“等差集”，求m的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】(1)或或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【详解】（1）因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； （2）若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. （3）假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期中）笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，求和； (2)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为.记，，满足，对x，y恒成立，求的取值范围； (3)证明：“”的充要条件是“”. 【答案】(1)，； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可. （3）根据的定义结合充分必要条件分析证明； 【详解】（1）因为，且， 所以，； （2），，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又对，恒成立， 所以，即的取值范围为. （3）若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 9．（24-25高一上·福建泉州·期中）有限集中元素均为正整数，设中的元素.当，都存在，使得，则称中的元素是“完全可拆”；当，则称中的元素是“完全不可拆”. (1)判断集合且中的元素是“完全可拆”或“完全不可拆”，并说明理由； (2)若，且中的元素“完全可拆”，求的最小值； (3)若为奇数，且中的元素“完全不可拆”，求的最大值（用表示）. 【答案】(1)中的元素是“完全可拆”；中的元素是“完全不可拆” (2)9 (3) 【分析】（1）利用“完全可拆”定义将中除外的元素进行“分拆”可得；由“完全不可拆”定义证明集合中任意的两个不同元素之和都不是的元素即可得； （2）根据“完全可拆”定义得中元素，需满足条件，找到满足条件的含有个元素的集合，再证明时不满足条件； （3）先证明预备结论“对任意，若，则”，由此推得中元素最多个，再找到满足题意的含有个元素的集合即可. 【详解】（1）集合， 因为， 满足定义，所以中的元素是“完全可拆”； 集合且， 设任意，则，其中，且，， 则， 故中的元素是“完全不可拆”. （2）由题意，，则，， 又中的元素是“完全可拆”， 可知，都存在，使得， 则，（） 且，由中元素均为正整数，. 所以，，. ①当时，， 由， . 所以中的元素是“完全可拆”，此时，； ②下面证明，不符合题意. 若，即集合满足，且中的元素是“完全可拆”，. 由上已知，，. 故由，可知，故； 依此类推，可知. 因为， 若，则，故不可能. 若，则，则，所以； 若， 若，则，故不可能. 若，则，，所以， 同理，由，； 又因为为奇数，故也不成立，即不存在满足题意的. 故不存在这样的集合满足， 故. 同理依次可得，若，均不存在这样的集合，满足. 综上所述，的最小值为. （3）由题意，中的元素，则，. 中元素均为正整数，则，又为奇数，即. ①先证明：若集合中的元素“完全不可拆”，为奇数，则. 预备结论：集合中的元素“完全不可拆”，对任意， 若，则.下面用反证法证明该结论成立. 证明：假设， 因为为奇数，所以，即. 由中的元素是“完全不可拆”，则当， 因为，，且， 所以，这与矛盾. 故假设错误，所以若，则，得证. ①先证明：若集合中的元素“完全不可拆”，，则. 由上所证结论可知，将（为奇数，且）这个自然数分组： ， 前组数中每组至多1个是集合的元素， 又，故集合中至多个元素. 即若，则，得证. ②给出集合，即， 集合满足，且. 下面证明中的元素“完全不可拆”. 证明：，，且， 则， ，故中的元素“完全不可拆”. 综上所述，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于探究集合中元素之间的关联，如第（2）问中探究相邻元素间的关系，，；再如第（3）问中探究每组中两元素的“排斥”规律，即任意，若，则. 学科网（北京）股份有限公司 $