专题10函数的基本性质13类核心题型对点练大突破【期中大突破】2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题10函数的基本性质13类核心题型对点练大突破 目录 核心题型一：定义法证明函数的单调性… 1 核心题型二：根据函数的单调性求参数… 3 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域… 4 核心题型四：根据函数的单调性解不等式… 5 核心题型五：函数不等式恒成立问题…。 .5 核心题型六：函数不等式能成立问题… 7 核心题型七：分段函数的单调性问题… 9 核心题型八：函数的奇偶性… 10 核心题型九：由奇偶性求解析式…。 12 核心题型九：由奇偶性+单调性解不等式…13 核心题型十一：奇偶性+对称性应用… 14 核心题型十二：抽象函数问题… .15 核心题型十三：函数图形识别17 核心题型一：定义法证明函数的单调性 1.已知f(x)=+4 x∈(-2,0). (1)求证：函数f(x)在区间(-2,0)上是减函数； (2)求函数f(x)在区间-2,0)上的值域. 之U蜘函数=告号.e2. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 3.已知函数fx)=x2-2-3,(x>0. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：f(x)>0. 4.已知函数f(= (1)求f(x)的定义域； (2)证明：f(x)在1，+o）上单调递减. 5.己知函数f(x=ax2-2x-3,不等式fx)>0的解集为{xx<-1或x>3} ()求函数f(x的解析式： 2)设g对=八，判断gx在区间0，+o上的单调性，并用定义法证明。 核心题型二：根据函数的单调性求参数 1.己知函数f(x)= a(x-a'+l,x<a,的值域为R,则实数a的取值范围是（） x-2dl-1,x≥a. A.（-0,-2 B.[-2,0 C.2,+0】 D.[-2,2] 2.己知函数f(x)=x2-mx+1与函数gx的图象关于直线x=1对称若g(x在区间(-2，-1) 内单调递增，则实数m的取值范围为() A.-0,2 B.「4，+o0 c.-0,6 D.[8,+o 3.已知函数f(x=x+1 在区间2，+0）上为减函数，则实数Q的取值范围是 ax+1 4.己知函数f(x)= [2x+4,x≤a 2+1,x>。在R上单调递增，则实数a的取值范围是 5.已知a∈Z,关于x的函数y=ax+在区间L,+∞上是严格减函数，且在该区间函数值不 x+2 恒为负，则实数a= 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 1.函数f=1-√+1的值域为() A.(-0,-1] B.[1,+oo) c.[-1,1] D.R 2.已知fx到=r-6r+4,x≥1 a-2,x<1，若函数)=（存在最小值，则实数a的取值范围 为 9 3.己知函数f(x)=x- x (1)判断f(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用定义进行证明； (2)设g(x)=a-4x,若x,∈[1,9]，3x2∈[l,10],使得f(x,)=gx2）,求实数a的取值范围. 4.已知函数=文+5，求（的最小值，并求此时x的值 Vx2+4 5.若函数f)Fr-+2,4+a的值城是函数g到)=生二的定义域，求函数g 6 x-1 的值域. 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 1.己知函数f(x的定义域为0，+∞），当x>1时，f(x)>-2;且满足 川列=f到+f+2,则关于的不等式/)<1-)+2)+2的解集为() A.-2,1 B.（-2,0)U(0,1 c.（-0,-2U(1,2 .(小a 2.己知f(x= x2+x,x20 -2+xx<0' 则不等式f(f(x)<6的解集为() A.2,+0 B.(1,+0） c.（-0,2 D.-o0,1 3.已知函数f(x)= 若2->1+2，测实数的取值范用为一 4.已知函数f()的定义域为R,对于xyeR,x>y,有)-f四<1，且f④=8， x-y 则不等式fx2-3x<x2-3x+4的解集为 5.己知函数f)=-】,若f)-f+)<0,则实数的取值范围一 核心题型五：函数不等式恒成立问题 1.(1)设函数f(时=3的最大值是a,若对于任意的x0,2,a>x-x+b恒成立， x2+9 则b的取值范围是 (2)若不等式2x-1>m(x2-1对满足m≤2的所有m都成立，则x的取值范围是一· 2.三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数f(x)=心2+b(其中a>0,b>0)的 图象恰如其形，因而得名三义戟函数.已知三叉戟函数f(x)=a2+b的图象经过点(1,2)， 且满足∫(-1=0. ()求函数f(x)的解析式： (2)若Vx∈(0，+o),都有f（x)+f 2m≥0恒成立，求实数m的求值范围， 3.设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R· (1)若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的值域： (2)若对任意的x,x2∈[0,4]，都有f(x)-f(x2≤8，求实数t的取值范围， 4.己知函数f(x=3x2+7nx-6n2(其中n∈R) (1)解关于x的不等式(x)≤0 (2)若不等式f(x+x2-2nx+6n2+4>0在x∈(1,5)内恒成立，求实数n的取值范围. 5.己知函数f(x)=2x+1。 (1)用定义法证明函数∫(x)在区间[山，+∞)上单调递增； 回对任意的x,5可都有+21+6≤f)+忍成立，求实数：的取值范围 核心题型六：函数不等式能成立问题 1.己知二次函数f(x)=-x2+mx+n的图象过点(2,3)，且f(1-x)=f(1+x). (1)求f(x)的解析式： 回设氨=2，若对红流的0引，总有在气=2，使利e)=/+a限立， X, 求实数a的取值范围. 2.己知函数g(x)=ax2+c(a,c∈R),g(1=1且不等式gx≤x2-x+1对一切实数x恒成立. (1)求函数gx的解析式； (2)在1)的条件下，设函数h(x)=2gx-2,关于x的不等式 x一-小+网≤n训，在x∈[+有解，求实数m的取值范国。 3.己知函数f(x)=-mx2+mx-1. (1)若m=-1,求函数f(x)在(0,2)上的值域； 2)若3x∈{x0<x<4,满足f(x)≥(-m+1)x2+3,求实数m的取值范围. 4.己知函数f(x=mx+1m≠0)，8x=x2+2x+k. (1)若xeR,使得gx)≤0，求k的取值范围； 2)若Hxe[-1,2],都有f(x)>0恒成立，求m的取值范围； 3)当k=3时，Hx,∈[1,2]，3x2∈[-1,2]，满足f(x)≤gx),求m的取值范围. 6.设f因-2茶e到=r+5-2aa>0,若对%e0小，0叫，俊特g4=成 立，求a的取值范围. 核心题型七：分段函数的单调性问题 ar2+a+,x≥1在R上是单调的函数，则实数a的取值范围是(). (a-3)x+2a,x<1 1.己知函数f(x)= A. B.3,4 cu4 xx+a-5,x≤1， 2.若函数f(=口，x>1 是R上的单调函数，则实数Q的取值范围为() x A.[-3,-2] B.[-3,-1 c.[-2,0 D.(0,+0 3.己知函数f(x)= ++1,x之0若fm)<f2-m2),则实数m的取值范围是（） 2x+1,x<0 A.(-0,-1)U(2,+0) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-0,-2)U1,+0) 4.f(x)= 〔-，x≤a.①若a=0,求f-)- .②若f(x)在R上单调递增，则a的 8x,x>a 取值范围是 5.己知函数f(x)= -x2+1,x<1 x-1,l≥1 (1)画出函数f(x)的图象； 2)求f》的值： 3)写出函数f(x)的单调递减区间. 核心题型八：函数的奇偶性 1.判断下列函数的奇偶性： √4-x (1)f(x)= x+3-3 i=x层： 3)f(x)=x-1+x+1; wn国-id 2.判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)y=x; 2y=、11 1+x1-x9 3)y=x3-x,xe[-3,3); 4)y=0,xe[-1,1. 专题10函数的基本性质13类核心题型对点练大突破 目录 核心题型一：定义法证明函数的单调性 1 核心题型二：根据函数的单调性求参数 5 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 7 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 10 核心题型五：函数不等式恒成立问题 14 核心题型六：函数不等式能成立问题 18 核心题型七：分段函数的单调性问题 23 核心题型八：函数的奇偶性 26 核心题型九：由奇偶性求解析式 31 核心题型九：由奇偶性+单调性解不等式 34 核心题型十一：奇偶性+对称性应用 39 核心题型十二：抽象函数问题 42 核心题型十三：函数图形识别 46 核心题型一：定义法证明函数的单调性 1．已知． (1)求证：函数在区间上是减函数； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）用定义证明减函数； （2）由单调性求值域. 【详解】（1）任取，且， 则， 又因为，且，所以， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数． （2）由（1）知函数在区间上是减函数，又， 所以函数在区间上的值域为． 2．已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 3．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明： (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2). 【分析】（1）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式. 【详解】（1）任取、且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 4．已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 5．已知函数，不等式的解集为或. (1)求函数的解析式； (2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据不等式解集得到是的两根，从而由韦达定理得到方程，求出，得到解析式； （2），定义法求函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）由题意得：是的两根， 故，解得， ； （2）在上单调递增，证明如下： ， 任取，且， ， 又，， ， ， ， 在区间上单调递增. 核心题型二：根据函数的单调性求参数 1．已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 2．已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性确定函数的单调区间，再利用二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称， 若在区间内单调递增，则在区间上单调递减， 故，解得： 故选：D. 3．已知函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用常数分离法将原函数变形，根据参数分类讨论，利用反比例函数的单调性建立不等式，求解即得参数范围. 【详解】当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，由题意得， ①当时，，显然不合题意； ②当且时，，函数在和均为增函数，不合题意； ③当时，，函数在和均为减函数，因在上为减函数，故需使，即，故得. 综上，可得实数的取值范围是. 故答案为： 4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 5．已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 . 【答案】或0 【分析】先进行分离变形，然后结合反比例函数的单调性即可求解. 【详解】由已知，， 又函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负， 所以，解得，又因为，所以或0. 故答案为：或0. 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 2．已知，若函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，首先由二次函数性质确定上的单调性和最值，再讨论参数a，结合的单调性及存在最小值，求参数范围. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 若，在上单调递增，其值域为， 此时不存在最小值，不符合； 若，则在上，此时存在最小值，满足； 若，在上单调递减，其值域为， 此时，要使函数存在最小值，只需，即，故； 综上，实数a的取值范围. 故答案为：. 3．已知函数． (1)判断在区间上的单调性，并用定义进行证明； (2)设，若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）由函数单调性求出函数值域，若，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可. 【详解】（1）在区间上单调递增． 证明如下：且， 则． 因为，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增． （2）由（1）知当时，， 即当时，的值域． 因为在时为减函数，所以 若，使得，则， 即，解得， 故实数的取值范围为． 4．已知函数＝，求的最小值，并求此时x的值. 【答案】； 【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出最小值，并结合条件解出此时的x值。 【详解】＝＝＝＋ 令，则 ∵在单调递增， ∴当时， 此时，，. 综上，的最小值为，此时x的值为0. 5．若函数，的值域是函数的定义域，求函数的值域． 【答案】 【分析】应用换元法得出函数，再根据函数的单调性得出函数的值域. 【详解】令，又，则， 因此，当时，单调递减， 所以，即的值域为． 由题得函数的定义域为， 当时，单调递减，， 故函数的值域为． 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 1．已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过给定特殊值求出的值，再利用函数性质判断单调性，接着对不等式进行转化，结合函数单调性得到关于的不等式，同时考虑函数定义域限制条件，最终确定不等式的解集. 【详解】取时，代入，有，可得，即，所以. 设，因为，又已知时，， 那么，所以函数在上单调递增. 对不等式进行转化求解： 已知，由可得，所以. 因为函数单调递增，所以，移项得，解得. 考虑定义域限制条件： 由，解得；解得. 综合以上结果，不等式的解集为. 故选：B. 2．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可知在上单调递增，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 可知在上单调递增， 因为，则不等式即为，可得， 又因为，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 3．已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 4．已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可． 【详解】对于，，有，，所以． 所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数． 由，得． 由，得， 所以，即，得或． 故不等式的解集为． 故答案为： 5．已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 核心题型五：函数不等式恒成立问题 1．（1）设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是 ； （2）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】（1）利用基本不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解， （2）将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解. 【详解】（1）当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立. 方法一  分离参数得在时恒成立， 故�� 需小于等于函数在区间上的下确界. ，故当时，， 所以. 方法二  在时恒成立（*）. 令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. （2）不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得. 故答案为：； 2．三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数（其中，）的图象恰如其形，因而得名三叉戟函数．已知三叉戟函数的图象经过点，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若，都有恒成立，求实数m的求值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用选定系数法求出函数解析式. （2）等价变形给定恒成立的不等式，分离参数并构造函数，利用基本不等式及不等式性质求出最小值即可. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得， 由，得，解得， 所以函数的解析式为. （2），不等式恒成立， 令函数，而当时，，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号，则，解得， 所以实数m的取值范围是. 3．设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的区间单调性求区间最值，进而确定值域； （2）问题化为，由已知，其开口向上且对称轴为，讨论对称轴与区间的位置关系确定最值，结合不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设， 则在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 故上函数的值域为； （2）由，其开口向上且对称轴为， 又对任意的，都有，即， 当时，，可得，不符合前提； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，此时； 当时，，可得，不符合前提； 综上，. 4．已知函数（其中） (1)解关于x的不等式 (2)若不等式在内恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 (2) 【分析】（1）分，，三种情况讨论，从而可求得不等式的解集； （2）由题意可得在内恒成立，利用在的最大值即可. 【详解】（1）不等式，即， 当时，，不等式的解集为， 当时，，可得， 当，则，所以不等式的解集为， 若，则，所以不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）不等式在内恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， 所以在内恒成立， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， ， 所以，所以实数n的取值范围. 5．已知函数. (1)用定义法证明函数在区间上单调递增； (2)对任意的都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可； （2）结合函数的单调性求出，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）证明：取任意，，且， 有， 由，可得，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由在上单调递增， 可得在上，， 依题意得，， 又，当且仅当， 即，即时取等号， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 核心题型六：函数不等式能成立问题 1．已知二次函数的图象过点，且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称轴求出，再利用其过点即可求出解析式； （2）求出，令，根据其单调性求出其值域，再根据得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）由可知图象的对称轴为直线， 则，得． 由，得． 故． （2）由题意得为增函数． 当时，． 令， 根据在上单调递减， 则在上单调递减， 所以． 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 2．已知函数，且不等式对一切实数x恒成立． (1)求函数的解析式； (2)在(1)的条件下，设函数，关于x的不等式，在有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据条件得到关于的一个关系式，然后将不等式恒成立问题转化为与0的关系，从而求解出的值，则的解析式可求； (2)根据条件将问题转化为在有解，分析出的最小值，则可求解出的范围，从而的范围可求. 【详解】（1）且，， 又对一切实数x恒成立， 对一切实数x恒成立， ①当时，，若，则，， 不符合题意； ②当时，若对一切实数x恒成立， 则，， 又，，，， ； （2）由题可知， 则关于x的不等式在有解， 即在有解， 即在有解， 当时，， 令，， 则，其中， 当时，， ，，，， 或， 实数m的取值范围为. 3．已知函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的单调性求解即可； （2）存在成立问题，分离参数后结合基本不等式求解即可； 【详解】（1）当时，，对称轴，在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 所以函数在上的值域为. （2）若，满足， 即，满足，即，即， 又，当且仅当即时取等号， 所以. 4．已知函数. (1)若，使得，求的取值范围； (2)若，都有恒成立，求的取值范围； (3)当时，，满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助根的判别式计算即可得； （2）由题意可得，解出后结合即可得； （3）由题意可得，只需计算出在上的最大值，则有，有，即有，解出即可得. 【详解】（1）若，使得成立，只需，解得； （2）若对，都有恒成立， 则，解得，又， 故的取值范围为. （3）当时，， 若对，满足， 只需，有， 当时，，故，有， 则有，解得或， 综上所述，的取值范围为. 5．设，若对，使得成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】借助换元法与对勾函数性质可得的值域，再利用一次函数的性质可得的值域，由题意可得的值域为的值域的子集，计算即可得. 【详解】， 令，则， 设，由对勾函数性质可知函数在上单调递增， 所以的值域为，即的值域为， 又因为，且， 所以的值域为， 由题意得，即 ，解得， 故的取值范围为. 核心题型七：分段函数的单调性问题 1．已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】因为在上是单调的， 当时，，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则，解得， 当时，若在上单调递减，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 2．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊值验证法，排除选项，即可推出结果． 【详解】函数, 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C； 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D. 故选：A． 3．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且. 所以函数在R上单调递增， 由得，，解得. 故选：C. 4．.①若，求 .②若在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】①根据自变量所在的分段区间代入相应解析式求值即可；②在上单调递增，首先在各分段区间上单调递增，再比较区间端点处的取值大小. 【详解】①若，则， 由，则； ②若在上单调递增， 则，解得，或.则的取值范围是. 故答案为：. 5．已知函数. (1)画出函数的图象； (2)求的值； (3)写出函数的单调递减区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象. （2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得. （3）根据分段函数解析式，求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）函数， 当时，的图象是开口向下的抛物线在的一段， 当或时，的图象是射线和射线组成， 函数的图象，如图， （2）. （3）当时，在上单调递减， 当或时，在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是，. 核心题型八：函数的奇偶性 1．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，或利用函数图像判断奇偶性即可. 【详解】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象，    观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 2．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)，； (4)，． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)奇函数，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 (4)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 【分析】（1）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为R，关于原点对称，再计算求出函数满足即可得解. （2）先判断函数奇偶性，接着求出函数定义域为，关于原点对称，再计算求出函数满足即可得解. （3）先判断函数奇偶性，接着由函数定义域为，不关于原点对称即可得解. （4）先判断函数奇偶性，接着函数定义域关于原点对称，再根据题意得即可得解. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数是偶函数. （2）奇函数，理由如下： 由且， 所以函数定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数. （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 因为函数定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 3．判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)非奇非偶函数，理由见解析 (3)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）利用定义域是否对称和与的关系式来判断奇偶性. 【详解】（1）由得定义域为，关于原点对称， ∴，此时， ∴函数为奇函数． （2）由，得定义域为，关于原点不对称， ∴为非奇非偶函数． （3）由，得，即该函数的图象由点，构成， 这两个点既关于原点对称，也关于轴对称， ∴既是奇函数又是偶函数． （4）当时，，，∴． 当时，，，∴． 当时，，，∴． 综上可知，对于定义域内的每一个都有，∴为偶函数． 4．判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)； (5) (6) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)奇函数 (5)即是奇函数也是偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称． ，故为奇函数； （2）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数； （3）因为，所以，即函数的定义域为， 不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数； （4）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以．又， 所以是奇函数； （5）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个， 都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数； （6）因为，所以，所以的定义域为， 不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数． 故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数 核心题型九：由奇偶性求解析式 1．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 2．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】由奇函数的性质进行求解函数的表达式即可. 【详解】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 3．已知函数为奇函数，且 (1)求的解析式 (2)求证：在区间上单调递增； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出参数的值，再根据，求出参数的值，最后检验即可. （2）根据单调性的定义求出即可. 【详解】（1）由函数为奇函数，且定义域为， 可得，即，解得， 又，解得，所以， 对任意的，， 满足为奇函数，综上可得， （2）任意的，，且， 有， 由，可得，， 则，即， 所以在区间上单调递增. 4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据的单调性，按的不同取值分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，则， 为偶函数.则， 故. （2）当时，，开口向上，对称轴，在单调递减，在单调递增， 当时，，则； 当时，，则； 当时，； 故. 5．函数为上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)判断在的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用奇函数定义，分段求出函数解析式即可得解. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理即得. 【详解】（1）函数为上的奇函数，当时，， 当时，，，又， 所以在上的解析式是. （2）函数在的单调递增， 任意， ，由，得， 则，即， 所以函数在的单调递增. 核心题型九：由奇偶性+单调性解不等式 1．定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 2．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 3．已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 4．已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 5．已知函数是上的偶函数，且． (1)求实数m，n的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性可求的值，根据可求的值. （2）利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. （3）结合函数的奇偶性和单调性，将函数不等式转化为代数不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以恒成立. 所以对恒成立. 所以. 由. 故，. （2）在上单调递减.证明如下： 设， 则. 因为，所以，，. 所以，所以，即. 所以在上单调递减. （3）因为函数为偶函数，所以. 由函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，且图象关于轴对称. 所以或， 解得或. 所以不等式的解集为：. 核心题型十一：奇偶性+对称性应用 1．如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【答案】C 【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可. 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 2．已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质代入计算可得. 【详解】由，得， 构建函数，定义域为， 则，即是奇函数， 于是，所以， 可得， 又，因此． 故答案为： 3．有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 4．已知的最大值，最小值为，求的值 【答案】 【分析】设，可判断为奇函数，得，又，可得. 【详解】设，， ， 所以为奇函数，则， 所以，所以，， 所以. 所以. 5．已知函数有最大值，最小值，求的值. 【答案】 【分析】由函数的奇偶性与单调性计算即可. 【详解】解：由题意可得， 令， 易得，且的定义域关于原点对称， 故为奇函数， 不妨设在时取得最大值，由奇函数图象的中心对称性可知， 在时取得最小值，故有 而，下移两个单位得到， 故其单调性一致，即，所以. 核心题型十二：抽象函数问题 1．已知对任意正实数，总有． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，进行赋值求解； （2）令，和，进行赋值求解. 【详解】（1）令，则，故． （2）令，则， 故． 令，则， 又， 故． 2．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 3．已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）∵，∴， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得或， ∴原不等式的解集为． 4．已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 【答案】(1)1 (2)偶函数，证明见解析 (3)证明见解析， 【分析】（1）令，可得到答案 （2）令，可得，进而判断出单调性 （3）令，化简得到，再用代替得到，从而求出周期 【详解】（1）∵任意均有， 令，则.∵，∴. （2）由题意知定义域为，关于原点对称 令，∴，∴，∴为偶函数. （3）∵，又， ∴，即， ∴， ∴的周期为. 5．已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对进行赋值，计算即可求得答案； （2）利用函数的单调性定义结合题设条件推理证明即得； （3）利用（1）已得将不等式等价变形得到，再利用函数的单调性得到，求出函数的最小值，代入求解关于的一元二次不等式即可. 【详解】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 核心题型十三：函数图形识别 1．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性即可排除BD，再结合函数值正负判断即可. 【详解】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 2．函数的图象不可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】判断的奇偶性，对分、和三种情况排除即可求解. 【详解】显然是偶函数， 当时，（）的图象可能是D， 当时，不妨设， 在上单调递增，且有一个零点为，其图象可能为A， 当时，不妨设， ，所以的图象总在图象的上方，其图象可能为B， A，B，D都有可能. 故选：C． 3．下列图象中，函数的部分图象有可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．（多选题）已知函数是定义在上的增函数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数的对称性及单调性结合平移得出函数性质判断各个选项即可. 【详解】因为是上的偶函数，又因为函数是定义在上的增函数，则是上的增函数， 所以图象是关于对称的，且在单调递增， 故选:BC． 学科网（北京）股份有限公司 $