专题08 函数的概念及其表示11类核心题型对点练大突破【期中大突破】-2025-2026学年高一数学上学期期中复习大突破（人教A版2019必修第一册）

专题07函数的概念及其表示11类核心题型对点练大突破 月录 核心题型对点练一：函数关系判断…1 核心题型对点练二：己知函数值求自变量或参数… 3 核心题型对点练三：具体函数的定义域… .3 核心题型对点练四：抽象函数的定义域… …4 核心题型对点练五：值域之分式型… ,4 核心题型对点练六：值域之根式型… 5 核心题型对点练七：判别式法求最值…。 5 核心题型对点练八：二次函数求最值或值域… …6 核心题型对点练九：待定系数法求解析式… 8 核心题型对点练十：换元法求解析式… 9 核心题型对点练十一：方程组法求解析式… .10 核心题型对点练一：函数关系判断 1.下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是() 1 A.A=B=R,对应关系f:x→y=- B.A=B=R,对应关系f:xy=x C.A=B=R,对应关系∫：x→y=±x D.A=B=N,对应关系f:x→y=X 2 2.下列表示函数图象的是() 3.(多选)若x∈A,y∈B,下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有() A.A=Z,B=R,f:X→y=x; B.A=R,B=Z,f:x→y=x; C.A=R,B=R,f:x→y2=x D.A与B的对应关系如图所示： B 4.(多选)设集合P={x0≤x≤4,9={0-2y≤2，则下列曲线能表示从集合P到集合 Q的函数关系的有() 2 1234 1234 34 -2 5.(多选)设A=[0,2],B=[0,2],下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是() 1 核心题型对点练二：己知函数值求自变量或参数 1.已知函数f(2x+3)=x2-x+a,且f(5)=3,则a=() A.-3 B.3 C.-17 D.17 2.已知函数fx-=2正，m=1,则m=() A.-1或3 B.1或3 C.-1 D.3 3.己知函数f(2x-1)=4x+1,且f(t)=5,则t=() A. B.1 C.2 D. 4设函数)，若o)=1,则实数a的值为 5.己知函数f(x=x3-ax,x∈R. (1)求f(0); (2)若f(1=0,求a的值. 核心题型对点练三：具体函数的定义域 1.函数fx)=Vx+3+的定义域为() x+1 A.（-1,+0 B.[-3,+o) c.[-3,-1)U(-1,+o）D.[1,+o 2.函数f)=V+x+,1 的定义域是() 1-x A.(-0,-1) B.(1,+∞) C.[-1,+0) D.「-1,1)U(1,+o) 3.下列函数中，其函数的定义域为R的是() A.y=V-2x2+12x-18 B.y=V-2x2+12x-17 C.y=Vx2-4x+9 D.y=Vx2+4x-9 4。函数八=原1++2的定义城是() A.（-0,-2)U(-2,1)U(1,+0) B.(-0,-2)U(-2,-1]U[1,+0) C.[-2,-1)U(1,+o) D.[-2,-1)U[1,+o) 5.函数f(=2x+4 1三+2-x的定义域为(） A.（-2,2)U(2,+∞ B.[2,+0】 C.（-2,2] D.[-2,2] 核心题型对点练四：抽象函数的定义域 1.若函数f(x)的定义域是[-3,7，则函数f(2x-1的定义域是() A.[-7,13 B.[-5,15 c.[-1,4 D.[-2,3] 2.函数y=fx的定义域为0,41，则函数y=f2x2的定义域为() x-3 A.[1,3) B.(13 C.[-2,6 D.[-2,3)U(3,6 3.若函数f的定义城为0,5列，则函数8灯=2x+的定义域是《) Vx-1 A.(1,11 B.[1,2 c.(1,2 o.（u☒ 4.已知函数=(2x-刂的定义域为-1,3)，则函数y=x+ 的定义域为() x+1 A.[0,4) B.(0,4 c.[-1,4 D.-1,4 5.若函数f(x)的定义域为[-1,2]，则函数g(x)= (x-2的定义域是一 Vx-1 核心题型对点练五：值域之分式型 1.已知y=3x+则y的取值范围是() x-1 A.y>3 B.y<3 C.y≠3 D.y≥3 2.函数y=3江+2的值域为 x-1 3.求函数f)=-3x+3c>2)的值域 x-2 4求瑞数y:2,2小的价饭 5.求函数计的值城 核心题型对点练六：值域之根式型 1.函数y=1-x+1-2x的值域为() B.0,+o) c) 2.函数y=2x-√x+1(x>3)的值域为 3.已知函数f(x)=x-V2x+1,则f(x的值域是 4.函数f(x)=2Vx-3-x的值域是 5.求函数y=2x-1-V13-4x的值域. 核心题型对点练七：判别式法求最值 1.求函数y的值城 2.函数y=2x+4r+2的值域为 x2+1 3.己知函数y= 3x-a 2x2+5x-3 a、x为实数且、x)可取任意实数（即函数的值域为 一切实数)，求参数a的取值范围. 4。求函数)的值域，并总结司求有理分函数值域的方达 5.已知函数f=2+x+c6<0的值域为，3】，求b,c的值. x2+1 核心题型对点练八：二次函数求最值或值域 1.已知函数f(x=-x2+2mx+1-m2,其中m∈R. (1)若∫x)在区间4,6上具有单调性，求m的取值范围： (2)当x∈[1,3]时，函数f(x的最大值为-8，求实数m的值. 2.f(x)=ax2-(a+m)x+2(a,m ER). (1)若m=0,不等式f(x)≥0对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)若a=1,函数y=f(x)在1,3]上的最小值为-2，求m的值. 3.己知二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4. (1)若a=2,求f(x)在-2,3]上的最值； (2)若f(x)在区间2，+o)上单调递增，求实数a的取值范围； 3)若xe[1,2]时，函数f(x的最小值为5，求a的值. 4.(1)求二次函数y=2x2-3x+5在-2≤x≤2上的最大值和最小值，并求对应的x的值； (2)己知函数y=ax2+2ax+1在区间-3≤x≤2上的最大值为4，求实数a的值， 5.己知二次函数f(x=x2-2ax+1. (1)当a=1时，若f(x在[0，m]上的值域为[0，，求m的取值范围； (2)求f(x)在[0,1]上的最小值ga的解析式. 核心题型对点练九：待定系数法求解析式 1.己知函数f(x)是一次函数，且f[f(x]=3x+2,则一次函数f(x)的解析式为 2.(1)已知f(x+1=x2-3x+2,求f(x; (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式. 3.己知二次函数f(x)满足f(0)=2,f(x+2)-f(x)=4x. (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)在[3,6]时的最值. 4.(1)己知函数f(x)是一次函数，若ff(x)门=4x+8,求f(x)的解析式： (2)己知f(x是二次函数，且满足∫(0)=1，f(x+1-f(x=2x,求fx)的解析式. 5.已知二次函数y=f(x)满足f(-2)=f(4)=-16,且函数f(x)的最大值为2. (1)求函数y=f(x)的解析式： (2)求函数y=f(x)在[t,t+1]上的最大值. 核心题型对点练十：换元法求解析式 1.已知fV+2=x,则有() A.f(x)=(x-2)2(x20) B.f(x)=(x-2)2(x≥2) c.f(x)=(x+2)2(x≥0) D.f(x)=(x+2)2(x≥2) 2.设函数+=2x+1,则/的表达式为（) A B当 e. 3（多选)若函藏1-2刘兰：0则（) A.-15 B.f12)=-3 4 c.f(x)-(-1) -1(x≠0) 4x2 -1(x≠0且x≠1) (x-1)2 4/）1，则1到的值为一 5.若函数f ),则=— 核心题型对点练十一：方程组法求解析式 1.已知函数f(到的定义城为0，+w,且满足x+2日 =5x+4,则fx)的最小值为 () A.2 B.3 C.4 D.22 2.设/适合等式2)-但)，则)的值线是 3.若3+2日)4，则f1到 4.已知函数f(x)对任意实数x都有f(x+2f(-x=2x+1,则f(x=一 5.求下列函数解析式： )已知f(VF+1=x-2VF,求f(x)的解析式. 已知f+2/(=3x-2,求i的解析式。 专题07 函数的概念及其表示11类核心题型对点练大突破 目录 核心题型对点练一：函数关系判断 1 核心题型对点练二：已知函数值求自变量或参数 4 核心题型对点练三：具体函数的定义域 6 核心题型对点练四：抽象函数的定义域 7 核心题型对点练五：值域之分式型 9 核心题型对点练六：值域之根式型 11 核心题型对点练七：判别式法求最值 13 核心题型对点练八：二次函数求最值或值域 15 核心题型对点练九：待定系数法求解析式 20 核心题型对点练十：换元法求解析式 23 核心题型对点练十一：方程组法求解析式 26 核心题型对点练一：函数关系判断 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【详解】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 3．（多选）若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（   ） A．，，f：； B．，，f：； C．，，f： D．A与B的对应关系如图所示：    【答案】AD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 4．（多选）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 5．（多选）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B． C．D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 核心题型对点练二：已知函数值求自变量或参数 1．已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 2．已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【详解】令，解得，则，则． 故选：D. 3．已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 4．设函数，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】代入即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 5．已知函数，. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据解析式直接求值即可得到结果； （2）根据已知条件解方程即可得到结果. 【详解】（1） （2）因为，所以，所以 核心题型对点练三：具体函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足， 解得且， 故定义域为：， 故选：C 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式、分式有意义的条件列不等式，求解即可. 【详解】由题意得，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3．下列函数中，其函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次函数在是时恒大于等于的条件判断即可. 【详解】由恒成立的条件可知，只需满足且即可； 对于A，B选项根号里的二次函数开口向下，不满足题意，故 AB错误； C选项根号里的二次函数，满足题意，故C正确； D选项根号里的二次函数，不满足题意，故D错误. 故选：C 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得 【详解】依题意，，解得或或， 所以原函数定义域为. 故选：B 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式和根式的意义列出关于x的不等式组即可计算求解. 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 故选：C. 核心题型对点练四：抽象函数的定义域 1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，即可求解. 【详解】因为函数的定义域是， 所以由，可得，即函数的定义域是. 故选：C 2．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义，需满足，解得， ∴函数的定义域为． 故选：A. 3．若函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得的范围，得到的定义域，再由题意列关于的不等式组求解. 【详解】因为的定义域为， 即，则， 对于函数，由，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 5．若函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由函数有意义的条件，求定义域. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 核心题型对点练五：值域之分式型 1．已知则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过换元可得，结合反比例函数性质可得的取值范围. 【详解】由有意义可得， 设，则，， 所以， 所以， 故选：C. 2．函数的值域为 【答案】 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 3．求函数的值域. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为. 4．求函数的值域 【答案】 【分析】先分离常数，再利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. 5．求函数的值域 【答案】 【分析】分离常数后，结合函数定义域即可求解. 【详解】由题意，函数可化为， 可得定义域为，所以， 可得， 所以值域为． 核心题型对点练六：值域之根式型 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 2．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解. 【详解】令，因为，所以，则， 所以原函数可化为，其对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3．已知函数，则的值域是 ． 【答案】 【分析】令，则且，再令，，结合二次函数的性质求出的值域，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令，则且， 令，，则， 所以，当且仅当时取等号，即， 所以. 故答案为： 4．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数求值域. 【详解】换元法： 令，则， 所以， 所以当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以， 所以函数的值域为，即函数的值域是， 故答案为: . 5．求函数的值域． 【答案】 【分析】借助换元法可将原函数化为二次函数，结合二次函数的性质计算即可得. 【详解】设，则， 函数可化为，对称轴为， 所以该函数在上单调递减，所以当时，， 所以原函数的值域为. 核心题型对点练七：判别式法求最值 1．求函数的值域 ． 【答案】 【分析】由解析式知函数的定义域为，将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域. 【详解】由解析式知：函数的定义域为，且， ∴整理可得：，即该方程在上有解， ∴当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， ∴综上，有函数值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由解析式求函数定义域并将函数转化为方程形式，求值域问题转化为方程在上有解. 2．函数的值域为 . 【答案】 【解析】将函数变形为关于的方程，分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围，从而值域可求. 【详解】因为，所以，所以， 当，即时，此时； 当，即时，此时，所以， 综上可知：，所以的值域为， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集. 3．已知函数（a、x为实数且、）可取任意实数（即函数的值域为一切实数），求参数a的取值范围. 【答案】. 【分析】运用判别式法，注意且，可得且，将函数转化为，由，得，所以，从而可求出参数a的取值范围 【详解】解：把去分母，整理可得.① 当时，上式为. 且，且.② 当时，是实数，由方程①得，即，③ 不等式③对任意实数y都成立，，解之，得.④ 于是由②、④可知α的取值范围是. 4．求函数的值域，并总结寻求有理分函数值域的方法. 【答案】，答案见解析. 【分析】对函数解析式去分母整理为关于x的一元二次方程，y为字母参数.由于x为任意实数，所以方程有实根，则判别式，解之即可获y的取值范围也即原函数的值域. 【详解】把解析式变形为关于x的方程：   ① 考虑到x，y都是实数，因而要使式①成立，当y=0时，有解； 当时，只要使， 所以且； 所以函数的值域为. 5．已知函数的值域为，求的值. 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，根据值域得出，令结合判别式法，即可得出的值. 【详解】 令，即有实根 ，即 由是方程的两根 由韦达定理可知，，解得 【点睛】本题主要考查了由函数的值域求参数的值，属于中档题. 核心题型对点练八：二次函数求最值或值域 1．已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 2．设. (1)若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)若，函数在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）把代入，利用一元二次型不等式恒成立求出范围. （2）把代入，分类讨论求解二次函数在上的最小值问题. 【详解】（1）当时，函数 不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. （2）当时，，其图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， ，解得，不符合要求； 当，即时，函数在上单调递减， ，解得，不符合要求； 当，即时，，解得或，则， 所以的值是3. 3．已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若时，函数的最小值为5，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由二次函数的单调性得最值； （2）根据对称轴与已知区间关系得结论； （3）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值得参数值． 【详解】（1）时，， 它在上递减，在上递增，，，， 所以； （2），对称轴是， 它在上单调递增，则，所以； （3）当即时，，无实解； 当即时，在上递增，，； 当即时，在上递减，,，舍去， 综上，． 4．（1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值； （2）已知函数在区间上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【详解】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为，，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述的值为或. 5．已知二次函数. (1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围； (2)求在上的最小值的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的对称轴及端点值，即可求解参数范围. （2）根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解最小值即可. 【详解】（1）当时，，所以， 又因为，， 所以在上的值域为时，； （2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上， ①当时，在上单调递增， 故； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故； ③当时，在上单调递减， 故． 综上所述，． 核心题型对点练九：待定系数法求解析式 1．已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为 . 【答案】或 【分析】根据题意设出函数的解析式，再根据，即可得出的解析式. 【详解】函数是一次函数， 设. ， ，解得或， 故答案为：或. 【点睛】本题主要考查的是函数的解析式，利用待定系数法求解析式，考查学生的计算能力，是基础题. 2．（1）已知，求； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用换元法或整体代换法求函数解析式即可； （2）根据函数类型设解析式，再根据条件求解待定系数的值，即得结果. 【详解】解：（1）方法一：令，则. 将代入，得， ∴； 方法二：∵， ∴； （2）设所求的二次函数为. ∵，∴，则. ∵对任意的都成立， ∴，即，由恒等式的性质， 得∴ ∴所求二次函数的解析式为 . 3．已知二次函数满足． （1）求函数的解析式； （2）求函数在时的最值． 【答案】（1）；（2）最小值为5，最大值为26 【解析】（1）设出二次函数的一般形式，根据条件利用待定系数法求解出的解析式； （2）根据二次函数的对称轴、开口方向，结合区间，求解出的最值即可． 【详解】（1）设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以； （2）因为的对称轴为，且的开口向上， 所以在上递增， 所以， ． 所以最小值为5，最大值为26． 【点睛】本题考查根据待定系数法求解函数的解析式以及利用函数的单调性求解函数的最值，难度较易． （1）对于常见的一次函数、二次函数、反比例函数，求解析式时可采用待定系数法求解； （2）求解二次函数的值域时，注意借助二次函数的对称轴和开口方向进行分析． 4．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）设，根据可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可求得函数的解析式； （2）设，根据求得的值，根据可得出关于、的方程组，解出、的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】（1）设，则， 又，所以，，解得或， 因此，或； （2），则， ，即， 即，所以，解得. 因此，. 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，解答关键就是根据系数相等得出方程组求解，考查计算能力，属于中等题. 5．已知二次函数满足，且函数的最大值为2. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）分类讨论的取值，根据二次函数的单调性，即可得出函数在上的最大值. 【详解】（1）设 由于，则根据二次函数的对称性可得出对称轴 则有，即 所以 （2）函数的对称轴为 当，即时，函数在区间上单调递增 则 当时，函数在区间上单调递减 则 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 则 所以 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解析式以及求函数的最值，属于中档题. 核心题型对点练十：换元法求解析式 1．已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围. 【详解】设，，则， ，， 所以函数的解析式为，． 故选：B. 2．设函数，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则可得，然后可得答案. 【详解】令，则可得 所以，所以 故选：B 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于基础题. 3．（多选）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D. 【详解】令，则，所以，则，故C错误； ，故A正确；，故B错误； （且），故D正确． 故选：AD． 4．已知，则的值域为 . 【答案】 【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域. 【详解】解：令，则，所以， 所以， 故的解析式为，其值域为. 故答案为：. 5．若函数，则 ． 【答案】 【分析】利用换元法，令，再用表示代入原函数即可得. 【详解】令，则， ∴，故， ∴. 故答案为：. 核心题型对点练十一：方程组法求解析式 1．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得解. 【详解】因为①， 所以②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 2．设适合等式，则的值域是 . 【答案】 【分析】由条件列方程组解出的解析式后求值域 【详解】① ② ①②联立可得 当时,, 当时,, 即函数的值域为， 故答案为：. 3．若，则 ． 【答案】 【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果. 【详解】由①， 将用代替得②， 由①②得. 故答案为：. 4．已知函数对任意实数都有，则 . 【答案】 【分析】由可列出方程组：，从而求解. 【详解】由题意得：对任意实数都有， 所以：，解得：. 故答案为：. 5．求下列函数解析式： (1)已知，求的解析式． (2)已知，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令 ，使用换元法求解析式； （2）令得，与原式组成方程组求解. 【详解】（1）令，则 所以 所以 综上所述，结论是: （2）令得， 由 解得 综上所述，结论是: 学科网（北京）股份有限公司 $