专题09函数的基本性质13类核心题型讲解大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题09函数的基本性质13类核心题型讲解大突破 目录 核心题型一：定义法证明函数的单调性 1 核心题型二：根据函数的单调性求参数 3 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 4 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 5 核心题型五：函数不等式恒成立问题 6 核心题型六：函数不等式能成立问题 8 核心题型七：分段函数的单调性问题 9 核心题型八：函数的奇偶性 10 核心题型九：由奇偶性求解析式 12 核心题型十：奇偶性+单调性解不等式 13 核心题型十一：奇偶性+对称性应用 15 核心题型十二：抽象函数问题 16 核心题型十三：函数图形识别 18 核心题型一：定义法证明函数的单调性 方法总结 一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 常考题型 解答题 例题1-1（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 例题1-2（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 对点训练1-1（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 对点训练1-2（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 对点训练1-3（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 核心题型二：根据函数的单调性求参数 例题2-1（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2-2（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 对点训练2-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 对点训练2-2（24-25高一上·上海静安·阶段练习）“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 对点训练2-3（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 方法总结 （1）定义法证明 （2）性质法判断 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 常考题型 单选题，填空题，解答题 例题3-1（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 例题3-2（2025高三·全国·专题练习）求函数，的值域. 对点训练3-1（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值和最小值． 对点训练3-2（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 对点训练3-3（2024高三·全国·专题练习）利用函数单调性求最值：已知函数，求的最小值. 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 方法总结 （1）定义法证明单调性 （2）性质法判断单调性 常考题型 单选题，填空题 例题4-1（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 例题4-2（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，求实数的取值范围． 对点训练4-1（2024河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 对点训练4-2（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 对点训练4-3（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 核心题型五：函数不等式恒成立问题 方法总结 ①分离变量法恒成立 ②分离变量法恒成立 常考题型 单选题，填空题，解答题 例题5-1（2025高三·江苏·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 例题5-2（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 对点训练5-1（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 对点训练5-2（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围. 对点训练5-3（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 核心题型六：函数不等式能成立问题 方法总结 ①分离变量法能成立 ②分离变量法能成立 常考题型 单选题，填空题，解答题 例题6-1（23-24高三上·江苏·阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 例题6-2（2025·天津河北·模拟预测）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 对点训练6-1（24-25高一上·安徽·期中）若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. (1)求函数的的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 对点训练6-2（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 对点训练6-3（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值； (2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 核心题型七：分段函数的单调性问题 例题7-1（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 例题7-2（23-24高一上·北京·期中）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 对点训练7-1（24-25高二下·广西玉林·期末）在R上是增函数的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 对点训练7-2（多选）（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 对点训练7-3（24-25高一上·天津南开·期中）函数是上的减函数，则的取值范围是 . 核心题型八：函数的奇偶性 方法总结 1、定义法判断 （1）偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 2、性质法判断 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 常考题型 单选题 例题8-1（多选）（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 例题8-2（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 对点训练8-1（多选）（24-25高一上·吉林长春·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递减的是（    ） A． B． C． D． 对点训练8-2（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 对点训练8-3（2024高三·全国·专题练习）判断函数的奇偶性. 核心题型九：由奇偶性求解析式 例题9-1（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 例题9-2（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 对点训练9-1（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 对点训练9-2（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 对点训练9-3（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 核心题型十：奇偶性+单调性解不等式 方法总结 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 常考题型 解答题 例题10-1（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 例题10-2（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (3)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式. 对点训练10-1（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 对点训练10-2（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且. (1)确定的解析式； (2)证明在上的单调性； (3)解关于t的不等式. 对点训练10-3（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知定义在区间上的函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式. 核心题型十一：奇偶性+对称性应用 例题11-1（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 例题11-2（24-25高一上·河北沧州·期中）已知函数，若，若（    ） A． B． C． D． 对点训练11-1（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 对点训练11-2（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 对点训练11-3（2024高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 . 核心题型十二：抽象函数问题 例题12-1（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 例题12-2（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 对点训练12-1（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 对点训练12-2（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 对点训练12-3（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 核心题型十三：函数图形识别 方法总结 （1）奇偶性 （2）特殊值法 （3）单调性 常考题型 单选题 例题13-1（2025高三·全国·专题练习）某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 例题13-2（2025高一·全国·专题练习）将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 对点训练13-1（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 对点训练13-2（24-25高一下·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 对点训练13-3（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09函数的基本性质13类核心题型讲解大突破 目录 核心题型一：定义法证明函数的单调性 1 核心题型二：根据函数的单调性求参数 6 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 9 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 13 核心题型五：函数不等式恒成立问题 17 核心题型六：函数不等式能成立问题 21 核心题型七：分段函数的单调性问题 26 核心题型八：函数的奇偶性 29 核心题型九：由奇偶性求解析式 33 核心题型十：奇偶性+单调性解不等式 35 核心题型十一：奇偶性+对称性应用 42 核心题型十二：抽象函数问题 44 核心题型十三：函数图形识别 49 核心题型一：定义法证明函数的单调性 方法总结 一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 常考题型 解答题 例题1-1（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 例题1-2（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 对点训练1-1（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 对点训练1-2（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【分析】（1）由，代入直接可求； （2）根据函数单调性的定义证明单调性. 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 对点训练1-3（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的图象过点和． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】(1) (2)函数在上为减函数.证明见解析. 【分析】（1）待定系数法得到方程，求出，，则； （2）根据定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，即可解出. 【详解】（1）根据题意函数的图象过点和， 则，， 解得，，则. （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 核心题型二：根据函数的单调性求参数 例题2-1（2025高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 例题2-2（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 对点训练2-1（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 对点训练2-2（24-25高一上·上海静安·阶段练习）“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】求出函数在区间上为增函数的的取值范围，结合与的关系求出答案 【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上为严格增函数”的充分不必要条件.    故选：A 对点训练2-3（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【详解】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 核心题型三：利用函数的单调性求最值或值域 方法总结 （1）定义法证明 （2）性质法判断 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 常考题型 单选题，填空题，解答题 例题3-1（2025高三·全国·专题练习），，则的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 例题3-2（2025高三·全国·专题练习）求函数，的值域. 【答案】 【分析】令， ，则，当时，得，当时，，令，由对勾函数的单调性进行求解. 【详解】令，因为，所以， 则， 当时，得， 当时，， 令，由对勾函数的单调性知， 函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 得或， 即，或， 得，或， 综上知，函数，的值域为： 对点训练3-1（2025高三·全国·专题练习）求函数的最大值和最小值． 【答案】， 【分析】将函数变形换元，然后利用函数单调性求解即可. 【详解】因为，则， 令，因为，所以， 令， 取，且， 由 ， 因为，且， 所以， 所以且， 所以， 所以在上为减函数， 则，， 所以，又在上单调递减 所以，． 对点训练3-2（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为； (3)作图见解析，. 【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。 （2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值. （3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 对点训练3-3（2024高三·全国·专题练习）利用函数单调性求最值：已知函数，求的最小值. 【答案】2 【分析】解法一：将原函数变形后换元，判断换元后的函数的单调性，由此可求得答案；解法二，利用基本不等式求解，可求得答案. 【详解】对进行化简，. 解法一：令， ∵，∴，则， 任意取，且， 则， 由于，且，故，，, 故，即， ∴在上单调递增. 因此当，即时，取得最小值为. 解法二：∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，取得最小值为. 核心题型四：根据函数的单调性解不等式 方法总结 （1）定义法证明单调性 （2）性质法判断单调性 常考题型 单选题，填空题 例题4-1（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质得，即，即，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，对称轴直线方程为， 则原函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 由， 得，即， 两边平方后，再通过移项和平方差公式 化简得， 而， 所以， 得． 故答案为：. 例题4-2（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由一元二次函数的图象和性质可得，两边平方取绝对值解不等式即可. 【详解】因为一元二次函数的对称轴为，开口向上， 根据单调性可知距离对称轴越远，函数值越大， 所以由，得，即， 所以，即， 所以，即， 所以， 等价于或， 解得. 对点训练4-1（2024河北·模拟预测）设函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 对点训练4-2（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数满足对，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 对点训练4-3（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性可求不等式解集. 【详解】因为当时，，即， 所以在上单调递减， 因为， 所以，所以，解得，所以不等式解集为， 故选：C. 核心题型五：函数不等式恒成立问题 方法总结 ①分离变量法恒成立 ②分离变量法恒成立 常考题型 单选题，填空题，解答题 例题5-1（2025高三·江苏·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 例题5-2（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知，且的解集为. (1)求t，m的值； (2)若在上恒成立，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【详解】（1）由题设的两个根为，且，则，可得； （2）由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即的最大值为. 对点训练5-1（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数． (1)若的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集； (3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 （2）因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3）由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 对点训练5-2（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若不等式对于任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用分类讨论解一元二次不等式求解集即可； （2）问题化为上恒成立，应用换元法及基本不等式求右侧函数的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为或； 当，即时，，解集为； （2）由题设，时恒成立， 所以，又， 所以上恒成立， 令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以. 对点训练5-3（24-25高二下·天津河西·期末）已知函数在区间上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质列方程组即可求解； （2）原题条件等价于对任意的都成立，进一步列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（Ⅰ）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（Ⅰ）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 因为可得，解得， 故实数的取值范围为. 核心题型六：函数不等式能成立问题 方法总结 ①分离变量法能成立 ②分离变量法能成立 常考题型 单选题，填空题，解答题 例题6-1（23-24高三上·江苏·阶段练习）若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离参变量，利用基本不等式求解函数最值即可求解. 【详解】因为，所以由得， 因为关于x的不等式在区间上有解，所以， 当时，，当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上的最大值为1， 故，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 例题6-2（2025·天津河北·模拟预测）已知函数，，（） (1)当时，求的值； (2)若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则； （2）由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； （3）由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 对点训练6-1（24-25高一上·安徽·期中）若函数的图象过原点且关于直线对称，最小值为. (1)求函数的的解析式； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，，且，根据求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由参变量分离法可知，存在，使得，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于直线对称，最小值为. 则，根据二次函数的顶点式可知，， 因为函数的图象过原点，则，解得， 所以，. （2）由题意知，存在，使得，即， 即， 令，其中，则函数在上为增函数， 所以，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 对点训练6-2（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，， (1)若，成立，求的取值范围； (2)若对，总，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得到，，再根据二次函数的性质可得，进而求解即可； （2）先根据题意可得原条件等价于在上的最小值大于在上的最小值，再结合二次函数的性质分，，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）因为，成立， 即，成立， 所以，， 设， 则， 解得或， 故的取值范围为. （2）对，总，使得，等价于， 等价于在上的最小值大于在上的最小值， 由于在上单调递增，因此； 因为开口向上，且其对称轴为， ①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即，解得，不符合； ②若，即，函数在上单调递增， 则， 所以，即，解得，符合； ③若，即，函数在上单调递减， 则， 所以，即，无解， 综上所述，的取值范围是． 对点训练6-3（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值； (2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理代入计算即可； （2）将问题转化为对任意恒成立，求出得到关于的恒成立问题，继续转化为最值求解即可. 【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得 又由韦达定理得， 因为 所以 所以， 解得； （2）若对，都存在，使得对任意恒成立， 则对任意恒成立， 对于，，， 对称轴， 则， 对于，， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以在时恒成立， 所以 又，当取最小值，且最小值为 所以， 解得. 核心题型七：分段函数的单调性问题 例题7-1（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出函数的分段函数性质，结合二次函数性质判断单调减区间. 【详解】由， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数单调减区间为. 故选：D 例题7-2（23-24高一上·北京·期中）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设条件可得为上的减函数，故可得关于参数的不等式组，据此可求参数的取值范围. 【详解】因为，故为上的减函数， 故，故， 故选：B. 对点训练7-1（24-25高二下·广西玉林·期末）在R上是增函数的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性，可得a的范围，再由充分必要条件的含义，得解. 【详解】在R上是增函数， 则有，解得， 所以在R上是增函数的充要条件是， 则充分不必要条件要求是的真子集，只有D选项满足，即. 故选：D 对点训练7-2（多选）（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由二次函数、反比例函数的性质及分段函数的单调性即可求解. 【详解】由题意，二次函数的图象开口向下，对称轴为， 因为函数是R上的增函数， 所以，解得． 所以实数a的取值可以是，. 故选：BC. 对点训练7-3（24-25高一上·天津南开·期中）函数是上的减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 核心题型八：函数的奇偶性 方法总结 1、定义法判断 （1）偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 2、性质法判断 ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 常考题型 单选题 例题8-1（多选）（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列给出的函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，得到，A错误；BC选项，定义域关于原点对称，且满足；D选项，定义域不关于原点对称，D错误. 【详解】A选项，的定义域为R，且， 所以为偶函数，A错误； B选项，的定义域为， ， 所以是奇函数，B正确； C选项，是定义在R上的分段函数， 当时，，； 当时，，， 且x＝0时，，所以是奇函数，C正确； D选项，的定义域为且，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，D错误. 故选：BC. 例题8-2（25-26高一上·山东德州·开学考试）判断下列函数的奇偶性，并说明理由 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】（1）偶函数，理由如下： 函数的定义域为R，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数. （2）非奇非偶函数，理由如下： 由得且， 故函数的定义域为且，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）非奇非偶函数，理由如下： 由解得，所以，函数的定义域为，定义域关于原点不对称， 则为非奇非偶函数． （4）既是奇函数又是偶函数，理由如下： 由，所以，其定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有，所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 对点训练8-1（多选）（24-25高一上·吉林长春·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先根据奇偶函数的定义判断奇偶性；然后再根据函数单调性的定义来判断函数在区间上的单调性即可. 【详解】对于A选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数；函数的对称轴为， 所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B选项，函数，其定义域为，，， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数，其定义域为，， 所以是偶函数，在区间上单调递减，故C正确. 对于D选项，函数，其定义域为，， 所以是奇函数，不是偶函数，故D错误； 故选：AC. 对点训练8-2（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【答案】(1)既是奇函数又是偶函数； (2)偶函数. 【分析】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可. 【详解】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 对点训练8-3（2024高三·全国·专题练习）判断函数的奇偶性. 【答案】为上的奇函数 【分析】利用奇偶函数的定义，结合的解析式即可判断. 【详解】对于，其定义域为，关于原点对称， 当时，，， 当时，，， 又， 综上，对于任意，恒有，故为上的奇函数. 核心题型九：由奇偶性求解析式 例题9-1（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A 例题9-2（24-25高二下·陕西·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的性质即可求解. 【详解】当时，， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以， 故选：C 对点训练9-1（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 对点训练9-2（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 对点训练9-3（2025高一·全国·专题练习）已知为定义在上的奇函数，当时有，求的解析式． 【答案】 【分析】由为定义在上的奇函数，则，再根据时，，求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以． 设， 所以 核心题型十：奇偶性+单调性解不等式 方法总结 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 常考题型 解答题 例题10-1（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值； （2）判断出函数是区间上的增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）由变形得出，结合函数的定义域、单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 例题10-2（24-25高一下·云南昭通·开学考试）已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (3)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式. 【答案】(1)在上的单调递增，证明见解析； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）任取，，且，用作差法判断的大小，即可证结论； （2）根据奇偶性定义证明函数的奇偶性； （3）根据（1）（2）结论，不等式可化为，解不等式求解集. 【详解】（1）因为函数，在上单调递增，故在上的单调递增. 证明如下：任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增. （2）函数，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数. （3）由，得， 即，又，， 由（1）知在上单调递增，所以，所以， 所以不等式的解集为. 对点训练10-1（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)是上的增函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）由求得，再由求得，并检验； （2）根据单调性定义证明； （3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解． 【详解】（1）因为函数定义在上的奇函数，所以，， 所以，，所以， ，满足题意； 所以； （2）是上的增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，从而，而， 所以，即， 所以是上的增函数； （3）由题意是上的递增的奇函数， 由得， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 对点训练10-2（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且. (1)确定的解析式； (2)证明在上的单调性； (3)解关于t的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解 （2）由函数的单调性的定义证明 （3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，     解得；     又由，则有，     解得；     函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数， 所以， （2）由（1）的结论，， 设，     则 .     又由， 则，，，，     则，即，     则函数在上为增函数. （3）由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数. ，     解得：，     即不等式的解集为. 对点训练10-3（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知定义在区间上的函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，利用，再检验是奇函数即可； （2）利用单调性的定义进行证明即可； （3）结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为定义在上的奇函数， ，都有， 令，可得，解得， 则， 又， 所以是奇函数，所以； （2）是上的增函数； 证明：设， 则 . 又，则，， 则有，即， 故函数在上单调递增； （3）因为为奇函数，可得， 又在上单调递增，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 核心题型十一：奇偶性+对称性应用 例题11-1（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 例题11-2（24-25高一上·河北沧州·期中）已知函数，若，若（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得，进而可得答案. 【详解】 ， 则 故选：A. 对点训练11-1（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 对点训练11-2（24-25高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 对点训练11-3（2024高三·全国·专题练习）函数在上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，，判断的奇偶性，即可得到的对称性，从而得解. 【详解】因为， 令，， 定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，函数图象关于对称， 所以关于对称，所以. 故答案为： 核心题型十二：抽象函数问题 例题12-1（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，． (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函的奇偶性和单调性求解即可. 【详解】（1）函数是奇函数， 证明：令，则，解得， 令，则，令，则． 为定义在上的奇函数． （2）函数在上单调递减， 证明：，设，则， ， ，，． 又，， 又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数． 则当时，，， ，即，即， 在上单调递减； （3）因为， 由（1）知为定义在上的奇函数， 则， 的定义域为且在上是单调递减的， 解得， 不等式的解集为． 例题12-2（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 对点训练12-1（2025高三·全国·专题练习）已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 对点训练12-2（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3)在上为减函数，理由见解析. 【分析】（1）令并代入关系式，即可得； （2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证； （3）应用单调性定义，设，则，即可得结论. 【详解】（1）令，则，故； （2）； （3）在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 对点训练12-3（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【详解】（1）由， 故此令，则， 则. （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 核心题型十三：函数图形识别 方法总结 （1）奇偶性 （2）特殊值法 （3）单调性 常考题型 单选题 例题13-1（2025高三·全国·专题练习）某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和的值，利用排除法即可求解. 【详解】因为，则是偶函数，故AD错误； 因为，故C错误，B正确． 故选：B 例题13-2（2025高一·全国·专题练习）将函数的图象向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法1，根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象；方法2，把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象，再平移即可；方法3，利用平移思想变换解析式，再画图象即可. 【详解】方法1，由题意得可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法2，要得到的图象， 只需把的图象中轴下方的图象沿轴向上翻折并保留原来轴上及其上方的图象， 再整体向上平移2个单位长度即可，即为的大致图象，如图， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象． 方法3，平移后的图象对应函数，C选项中的图象正确． 故选：C. 对点训练13-1（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据的奇偶性排除C，D，又根据正负性排除A. 【详解】易知，故的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，故是奇函数，排除C，D， 又当时，，排除A. 故选：B. 对点训练13-2（24-25高一下·四川广安·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用奇偶性定义判断函数奇偶性，结合的函数符号，应用排除法即可得. 【详解】令且定义域为R，，即为奇函数，排除C、D； 当时，恒成立，排除B. 故选：A 对点训练13-3（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $