第2章实数的初步认识 同步练习 2024-2025学年版苏科版（2024）数学八年级上册

第2章 实数的初步认识

 

2.1 平 方 根

第1课时 算术平方根

目标要求：①了解算术平方根的概念和性质(非负性)②会求一个数的算术平方根，并能解决简单实际问题

基础过关提优

1.(教材 P63 练习 2 变式)(2024·四川德阳改编) 等于 (    )

A. ±3 B. 3 C. 9 D.  

2. 若 则x的值为 (    )

A. 0 B. 1

C. 0 或 1 D. 0或±1

3.(1) (2024·江苏常州)16 的算术平方根是         ;

(2) (2023·浙江衢州)计算:          ;

(3)(2024·江苏苏州改编)计算:|-4|+

4.若一个正方形的面积是 64 cm²，则该正方形的边长是         cm.

5.已知 0,求( 的算术平方根.

 

能力拓展提优

6. 若a,b 满足 则 的算术平方根为 (    )

A. 3 B. ±3 C.   

7.若一个自然数的算术平方根是x，则与它相邻的下一个自然数的算术平方根是

(    )

  

  D. x+1

8. 若m,n 满足| 且m,n恰好是等腰三角形ABC 的两条边的长，则等腰三角形ABC 的周长是         .

9.如果m<0，那么化简 的结果为         .

10. 若 为整数，x为正整数，则x 的值是              .

11.新素养运算能力已知2a—1 的算术平方根是5,3a+b-1的算术平方根是 6,c是9的算术平方根，求a+2b-c的算术平方根.

 

 

 

 

 

 

12. 2024年5 月 6 日, “从北京到巴黎————中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办.苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味.现有一块长、宽之比为 3 ：2的长方形绣布，且这块绣布的面积为384 dm².

(1)求这块绣布的周长；

(2)刺绣师傅想用这块绣布裁出一块面积为 202 dm² 的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗?请说明理由(π取3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

延伸探究提优

 

13. 若 是一个整数，则整数x所有可取的值之和为 (   )

A. 96 B. 180 C. 330 D. 4

14.新素养应用意识已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时,9}=3.当 时，x的值为       .

15.有两名十分喜欢探究的同学小明和小刚，他们善于将所做的题目进行归纳，下面是他们的探究过程.

 

(1)解题与归纳：

① 小明摘选了下列各题，请你帮他完成填空：

  .归纳：对于任意有理数a，才作

② 小刚摘选了下列各题，请你帮他完成填空：

 

 

 归

纳：对于任意非负有理数a，有

 

(2)应用：已知有理数a，b在数轴上的对应点位置如图所示，化简：

 

 

 

第2 课时 平方 根

 

目标要求：①了解平方根的概念和性质 ② 了解开平方与平方运算的互逆关系 ③ 掌握平方根的计算及应用

 

 

 

 

6. 已知x,y满足|x+y-5|+(xy-6)²=0,求 的平方根.

 

 

 

 

能力拓展提优

7. (2025·江苏徐州期末)用“*”定义新运算：对于任意数a，b，都有 b.如果x*13=2,那么x 等于   (    )

A. 15 

  

8.(2025·江苏苏州模拟)若一个数的两个不同的平方根分别是a²+b²,2a-6b+10,则a,b 的值分别是              ( )

A. - 1,3 B. 1,3

C. - 1,-3 D. 1,-3

9.  亮点原创·若m 没有平方根，且|m+3|=4，则m²的平方根是         .

10.若关于 x 的多项式 15x+9与多项式 相加后不含x 的二次项和一次项，则一(mn+n)的平方根为         .

11. 若 则 的值为         .

 

 

16.新趋势情境素材小明是一位善于思考、勇于创新的同学.在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数 i，使 ，那么( -1，因此-1就有两个平方根了.进一步，小明想：因为 所以-4的平方根就是±2i；因为( -9，所以-9的平方根就是±3i.请你根据上面的信息，解答下列问题：

(1) 求-16,-25 的平方根;

(2) 求i³,i⁴,i⁵,i⁶,i⁷,i⁸ 的值，并将你发现的规律用式子表示出来.

 

2.2 立 方 根

 

目标要求：①了解立方根的概念，知道开立方与立方互为逆运算 ② 会求一个数的立方根，并能解决相关实际问题

 

6.已知第一个正方体纸盒的棱长是 6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大127 cm³，求第二个正方体纸盒的棱长.

 

 

 

 

 

 

能力拓展提优

7.下列说法中，正确的是 (    )

A.如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根

B.如果一个数的平方根与它的立方根相等，那么这个数是0

C.一个正数的立方根与平方根同号

D.一个数的算术平方根一定大于它的立方根

8.亮点原创·若、 是一个负整数，则满足条件的最大负整数m 的值是   ()

A. - 1 B. - 3 C. - 6 D. - 9

9. (2025·江苏宿迁模拟)若3 是 2x-1 的一个平方根，-3是 y-3x 的立方根，则3x+y的平方根是          ，立方根是        .

10.如图是一正方体的表面展开图，将它折成正方体.如果相对面上的数相等，那么x 的平方与 y的立方根之和为        .

 

 

延伸探究提优

14. (2025·江苏连云港模拟)在小于1 000 的非零自然数中，既不是完全平方数(平方根是整数)，也不是完全立方数(立方根是整数)的数有         个.

15.新素养 应用意识我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59 319 的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人十分惊奇，忙问计算的奥妙.

你知道怎样迅速准确地计算出结果吗?请你按下面的问题试一试：

 你能确定 59 319 的立方根是几位数吗?并写出结果；

(2)由 59 319 的个位数是 9,你能确定59 319 的立方根的个位数是几吗?并写出结果；

(3) 如果划去59 319 后面的三位 319得到数59,而 那么由此你能确定 59 319 的立方根的十位数是几吗? 答:      ,因此 59 319 的立方根是        ；

(4)现在换一个数 148 877,你能按这种方法说出它的立方根吗?

① 它的立方根是         位数；

② 它的立方根的个位数是        ；

③ 它的立方根的十位数是        ；

④148 877的立方根是        .

第2章实数的初步认识

 

2.3 实    数

 

第 1 课时 实数与数轴

目标要求：①了解无理数和实数的概念，掌握实数的分类 ② 会估计无理数的范围 ③理解实数与数轴上点的关系(一一对应)

 

次多一个7).

正数:{                             …};

负数:{                            …};

有理数:{                          …};

无理数：{  …}。

 

能力拓展提优

8. 亮点原创·若 则实数 a 的相反数对应的点在数轴上的位置是(    )

A.原点的右侧

B.原点的左侧

C.原点或原点的右侧

D.原点或原点的左侧

9.(2025·江苏常州期末)已知面积为3 的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上，且对应的数是-1，E是数轴上一点.若AB=AE，则数轴上点 E 所对应的数为 (    )

 

 

 或

D.无法确定

10. (2024·河北)已知a,b,n 均为正整数.

(1) 若 则 n 的值为         ;

(2) 若 则满足条件的a 的个数总比b 的个数少        .

 

 

延伸探究提优

14.新素养 推理能力已知 x 是无理数，且(x-2)(x+6)是有理数,则下列式子不一定是有理数的是              (    )

A. (x-3)(x+7) B. (x+1)(x+3)

C. (x+2)(x-6) D. (x+2)²

15.(2025·江苏南京期末)已知一张纸上有一数轴，折叠这张纸，使表示-1的点与表示5 的点重合，则表示 的点与表示数        的点重合.

16.如图，数轴上A，B两点对应的数分别为 和 点 P 从点 A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点 Q 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒.

(1) 当0<t<2 时,AP =        ,BQ=      (用含 t 的代数式表示)；

(2) 当t=2时,求 PQ 的值;

(3) 当 PQ=AB 时,求 t 的值(提示:

 

 

第 2 课时 实数的运算与大小比较

 

 

能力拓展提优

 

7.(2023·江苏扬州)已知 a= ,b=2,c= ，则a，b，c之间的大小关系为 (    )

A. b>a>c B. a>c>b

C. a>b>c D. b>c>a

8.(2025·江苏徐州模拟)如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬行 2个单位长度到达点 B，点A 表示的数是 若点 B 表示的数是m,则|m-1|+(m-6)的值是

(    )

A. 3 B. - 5 C. - 7 D. 5

9.新素养 创新意识我们规定运算符号⊗的意义:当a>b时,a⊗b=a+b;当a≤b时，a⊗b=a-b，其他运算符号意义不变.按上述规定，计算 的结果为        

10.已知实数a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，x的绝对值为 ，则代数式 的值为         .

11.新素养运算能力计算：

(1) (2024·山东潍坊 |-3|;

 

 

表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?

事实上，小明的表示方法是有道理的.因为 的整数部分是 1，所以用 减去其整数部分，差就是 的小数部分.又例如：因为 所以 所以 的整数部分是 2，小数部分是

根据上述材料，解答下列问题：

 的整数部分是         ，小数部分是        ；

(2)如果 的小数部分是a， 的整数部分是b，求( 的值；

(3) 若 其中 x 是整数，且0<y<1,求x-y的相反数.

 

 

2.4 近 似 值

 

目标要求：理解近似值的概念，掌握用四舍五入法求一个数的近似值

 

(2) 0.000 451 6(精确到 0.000 1);

 

 

 

(3) 3.08×10⁴((精确到千位)；

 

 

 

(4) 70.710 678(精确到千分位).

 

 

 

 

 

能力拓展提优               

7 *已知用四舍五入法得到近似数1.05×10⁴，则下列说法正确的是 (    )

A.精确到百分位 B.精确到十分位

C.精确到百位 D.精确到万位

8.已知小飞的身高约是1.71米.若设小飞的身高是x 米，则x 的取值范围是  (    )

A. 1.7≤x≤1.8

B. 1.705<x<1.715

C. 1.705≤x<1.715

D. 1.705≤x≤1.715

9.(2025·江苏南京期末)我们知道，若一个面积为2 的正方形的边长为 a，则a 是一个无理数，且用“逼近法”可以求出 a 的取值范围是1.41<a<1.42(精确到 0.01).类似地，若一个面积为7 的正方形的边长为b，则用“逼近法”求出 b 的取值范围为(精确到0.01)              (    )

A. 2.62<b<2.63 B. 2.63<b<2.64

C. 2.64<b<2.65 D. 2.65<b<2.66

 

 

延伸探究提优

14.已知一个 400 m 的标准半圆式跑道(由两个半圆和两条线段组成)，每条跑道的宽是 1.22 m.现在要在该跑道上进行200 m赛跑，若终点在同一直线上，则第一道运动员和第四道运动员的起跑线应相差         m.(π取3.14,结果精确到0.1m )

15.新素养 应用意识公元3世纪，我国数学家就能利用近似公式 为正整数，且a 取尽可能大的正整数)，得到无理数的近似值.例如： 可化为 再由近似公式，得

(1)利用上述公式，估算 的近似值；

(2)已知正整数m，n满足 1，利用近似公式求 所有可能取值之和的近似值(用含 n 的代数式表示).

高频考点培优

 

6.已知 M 是个位数字不为0 的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得到两位数 N.若M-N的立方根是整数，则这样的M 共有         个.

7.(1) 若 求m+n的值；

(2)已知a是一27的立方根与 的算术平方根之和，b是比 大且最相邻的整数，求5a+b的立方根.

 

 

 

 

考点 实数

8.新素养 抽象能力已知 a 是 的整数部分，b是 的小数部分，则( 的值是        .

9. 化简:

答案解:因为1-3x≥0,所以 即 1-x>0.所以原式=1-3x-(1-x)=1-3x-1+x=-2x.

依照上面的解法，解答下列问题.

(1) 化简:

(2)已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，试化简：

学霸拓展园地

 

5. 设 b 是 a² 的小数部分,则(b+

6.代数式 的最小值是         .(提示: b)²)

7.新素养 运算能力(2025·江苏宿迁模拟)有一列数，按一定规律排列如下：1，-3，9,—27,81,—243……其中某三个相邻数的和是-1701，则这三个数中最大数的立方根是         .

8.已知 则 的值为         .

9. 设a,b,c 是质数,记x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,当 2时，a，b，c能否是三角形的三边长?证明你的结论.

 

 

 

·易错警示 解决这类问题要明确一个数的算术平方根为非负数.造成错误的原因是没有理清此题求的是算术平方根.

2.1 平 方 根

第 1 课时 算术平方根

1. B 2. C 3. (1) 4 (2) 1 (3) 2

4. 8

5.因为 所以x-y+3=0,x+2y=0,解得x=-2,y=1.所以x+3y=1,即( 又1的算术平方根为1，所以 的算术平方根为1.

6. C 7. C 8. 15 9. — 2m 10. 4或7 或8

11. 由题意,得2a-1=25,3a+b-1=36,c=3,所以2a=26,3a+b=37,解得a=13,b=-2.所以a+2b-c=6.因为6 的算术平方根是 ，所以a+2b-c 的算术平方根是

 

6.因为 所以x+y~5=0, xy-6=0,即x+y=5, xy=6.所以x²+ 又 13 的平方根是 所以 的平方根是

7. D 8. A 9. ±7 10. ±3 11. 5

12. 分类讨论如下:当2m+5=m-2时,m=-7,此时2m+5=-9,不符合题意,舍去;当2m+5=-(m-2)时,m=-1,此时 2m+5=3,符合题意.又9 的算术平方根为3，所以这个数为9.

13.由题图，得 所以2a+1>0,a-1<0,即 所以 2(1-a)=±(2a+1)+2-2a=3或1-4a.

14. D 解析:由题意,得2x-4=3x-1 或 2x-4+3x-1=0.分类讨论如下:当 2x-4=3x-1时,解这个方程,得x=-3.所以 2x-4=—10，即这个数是 ;当 2x-4+3x-1=0时,解这个方程,得x=1.所以2x-4=-2，即这个数是 综上，这个数是4 或 100.

15. 30 解析:因为 的平方根是奇数，且 所以 是奇数，即n，n+2都是奇数，且n+2的平方根为奇数.又n 为正整数，所以 n 可取的最小的两个数分别为7,23,其和为30.

16. (1) 因为( 所以一16 的平方根是±4i.因为( 所以-25 的平方根是±5i.

(2)由题意，得 规律： 且 n为整数).

2.2 立 方 根

1. A 2. B

24

·易错警示· 解决这类问题的前提是掌握互为相反数的两数的立方根也互为相反数，反之亦然.造成错误的原因是没有正确理解题意.

12. (1) 由题意,得 解得 所以m=4,n=2.

(2) 由(1),得m=4,n=2,则m+n+10=16,4m+6n-1=27.则. 3.所以A-B=1,即 A-B 的立方根是1.

13.(1)由题意，设这个长方体水池的长、宽、高分别为2x dm,2x dm,4x dm.则2x·2x·4x=16 000,解得x=10.则2x=20,4x=40.所以这个长方体水池的长、宽、高分别为 20 dm，20 dm,40 dm.

(2)由题意，得 所以 5，解得 所以该铁球的半径约为 dm

14. 962 解析:因为 1 000<1 024,所以在小于1 000 的非零自然数中有31个数是完全平方数.又 1 000,729<1 000,所以在小于1 000 的非零自然数中有9个数是完全立方数.又 所以在小于1000 的非零自然数中有3个数既是完全平方数，又是完全立方数.所以在小于 1 000 的非零自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的数有 999-(31+9-3)=962(个).

15. (1) 能,是两位数.

(2) 能,是9.

(3) 3 39

(4) ① 两 ② 3 ③ 5 ④ 53 解析:① 因为 ,所以 148 877 的立方根是两位数.②因为 ，所以能确定148877的立方根的个位数是 3.③ 因为 所以能确定 148 877 的立方根的十位数是5.④ 所以 148 877 的立方根是 53.

2.3 实 数

第 1 课时 实数与数轴

1. A 2. C 3. D 4. 1(答案不唯一)

 6.9

7. 正数:{ ,0.3,π/2, ,0.5757757775…(每相邻两个5之间依次多一个7)，…}；负数：

有理数：

无理数：{ ,π/₂,0.575 775 777 5…(每相邻两个5之间依次多一个7)，…}.

·易错警示· 解决这类问题一定要区分无理数、无限小数和带根号的数.造成错误的原因是没有正确理解无理数的定义.判断无理数时一定要确保是“无限”且“不循环”的小数.

 

 

 同理，得 解得 .综上，t的值为 或

第 2 课时 实数的运算与大小比较

 

1. A 2. D 3. C 4. (1)

5. (1)a<c<b

6. (1) 原式≈0.972129 758.

(2) 原式≈0.889 317 851.

7. C 8. B 9. 3 1 或

11. (1) 原式=-2+4-3=-1.

(2)原式=2+5-1=6.

(3) 原式

12. D解析：如图，由题意，得 DE=GE=1,AD=2,所以AE=AD-DE=1 .易得四边形ABFE 是长方形，所以 BF=AE=1,即. 所以

13. ±2 解析:由题意,得 a,则a=4,b=2.所以 解得c=±2.则c的值为±2.

 

(2) 因为 所以 2,b=3.所以 (3) 因为 所以 又 x是整数,0<y<1,所以x= 所以 因为 的相反数是 所以x-y的相反数是

 

 

即 的近似值为4.125.

(2) 因为 ，且m，n为正整数，所以 即 m 的所有可能取值为 设 所有可能取值之和为 S，则 由近似公式，得 即 所有可能取值之和的近似值为

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1. D 2. 14 3. 8

4.因为 所以 y-1= 又 所以y-1≤0,即 y≤1.同理,由|x-3|=y-1-b²,得 y-1≥0,所以 y≥1,即 y =1. 所以 1=0.所以x=3,a=b=0,即x+y=4,a+b=0.所以 因为 17,所以 的平方根为

5. D

6. 21 解析:由题意,设 M=10x+y(x,y 都不为0),则 N=10y+x.所以 M-N=9(x-y).又M-N 的立方根是整数,且-8≤x-y≤8,所以x-y=-3或0或3.当x-y=-3时,x,y的值分别为1,4;2,5;3,6;4,7;5,8;6,9,共有6组.同理,得当x-y=0时,x,y的值有9组;当x-y=3时,x,y的值有6组.则这样的 M 共有6+9+6=21(个).

7. (1) 因为 所以m=±7,n=-3,即m+n=7-3=4或m+n=-7-3=-10.则m+n 的值为4或-10.

(2)由题意，得 所以 因为(